矩陣行列式(較難與困難)

1、第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分一、選擇題1我國(guó)的洛書(shū)中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1，2，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、二對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖1所示，一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形就叫做n階幻方，記n階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和為N，如圖1的幻方記為N3=15，那么N12的值為 （ ）A869B870C871D875第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分二、解答題2已知矩陣的一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，求矩陣的逆矩陣3已知矩陣 ，求

2、矩陣4選修4-2：矩陣與變換已知直線，若矩陣所對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為它自身。（）求矩陣A； （）求矩陣A的逆矩陣.5求曲線在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積6（本小題滿分7分）選修42：矩陣與變換已知二階矩陣有特征值1=4及屬于特征值4的一個(gè)特征向量并有特征值及屬于特征值1的一個(gè)特征向量， （ ）求矩陣；（ ）求7選修42：矩陣與變換 已知矩陣滿足：，其中是互不相等的實(shí)常數(shù)，是非零的平面列向量，求矩陣.8變換T1是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M2.（1）求點(diǎn)P（2,1）在T1作用下的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)yx2的圖象依次在T1，T2變換

3、的作用下所得曲線的方程9二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，1)與(2，1)分別變換成點(diǎn)(1，1)與(0，2)(1)求矩陣M；(2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：xy4，求l的方程10設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸縮變換.(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量.(2)求逆矩陣M-1以及橢圓x24+y29=1在M-1的作用下的新曲線的方程.11已知矩陣A，A的一個(gè)特征值2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是1.設(shè)向量，試計(jì)算A5的值12二階矩陣M有特征值，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成點(diǎn)（1）求矩陣M；（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量13

4、（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分5分，第(3)小題滿分7分將邊長(zhǎng)分別為1、2、3、n、n+1、（）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、第n個(gè)陰影部分圖形.設(shè)前n個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為記數(shù)列滿足,（1）求的表達(dá)式；（2）寫(xiě)出的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，若不等式有解，求的取值范圍.14本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中（1）（本

5、小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，向量 (I)求矩陣的特征值、和特征向量；(II)求的值（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（）點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講（）已知：a、b、；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）某長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)之和等于3，求其對(duì)角線長(zhǎng)的最小值.15附加題) 已知矩陣， （1）計(jì)算AB； （2）若矩陣B把直線的

6、方程。16已知矩陣=，求的特征值，及對(duì)應(yīng)的特征向量17（本小題滿分7分）選修42：矩陣與變換已知矩陣，其中R，若點(diǎn)P（1，1）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P（0，3），求矩陣A的特征值及特征向量18本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。KS*5U.C#O（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知向量=，變換T的矩陣為A=，平面上的點(diǎn)P（1，1）在變換T作用下得到點(diǎn)P（3，3），求A4.（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程直

7、線與圓（>0）相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)P（1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求實(shí)數(shù)的值（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講KS*5U.C#O對(duì)于xR，不等式|x1|+|x2|2+2恒成立，試求2+的最大值。19在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表 中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1，均大于如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表 滿足下面的性質(zhì)：對(duì)于數(shù)表中的任意一列（，2，9）均存在某個(gè)使得求證：（）最小值，2，3一定自數(shù)表的不同列（）存在數(shù)表中唯一的一列，2，3使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)20（本小題15分）已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（1，1），C（1，3）若ABC在一個(gè)切變變換T作用

8、下變?yōu)锳1B1C1，其中B（1，1）在變換T作用下變?yōu)辄c(diǎn)B1（1，-1）（1）求切變變換T所對(duì)應(yīng)的矩陣M；（2）將A1B1C1繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后得到A2B2C2求B1變化后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)評(píng)卷人得分三、填空題21若，則實(shí)數(shù)= 22若，則實(shí)數(shù)= 試卷第5頁(yè)，總6頁(yè)本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。參考答案1B【解析】2【解析】試題分析：運(yùn)用矩陣的運(yùn)算法則及特征向量的概念求解即可試題解析：解：由題意：，考點(diǎn)：1、矩陣及逆矩陣的概念及求解方法；2、矩陣的特征向量及有關(guān)概念和求解方法3【解析】試題分析：由逆矩陣公式得，再利用矩陣運(yùn)算得試題解析：解：，考點(diǎn)：逆矩

9、陣4（）；（）【解析】試題分析：（）通過(guò)設(shè)直線上任意一點(diǎn)，利用其在A的作用下變?yōu)?，可用表示出，代入，?jì)算即可；（）直接計(jì)算試題解析：（） 設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在的作用下變?yōu)閯t代入得：其與完全一樣得則矩陣（）因?yàn)?，所以矩陣M的逆矩陣為考點(diǎn)：矩陣，逆矩陣5【解析】試題分析：先由矩陣變換得到曲線方程：，再根據(jù)曲線形狀：菱形，計(jì)算其面積：試題解析：設(shè)點(diǎn)為曲線上的任一點(diǎn)，在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為，則由， 3分得： 即 5分所以曲線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為， 8分所圍成的圖形為菱形，其面積為 10分考點(diǎn)：矩陣變換6（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（2）利

10、用矩陣的乘法法則進(jìn)行求解試題解析：（）設(shè)=則又由可得a=1,b=2,c=3,d=2，= 4分（）易知，考點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算7【解析】試題分析：由特征多項(xiàng)式得，所以，又，所以，所以，試題解析：由題意，是方程的兩根 因?yàn)?，所?2分又因?yàn)椋?，從?5分所以 因?yàn)?，所以從?8分故矩陣. 10分考點(diǎn)：矩陣運(yùn)算8（1）P（1,2） （2）yx【解析】試題分析：掌握矩陣運(yùn)算以及矩陣變換的規(guī)律,直接根據(jù)矩陣乘法的定義.矩陣的運(yùn)算難點(diǎn)是乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟悉乘法法則,并且要理解二階矩陣變換的定義，熟悉五種常見(jiàn)的矩陣變換，明確矩陣變換的特點(diǎn).對(duì)于矩陣乘法，應(yīng)注意幾何意義在解題中的應(yīng)用還要注意矩陣的知識(shí)并不

11、是孤立存在的，解題時(shí)應(yīng)該注意矩陣與其他知識(shí)的有機(jī)結(jié)合另對(duì)運(yùn)算律的靈活運(yùn)用將有助于我們簡(jiǎn)化運(yùn)算，但要十分注意的是，有些運(yùn)算（如交換律和消去律）在矩陣的乘法運(yùn)算中并不成立用矩陣解二元一次方程組，關(guān)鍵是把方程組轉(zhuǎn)化為矩陣，而運(yùn)算中求矩陣的逆是重要的環(huán)節(jié)，在求逆之前首先必須熟悉公式再進(jìn)行應(yīng)用試題解析：（1） 所以點(diǎn)P（2,1）在作用下的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（1,2）（2），設(shè)是變換后圖象上任一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則M，也就是，即，所以，所求曲線的方程是yx.考點(diǎn)：矩陣變換的有關(guān)內(nèi)容.9（1）（2）xy20【解析】(1)設(shè)M，則有，所以且解得和所以M.(2)因?yàn)榍襪：xy4，所以(x2y)(3x4y)

12、4，即xy20，即直線l的方程為xy20.10(1) 特征值為2和3,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為及(2) M-1= x2+y2=1【解析】(1)由條件得矩陣M=,它的特征值為2和3,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為及.(2)M-1=,橢圓+=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1.11【解析】由題設(shè)條件可得，2，即解得得矩陣A.矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()256，令f()0，解得12，23.當(dāng)12時(shí)，得1；當(dāng)23時(shí)，得2，由m1n2，得得m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523(1)23×253512（1）（2），【解析】試題分析：（1）由于二階矩陣M有特征值，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e

13、=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成點(diǎn).所以通過(guò)假設(shè)二階矩陣，其中有四個(gè)變量，根據(jù)以上的條件特征值與特征向量，以及點(diǎn)通過(guò)矩陣的變換得到的點(diǎn)，可得到四個(gè)相應(yīng)的方程，從而解得結(jié)論.（2）求矩陣M的特征值，根據(jù)特征多項(xiàng)式.即，可求得的值，即可得另一個(gè)特征值.即可寫(xiě)出相應(yīng)的一個(gè)特征向量.試題解析：（1）解：（1）設(shè)M=，則由=6得=，即a+b=c+d=6 由=,得，從而a+2b=8，c+2d=4由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2； 由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，所以M=（2）由（1）知矩陣的特征多項(xiàng)式為令，得矩陣的特征值為6與當(dāng)時(shí)， 故矩陣的屬于另一個(gè)特征值的一個(gè)特征

14、向量為 考點(diǎn)：1.矩陣的變換.2.特征向量特征值的求法.3.線性問(wèn)題模型化.13解：（1）由題意，第1個(gè)陰影部分圖形的面積為，第2個(gè)陰影部分圖形的面積為，第n個(gè)陰影部分圖形的面積為.（2分）故 （4分）（2）， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， （3分） 當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)， 故 （5分）（3）由（2）知 又 （）當(dāng)n=1時(shí)，即，于是（）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即 于是， （3分）（）當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)， 即于是， （5分）綜上所述： （7分）【解析】略14（1）解：（I）的特征多項(xiàng)式為令，得1， 2分當(dāng)1時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得 4分(II)由得，得 5分 7分（2）解：（）化簡(jiǎn)為，直線l的直角坐標(biāo)方程為； 3分（）設(shè)點(diǎn)P

15、的坐標(biāo)為，得P到直線l的距離， 5分即，其中 當(dāng)時(shí)， 7分（3）m 解：（），ks5u， 4分（）不妨設(shè)長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別等于a、b、c， 7分【解析】15【解析】16矩陣的特征值為1=3，2=；=，=【解析】矩陣的特征多項(xiàng)式為= 2分 令=0，得到矩陣的特征值為1=3，2= 4分當(dāng)1=3時(shí)，由=3，得，取，得到屬于特征值3的一個(gè)特征向量= ； 7分當(dāng)2=時(shí)，由=，得，取，則，得到屬于特征值的一個(gè)特征向量= 10分173， ；-1，【解析】由題意得: 2分特征值3對(duì)應(yīng)特征向量為 5分特征值-1對(duì)應(yīng)特征向量為7分18（）.（）=3.（）(2+)max=.【解析】（1）（本小題滿分

16、7分）選修4-2：矩陣與變換KS*5U.C#O本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。法1：= 即 =2，故A= . - 2分由1=1，2=3. 當(dāng)1=1時(shí)，矩陣A的特征向量為=.當(dāng)2=3時(shí)，矩陣A的特征向量為=. -4分故A4 =A4（+2）=A4+2A4=(1)4 +2·34=. -7分法2：由=,即 ，故A=. -2分A2=，A3=，A4 ， -5分A4=. -7分（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力.法1：直線參數(shù)方程可化為：y=(x+1) -1分聯(lián)立方程 ，消去，得：4+6+3r=0 . -2分

17、設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）（不妨設(shè)x1<x2），則=3616（3）>0 ，x1+x2=，x1·x2=，-3分，-5分由解得=3. -7分法2：將直線參數(shù)方程代入圓方程得t2t+1=0 -1分設(shè)方程兩根為t1、t2，則=14（1）>0 >. t1+t2=1，t1·t2=1 .（*）-3分由參數(shù)t的幾何意義知 或. -5分由，解得=3，由，代入（*）得=3，故所求實(shí)數(shù)r的值為3. -7分（3）選修4-5：不等式選講KS*5U.C#O本題主要考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式及其應(yīng)用，考查推理論證與運(yùn)算求解能力解：|1|+|2|=|1|+|2|1+2|

18、=1 , -2分故2+21.(2+)2 (22+12)( 2+2) 5. -4分由 ,即取=，時(shí)等號(hào)成立. -6分故(2+)max=. -7分19【解析】（）假設(shè)最小值，2，3不是取自數(shù)表的不同列則存在一列不含任何不妨設(shè)，2，3由于數(shù)表中同一行中的任何兩個(gè)元素都不等，于是，2，3另一方面，由于數(shù)表具有性質(zhì)，在中取，則存在某個(gè)使得矛盾 （）由抽屆原理知 ， 中至少有兩個(gè)值取在同一列不妨設(shè) ， 由前面的結(jié)論知數(shù)表的第一列一定含有某個(gè)，所以只能是同樣，第二列中也必含某個(gè)，2不妨設(shè)于是，即是數(shù)表中的對(duì)角線上數(shù)字 記，令集合 顯然且1，2因?yàn)?，所?故于是存在使得顯然，2，3 下面證明數(shù)表 具有性質(zhì) 從上面的選法可知，這說(shuō)明 ， 又由滿