51不定積分的概念與性質(zhì)

1、第五章第五章 不定積分不定積分微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算第一節(jié)第一節(jié) 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念二、二、 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義三、不定積分的基本性質(zhì)三、不定積分的基本性質(zhì)一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),的作tAFsin下沿直線運(yùn)動(dòng)下沿直線運(yùn)動(dòng) ,).(tv因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知已知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在變力在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律, 加速度加速度mFta )(

2、tmAsin 定義定義 1 . 若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù)上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿足滿足)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 或或在區(qū)間在區(qū)間 I 上的上的一個(gè)一個(gè)原函數(shù)原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函數(shù)有的原函數(shù)有 ,cos tmA , 3cos tmA一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念問(wèn)題問(wèn)題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在若原函數(shù)存在, 它如何表示它如何表示 ?初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連

3、續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù).)(,)(的的原原函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在則則在在此此區(qū)區(qū)間間上上在在某某區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)xfxf結(jié)結(jié)論論.,)()(,)()(1 . 5為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中的原函數(shù)的原函數(shù)也是也是則則的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是如果如果定理定理CxfCxFxfxF .)(,)(,多多個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)就就有有無(wú)無(wú)窮窮那那么么有有一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)如如果果這這說(shuō)說(shuō)明明xfxf.)()(,)()()(2 . 5為常數(shù)為常數(shù)它們的差它們的差則則的原函數(shù)的原函數(shù)都是都是和和如果如果定理定理xGxFxfxGxF .)()(只只相相

4、差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)與與這這說(shuō)說(shuō)明明xFxG,( )( ),( )( ),( )( ).F xf xF xCf xf xF xC 因因此此 當(dāng)當(dāng)為為的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí) 一一方方面面都都是是的的原原函函數(shù)數(shù) 另另一一方方面面的的其其它它原原函函數(shù)數(shù)都都可可以以表表示示成成.)()(,的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)就就可可以以表表示示表表達(dá)達(dá)式式為為任任意意常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfCxFC ( ),f x 的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)所所組組成成的的集集合合 就就是是函函數(shù)數(shù)族族 CCxF)(的的稱稱為為為為任任意意常常數(shù)數(shù)原原函函數(shù)數(shù)的的全全體體則則的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)定定義義)

5、()()()(,)()(2 . 5xfCCxFxfxfxF ,不不定定積積分分若若, )()(xfxF 則則( ),f x dx記記為為.)()(CxFxxfd積分號(hào)積分號(hào)被被積積函函數(shù)數(shù)積分變量積分變量被被積積表表達(dá)達(dá)式式C 稱稱為積分常數(shù)為積分常數(shù)不可丟不可丟 !21x dx 例例求求,)3(23xx 由于由于解解.323的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是因因此此xx323xx dxC 12dxx 例例求求 xln由于由于解解,1x 1lndxxCx 2. .不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義.)(,)(,)()(積積分分曲曲線線的的一一條條稱稱為為系系上上的的一一條條曲曲線線的的圖圖形形是是

6、平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)那那么么方方程程的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè)xfxFyxfxF.)(,)(,積分曲線族積分曲線族的的稱為稱為一個(gè)曲線族一個(gè)曲線族它們構(gòu)成它們構(gòu)成多條積分曲線多條積分曲線的無(wú)窮的無(wú)窮就可以得到就可以得到軸方向任意平行移動(dòng)軸方向任意平行移動(dòng)將這條積分曲線沿著將這條積分曲線沿著xfxfyOxyx例例3. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn)所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121

7、C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì). 1微分互為逆運(yùn)算微分互為逆運(yùn)算求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或性質(zhì)性質(zhì)(1)( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx 或或(2)( )( )Fx dxF xC ( )( )dF xF xC 或或,()( ),d 由由此此可可見(jiàn)見(jiàn) 微微分分運(yùn)運(yùn)算算與與不不定定積積分分運(yùn)運(yùn)算算是是互互逆逆的的.,后后差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)或或者者抵抵消消或或者者抵抵消消連連在在一一起起時(shí)時(shí)與與記記號(hào)號(hào)當(dāng)當(dāng)記記號(hào)號(hào)d .2分號(hào)之前分號(hào)之前非零常數(shù)因子可提到積非零常數(shù)因子可提到積性質(zhì)性質(zhì)( )( )(0)af x dxaf x dxa).()(3差差的積分等于積分的和的積分等于積分的和差差函數(shù)和函數(shù)和性質(zhì)性質(zhì) ( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx4.性性質(zhì)質(zhì)有有限限個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)線線性性組組合合的的積積分分等等于于積積分分的的線線性性組組合合11221122( )( )( )( )( )( )nnnna fxa fxa fxdxafx dx afx dxafx dx 例例4求下列不定積分求下