電大?？啤段⒎e分初步》復(fù)習(xí)題及答案

1、電大微積分初步考試小抄一、填空題函數(shù)的定義域是（，5）50 5 1 ，已知，則= 若，則微分方程的階數(shù)是三階 6.函數(shù)的定義域是（-2，-1）U（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0帶入X）9.或10.微分方程的特解為 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函數(shù)的定義域是12.若函數(shù),在處連續(xù)，則1 (在處連續(xù)) （無窮小量x有界函數(shù)）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ， 1

2、4. sin x+c15.微分方程的階數(shù)為 三階 16.函數(shù)的定義域是（2,3）U（3，）17.1/218.已知，則=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的階數(shù)為 四階 二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）函數(shù)的間斷點(diǎn)是（）分母無意義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)下列結(jié)論中（在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo)）正確可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無意義的點(diǎn)上 如果等式，則（ ）下列微分方程中，（）是線性微分方程 6.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（奇函數(shù)）7.當(dāng)（2 ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).8.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是（） 9.以下等式正確的是（）10.下列微分方程中為可

3、分離變量方程的是（）11.設(shè)，則（）12.若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(，但)是錯(cuò)誤的 13.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）14.(）15.下列微分方程中為可分離變量方程的是（）16.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）17.當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).18.函數(shù)在區(qū)間是（先單調(diào)下降再單調(diào)上升）19.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3）20.微分方程的特解為（）三、計(jì)算題計(jì)算極限解:設(shè)，求.解：，u= -2x·(-2x)=eu·（-2）= -2·e-2xy= -2e-2x+dy=(-2·e-2x+)dx計(jì)算不定積分解：令u=

4、,u=·2du=2(-cos)+c= -2cos計(jì)算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計(jì)算極限6.設(shè)，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計(jì)算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計(jì)算定積分解：u=x,=9.計(jì)算極限10.設(shè)，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計(jì)算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計(jì)算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5·=1

5、3.計(jì)算極限解：14.設(shè)，求解：() , , , )15.計(jì)算不定積分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計(jì)算定積分解： u=x , , 四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為x，高為h,表面積為s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為S（2）×10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并

6、在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最?。?設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為x，S=216 另一邊長(zhǎng)為216/x總材料y=2x+3·216/x=2x +y=2+648·(x-1)=2+648·(-1·)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一邊長(zhǎng)為18，一邊長(zhǎng)為12時(shí)，用料最省. 欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最??？設(shè)底邊長(zhǎng)為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a·= a2+y= a2+ , y=2a+128·( -)=2a-y

7、=0 得 2a= a3=64 a=4底面邊長(zhǎng)為4， h=2設(shè)矩形的周長(zhǎng)為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x ，另一邊為60-x以AD為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑x，高60-xV=得：矩形一邊長(zhǎng)為40 ，另一邊長(zhǎng)為20時(shí)，Vmax作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是 答案： 2函數(shù)的定義域是 答案： 3.函數(shù)的定義域是 答案： 4.函數(shù)，則 答案： 5函數(shù)，則 答案： 6函數(shù)，則 答案： 7函數(shù)的間斷點(diǎn)是 答案： 8. 答案： 1 9若，則 答案： 2 10若，則 答案： 1

8、.5； 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：BA奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：AA奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù) 3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱答案：DA B軸C軸 D坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（C ）A B C D 5函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篋A B C且 D且 6函數(shù)的定義域是（）答案：DA BC D 7設(shè)，則（ ）答案：CA B C D 8下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：D A， B，C， D 9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（ ）答案：C.A B C D 10當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連

9、續(xù). 答案：BA0 B1 C D 11當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：DA0 B1 C D 12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）答案：AA B C D無間斷點(diǎn)三、解答題（每小題7分，共56分）計(jì)算極限 解 2計(jì)算極限 解 3. 解：原式4計(jì)算極限 解 5計(jì)算極限 解 6.計(jì)算極限 解 7計(jì)算極限 解 8計(jì)算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案：2曲線在點(diǎn)的切線方程是 答案： 3曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10

10、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間是（ ）答案：DA單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先增后減 D先減后增2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：C.A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D 間斷點(diǎn)3若，則=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4設(shè)，則（ ） 答案：B A B C D5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：D A B C D 6曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，則（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案C A B C D 9下列結(jié)論中（ A ）不正確 答案：C A在處連續(xù)，則一定在處可

11、微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. D若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的. 10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 答案：B A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn) C若(x0) = 0，則x0必是f (x)的

12、極值點(diǎn) D使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 或 2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求. 解 或5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求微分，得 6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解原方程可化為， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分，得 .8設(shè)，求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分，得 一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： （c為任意常數(shù)）或 2若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： 或 3若，則 答案：或4若，則 答案： 或 5若，則答案： 6若，則 答案： 7答案：8 答案： 9若

13、，則答案： 10若，則 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，則（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4若，則（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，則（） 答案BA. B. C. D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長(zhǎng)為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體

14、的體積最大。1解： 設(shè)矩形的一邊厘米，則厘米，當(dāng)它沿直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).此時(shí)答：當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為20厘米和40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大. 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 2. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為米，則長(zhǎng)為米，于是圍墻的長(zhǎng)度為令得易知，當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值即最小值，此時(shí)答：這塊土地的長(zhǎng)和寬分別為18米和12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的一、填空題（每小題2分，共20分

15、）1 答案：2 答案：或2 3已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解為 . 答案：1或9微分方程的通解為 . 答案：或10微分方程的階數(shù)為 答案：2或4二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，則k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：A A B C D 4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則

16、定積分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列無窮積分收斂的是（）答案：BA B C D 7下列無窮積分收斂的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解為（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部積分法 4 5 6求微分方程滿足初始條件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。微積分初步 一、填空題（每小題4分，本題共20分）函數(shù)的定義域是

17、 1 已知，則=若，則微分方程的階數(shù)是3函數(shù)的定義域是 2 微分方程的特解為.函數(shù)，則 曲線在點(diǎn)處的切線方程是若，則 微分方程的階數(shù)為 5 函數(shù)的定義域是若6. 函數(shù)，則x2 -27 . 若函數(shù),在處連續(xù)，則1 8. 曲線在點(diǎn)處的切線斜率是9. 10. 微分方程的階數(shù)為 5 6. 函數(shù)，則 x2 + 1 9. sinx + c函數(shù)的定義域 是函數(shù)的間斷 點(diǎn)是曲線在點(diǎn)的斜率是若，則=微分方程的階 數(shù)是2函數(shù)，則函數(shù)在處連續(xù)，則=24微分方程 的階數(shù)是2 3函數(shù) 的定義域是4函數(shù)， 則 5函數(shù)，則 2 6. 函數(shù)，則 7函數(shù)的間斷點(diǎn) 是9若，則2 10若，則1曲線在 點(diǎn)的斜率是2曲線在點(diǎn)的切線方程

18、是3曲線在點(diǎn)處的切線方程是即：4 5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 6 6已知，則 7已知，則 8若，則 9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足1若的一個(gè)原函數(shù)為，則2若的一個(gè)原函數(shù)為，則3若，則 4若，則=5若，則 6若，則7 89若，則10若，則1. 2 2 3已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是4若 4 5由定積分的幾何意義知，60 7= 8微分方程 的特解為 9微分方程的通 解為 10微分方程 的階數(shù)為 4階 二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（B）A 奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇

19、又偶函數(shù)設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（A）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)下列結(jié)論中（ C ）正確 A在處連續(xù)，則一定在處可微. B函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. C在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). D函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不 可導(dǎo)點(diǎn)上.如果等式， 則（ D ）A. B. C. D. 下列函數(shù)在指定區(qū)間 上單調(diào)減少的是（D ） A B C D設(shè)函數(shù)，則該函數(shù) 是（B）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)下列函數(shù)在指定區(qū)間 上單調(diào)減少的是（B） A B C D 設(shè)，則 （C ）A. B. C. D. 下列微分方程中，（A）是 線性微分方程 A B C D 滿足方程的點(diǎn)一 定是函

20、數(shù)的（ C ）。A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn) D 間斷點(diǎn)微分方程的通解 是（B）A.； B.； C.； D.函數(shù)的 定義域是（D ） A（2，+） B（2，5C（2，3）（3，5） D（2，3）（3，5下列函數(shù)在指定區(qū)間（-，+ ）上單調(diào)減少的是（ B ）A B CD函數(shù)的定義域 是（C ） A（-2，+） B（-1，+）C（-2，-1）（-1，+） D（-1，0）（0，+）下列微分方程中為可分離變量方程的是（C ） A. ； B. C. ； D. 2、若函數(shù)，則 （A ）.AB0 C1D不存在下列無窮積分收斂的是（B）ABCD微分方程的通解是（D）A. B. C. D.函數(shù)的定義域（D）A BC

21、且 D且若函數(shù)，則 （C ）.A0 B C1 D不存在函數(shù)在區(qū)間是（C ）A單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先減后增 D先增后減下列無窮積分收斂的是（A）AB C D下列微分方程中為一階線性微 分方程的是（B）A. B. C. 2設(shè)函數(shù)，則該函 數(shù)是（ A）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)3函數(shù)的圖形 是關(guān)于（ D）對(duì)稱A B軸C軸 D坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(C)A B C D5函數(shù)的定義域?yàn)椋―）A B C且 D且6函數(shù)的定義域（D）A BC D7設(shè)，則 （ C ） A B C D 8下列各函數(shù)對(duì)中，（D）中的兩個(gè)函數(shù)相等A， B， C， D，9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是

22、（ C ） A B C D10當(dāng)（B）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).A0 B1 C D 11當(dāng)（D）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).A0 B1 C2 D3 12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ A ）A B CD無間斷點(diǎn)1函數(shù)在區(qū)間 是（ D ）A單調(diào)增加B單調(diào)減少C先增后減 D先減后增2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ C ）.A極值點(diǎn) B最值點(diǎn) C駐點(diǎn) D 間斷點(diǎn)3若，則=（C ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -24設(shè)，則 （B ） A B C D5設(shè)是可微函數(shù)，則（ D ） A B C D6曲線在處切線的斜率是（ C ） A B C D7若，則 （ C ） A BC D 8若，其中 是常數(shù)，則（ C ） A B C D9下

23、列結(jié)論中（ B ）不正確 A在處連續(xù)，則 一定在處可微. B在處不連續(xù)， 則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. D若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( B )是錯(cuò)誤的 A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下列函數(shù)在指定區(qū)間 上單調(diào)增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x12.下列結(jié)論正確的有（A ） Ax0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是 f (x)的駐點(diǎn)C若

24、(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) D使不存在的點(diǎn)x0，一 定是f (x)的極值點(diǎn)1下列等式成立的是（ A）A BC D2若，則（ A ）.A. B. C. D. 3若，則（ A ）. A. B. C. D. 4以下計(jì)算正確的是（ A ）A BC D 5（ A ）A. B. C. D. 6=（ C ） A B C D7如果等式，則（ B ）A. B. C. D. 1在切線斜率為2x的積分曲線 族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（A ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D2若= 2，則k = （ A ） A1 B-1 C0 D 3下列定積分中積分值為0的是（ A ）

25、A B C D 4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ D ）AB C D 05（ D ）A0 B C D6下列無窮積分收斂的是（B ）ABC D 7下列無窮積分收斂的是（B ）A BC D8下列微分方程中，（D）是線 性微分方程 A B C D9微分方程的通解為（ C ） A B C D10下列微分方程中為可分離變 量方程的是（B ）A. ；B. ； C. D. D. 三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分）設(shè)，求.解： 計(jì)算不定積分解：= 計(jì)算定積分解：計(jì)算極限解： 設(shè)，求.解： 計(jì)算不定積分解：=計(jì)算極限解： 設(shè)，求.解： 設(shè)，求.解： 計(jì)算不定積分 解：= 計(jì)算定積分 解：11. 計(jì)算極限解：

26、2. 設(shè)，求解：， 12. 設(shè)，求 解：=13. 計(jì)算不定積分 解： =14. 計(jì)算定積分 解：= 計(jì)算極限解 設(shè)，求.解: 3計(jì)算不定積分解 計(jì)算極限解 設(shè)，求. 解 計(jì)算定積分 解 計(jì)算極限 解：2計(jì)算極限 解：3 解：4計(jì)算極限 解：5計(jì)算極限 解：6計(jì)算極限 解： 7計(jì)算極限 解：8計(jì)算極限 解： 設(shè)，求 解：2設(shè)，求. 解：3設(shè)，求. 解：4設(shè)，求. 解：5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：兩邊微分： 6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得： ， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：兩邊微分，得：，8設(shè)，求解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得： 1解：2 解：3 解：4 解：5 解：1 解：2

27、 解：3 解：4 解： 5 解:6求微分方程滿足初始條件的特解解：通解為， ，代入 ，代入得。即：特解為7求微分方程 的通解。解：通解為，代入得通解為四、應(yīng)用題（本題16分）1、用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？解：設(shè)邊長(zhǎng)，高，表面積，且 令，得， 所以，當(dāng)時(shí)水箱的面積最小. 最低總費(fèi)（元）3、欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)長(zhǎng)方體底邊的邊長(zhǎng)為，高為，用材料為，由已知 令，解得是唯一駐點(diǎn)， 所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即當(dāng)，時(shí)用料最省. 5. 欲做一個(gè)

28、底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做 法用料最省？解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為h，用材料為y，由已得 ，則 令，解得x = 4是唯一駐點(diǎn)，易知x = 4是函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)有= 2，所以當(dāng)x = 4，h = 2時(shí)用料最省。6、欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為，容器的表面積為，由已知，令，得是唯一駐點(diǎn)即有，所以當(dāng)，時(shí)用料最省1.設(shè)矩形的周長(zhǎng)為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 解：設(shè)長(zhǎng)為厘米，另一邊長(zhǎng)為厘米，得：，即：，令，得：（不合題意，舍去），即：當(dāng)

29、矩形的邊長(zhǎng)為、時(shí)，圓柱體的體積最大。2.欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 解：設(shè)長(zhǎng)為米，寬為米，得，即，令，（取正值），即：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，所用建筑材料最省。五、證明題（本題5分）1、函數(shù)在（是單調(diào)增加的證明：因?yàn)?，?dāng)（時(shí)， 所以函數(shù)在（是單調(diào)增加的1、證明等式證明：考慮積分，令，則，從而 所以微積分初步 一、填空題函數(shù)的定義域是答案：函數(shù)的間斷點(diǎn)是=答案：曲線在點(diǎn)的斜率是答案：若，則答案：微分方程的階數(shù)是26.函數(shù)，答案：7函數(shù)在處連續(xù)，則=28.曲線在點(diǎn)的斜率是答案：9.答案：4

30、10.微分方程的階數(shù)是答案：211.函數(shù)的定義域是答案：12.若，則答案：213.已知，則=答案：14.若答案：15.微分方程的階數(shù)是316.函數(shù)的定義域是(-2,-1)(-1，4】17.若，則218.曲線在點(diǎn)處的切線方程是_y=x+1_19.020.微分方程的特解為 y=e的x次方 21.函數(shù)的定義域是 22.若函數(shù),在處連續(xù)，則2 23.曲線在點(diǎn)處的斜率是24.25.微分方程滿足初始條件的特解為 26函數(shù)的定義域是 答案：27函數(shù)的定義域是 答案：28函數(shù)的定義域是答案：29函數(shù)，則 答案：30函數(shù)，則 答案：31.函數(shù)，則 答案： 32函數(shù)的間斷點(diǎn)是答案： 33答案： 134若，則 答案

31、： 235若，則答案： 36曲線在點(diǎn)的斜率是 37曲線在點(diǎn)的切線方程是 38曲線在點(diǎn)處的切線方程是39 40若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 641已知，則=42已知，則= 43若，則244函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足大于零45若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。答案： （c為任意常數(shù)）46若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。答案：47若，則答案：48若，則 答案：49若，則答案：50若，則答案：51答案：52 答案：53若，則答案：10若，則答案：54 答案：55答案：256已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：57若 答案：458由定積分的幾何意義知，=

32、 。答案：，它是1/4半徑為a的圓的面積。59 答案：060= 答案：61微分方程的特解為 . 答案：162微分方程的通解為 .答案：63微分方程的階數(shù)為 答案：264函數(shù)的定義域是_且 。65函數(shù)的定義域是_ _。66設(shè)，則_0_。67函數(shù)，則_ 。68_ 。 69設(shè)，則_。70曲線在點(diǎn)的切線方程是_ 。71函數(shù)在區(qū)間_內(nèi)是單調(diào)減少的。72函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是73若，則74_。 75 760.77 2 .78微分方程的階數(shù)是二階二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）若函數(shù)，則（）.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）下列無窮積分收斂的是（）微分方程的通解是（）6.函數(shù)的定義域（且）7.若函數(shù)，則（

33、1 ）.8.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）9.下列無窮積分收斂的是（）10.下列微分方程中為一階線性微分方程的是（）11.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）12.當(dāng)=（ 2 ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).13.微分方程的通解是（）14.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）15.當(dāng)（2）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).16.下列結(jié)論中（在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). ）正確 17.下列等式中正確的是（）18.微分方程的階數(shù)為（3）19.設(shè)，則（）20.若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(，但 )是錯(cuò)誤的 21.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）22.若，則（）.23.微分方程的階數(shù)為（3）24設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）25設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（

34、奇函數(shù)）26函數(shù)的圖形是關(guān)于（坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)稱27下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）28函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄇ遥?9函數(shù)的定義域是（）30設(shè)，則（ ） 31下列各函數(shù)對(duì)中，（，）中的兩個(gè)函數(shù)相等 32當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（ ）. 答案：C33當(dāng)（ 1 ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 34當(dāng)（ 3 ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù). 35函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ） 36函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）37滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（駐點(diǎn)）.38若，則=（-1） 39設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 40曲線在處切線的斜率是（ ） 41若，則（ ） 42若，其中是常數(shù)，則（ ） 43下列結(jié)論中（在處連續(xù)，則一定在處可微.）不正確 44若函數(shù)f (x)

35、在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(，但)是錯(cuò)誤的 45.下列結(jié)論正確的有（x0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0） 46下列等式成立的是（）47若，則（）. 48若，則（ ）. 49以下計(jì)算正確的是（ ） 50（ ）51=（ ） 52如果等式，則（ ） 53在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ y = x2 + 3 ） 54若= 2，則k =（ 1 ） 55下列定積分中積分值為0的是（ ） 56設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ 0 ）57（ ）58下列無窮積分收斂的是（） 59下列無窮積分收斂的是（） 60下列微分方程中，（ ）是線性微分方程 61微分方程的通解

36、為（ ）62下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 63.函數(shù)y的定義域是（(2，2）。64設(shè)，則（ ）。65函數(shù)的圖形關(guān)于（軸）對(duì)稱66、當(dāng)時(shí)，變量（ ）是無窮小量 67函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (-1)68曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程是（ ）。69若，則（ ）。70函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（單調(diào)上升）71函數(shù)yx22x5在區(qū)間 (0，1) 上是（單調(diào)減少 ）。72下列式子中正確的是（ ）。73以下計(jì)算正確的是（ ）74若，則（ ）75（ ）。76下列定積分中積分值為0的是（ ） 77微分方程的通解是（ ）。三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分） 計(jì)算極限 解 設(shè)，求. 解 3計(jì)算不定積分 解 4計(jì)算定積分 解 5計(jì)算極限 解 6 設(shè)，求. 解 7計(jì)算不定積分 解 =8計(jì)算定積分 解 9.計(jì)算極限 解 10.設(shè)，求. 解 11.計(jì)算不定積分 解 = 12.計(jì)算定積分 解 12.計(jì)算極限解：原式13.設(shè)，求.解： 14.計(jì)算不定積分解：= 15.計(jì)算定積分解：16.計(jì)算極限解：原式17.設(shè)，求.解： 18.計(jì)算不定積分解：= 19.計(jì)算定積分解：20.計(jì)算極限 解 21計(jì)算極限 解 22 解 23計(jì)算極限 解 24計(jì)算極限 解 25計(jì)算極限 解 26計(jì)算極限解 27.設(shè)，求 解 28設(shè)，求.解 29設(shè)，求.解30設(shè)，求.解，31設(shè)，求.解3