失業(yè)理論：搜尋匹配模型(重慶大學(xué),吳永球)

1、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)失業(yè)理論一一搜尋匹配模型重慶大學(xué)貿(mào)易與行政學(xué)院吳永球一.McCall模型1 .假設(shè)：(i)勞務(wù)市場(chǎng)上，存在工人與廠商兩個(gè)主體；雙方都依利益最大化作由決策：工人追求一生期望總收入最大化，廠商追求利潤(rùn)最大化。(ii)動(dòng)態(tài)均衡假定：在均衡狀態(tài)下，就業(yè)工人總數(shù)L、失業(yè)工人總數(shù)U、工資W等均為常數(shù)(不考慮經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、勞動(dòng)供給增加等因素)，工人在不同狀態(tài)之間的流動(dòng)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，即單位時(shí)間內(nèi)新增就業(yè)人數(shù)=新增失業(yè)人數(shù)。2 .模型代表性工人最優(yōu)決策的目標(biāo)是：V():maxE0tyt(1.1)t=0其中，Pt是折現(xiàn)因子，yt是工人的動(dòng)態(tài)收入?，F(xiàn)對(duì)yt作如下說(shuō)明：(i)yt依賴于工人的工作狀態(tài)St:wt,

2、St=Ey=(1.2)c,S二U其中，wt是就業(yè)時(shí)的工資，c為失業(yè)保險(xiǎn)金，廠商為求職者提供的工資為連續(xù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F0；wH為最高工資，F(xiàn)(c)=0、F(wH)=1。另假定工人一旦就業(yè)保持工資水平不變，直到被解雇或自己離職。St為工人的工作狀態(tài)，E表示就業(yè)狀態(tài)，U表示失業(yè)狀態(tài)。(ii)狀態(tài)：在職工人在任何一期內(nèi)失業(yè)概率為b,假定勞動(dòng)力市場(chǎng)上有充分多空崗，失業(yè)者無(wú)需等待就能遇到一位雇主，但僅當(dāng)雇主提供工資ww0時(shí)，才接受該職位；w0被定義為失業(yè)者接受工作的保留工資。3.求解有關(guān)(1.1)中的值函數(shù)：若t=0,工人就業(yè)且工資為w時(shí)，記為丫式亞)；若1=0時(shí)工人失業(yè)，面臨廠商提供w的工資，記

3、為Vu(w)。在保留工資w0處，失業(yè)者對(duì)于接受與拒絕w0工作無(wú)差別，所以：VE(w0)=Vu(w0)因此有：Ve(w),ww0Vu(w)=(1.3)Ve(w0),ww0令：WHQ=Vu(w)dF(w)(1.4)c表示工人在失業(yè)狀態(tài)下跨期收入的期望。由Bellman方程，有：wbVE(w)bQ!S=EVS(w)=(1.5)maxVE(w),cQSU其中：b=1-b；式（1.5）的第2個(gè)方程表示，當(dāng)工人處于失業(yè)狀態(tài)時(shí)，他將在接受工資為w的工作（上文已假定勞務(wù)市場(chǎng)存在足夠空崗，因而只要工資合理工人就可隨時(shí)就業(yè)）與拒絕工作繼續(xù)失業(yè)之間做由選擇。Ve(w)=wbQ1-1-b(1.(6)(1.(7)(1.

4、(8)由式（1.5）第一個(gè)方程得到:根據(jù)保留工資定義可知：Ve（w0）=Vu（w0）=cQ將式（1.7）與式（1.6）聯(lián)立起來(lái)，得到:w0:c1-bbQ其中p=1-p；存在:由式(1.4)-W0Wh!1bVe(Wo)dF(w)VE(w)dF(w)_cW0bQdF(w)(1.9)由式(1.6)Wh*=W0bQF(w0)WW0分部積分wHbQwhW0F(w)dwWH=Q=wHF(w)dwW0將式(1.9)代入式(1.8),得到w0的方程:w0=cb3.結(jié)論whWh一Jw。F(w)dw(1.10)(i)將式(1.10)對(duì)b求導(dǎo):*0(1.11)b同理可證：*0、00。c(ii)均衡失業(yè)率在均衡狀態(tài)下

5、，就業(yè)總數(shù)L為常量，即在一定時(shí)期內(nèi)新增就業(yè)與失業(yè)人數(shù)相等，于是有：U1F(w01bL(1.12)由式(1.12)可得均衡失業(yè)率：Ubu(1.13)LU1bF(w0)4.缺陷(i)廠商提供工資外生的，不符合廠商理性條件；(ii)工人不用等待可自由選擇就業(yè)的假定。二.內(nèi)生工資分布搜尋模型(Burdett-Mortensen,1998)1.模型的設(shè)定(i)廠商行為。廠商提由工資W在競(jìng)爭(zhēng)的勞務(wù)市場(chǎng)上招聘工人，w是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)F()由模型內(nèi)生的地決定。設(shè)亞1和WH分別為最低與最高工資，即F(wL)=0F(wH)=1設(shè)廠商以工資w能雇到工人數(shù)為l(w),則在單位時(shí)間內(nèi)所獲利潤(rùn)為：(w)=B

6、wl(w)(2.1)其中,為每個(gè)職工的單位產(chǎn)生廠商以利潤(rùn)最大化為其決策目標(biāo)O(ii)工人行為。工人有在職E和失業(yè)U兩種狀態(tài)，若S=E,則工人收入y=w；以G()表示在職工人工資概率分布，則G()與F()相關(guān)但未必一致且G(wH)=1。在職人員可能被解雇或自動(dòng)跳槽，失業(yè)工人在尋找工作時(shí)可能要等待；被解雇工人數(shù)、跳槽工人數(shù)與遇到新職位的失業(yè)工人數(shù)都是Poisson過(guò)程，三個(gè)Poisson過(guò)程的強(qiáng)度分別為b、q和a；依據(jù)Poisson過(guò)程的性質(zhì)，從t=0到t這段時(shí)間內(nèi)，在職人員被解雇的概率為1-6一”、被留用的概率為e-bt;bq和a反映單位時(shí)間內(nèi)被解雇工人數(shù)、跳槽工人數(shù)與遇到新職位的失業(yè)工人數(shù)。2

7、 .廠商決策廠商選擇l(w)使對(duì)任何的w都達(dá)到(2.1)中利潤(rùn)最大化，而完全競(jìng)爭(zhēng)上，同質(zhì)廠商都獲最相同的平均利潤(rùn)，因而n(w)三五(W0),于是由(2.1)可以得到：l(w);wl(w0)(2.2)在均衡狀態(tài)下:(i)勞務(wù)市場(chǎng)中就業(yè)總數(shù)L,失業(yè)總數(shù)U都是固定常數(shù)，而且，對(duì)于給定的w(-w0),工資Mw人在職人數(shù)亦保持不變。(ii)在單位時(shí)間內(nèi)，“新加入的工資w的在職工人平均數(shù)”=aUF(w)；“工資-w的在職工人被解雇平均數(shù)”=bLG(w)；“工資工w的在職工人跳到工資w職位的工人數(shù)”=qLG(w)G(w)。(這里G(w)=1G(w)動(dòng)態(tài)平衡要求:aUF(w)=bLG(w)qLG(w)G(w)

8、(2.3)以w=wH代入式(2.3),得到aU=bL,可由此推由均衡的失業(yè)率：(2.4)Ubu=ULab另以aU=bL代入式(2.3)得到：F(w)=G(w)qG(w)G(w)(2.5)b式(2.5)表明F(w)與G(w)相互決定。為了求生F(w),令F(w)=F(ww)F(w)G(w)=G(ww)-G(w)則:l(w)=limwr0工字在w,ww工人平均提供工字在w,w,w廠商平土勻=limLw0LG(w)nF(w)(2.6)LG(w)nF(w)將(2.5)代入(2.6)得至U:l(w)二bLnbq2qG(w)(2.7)以G(w0)=0代入上式，得至U：l(Wo廣bLn(bq)(2.8)于是

9、:G(w)二bL2q2qnl(w)(bq)(ww)(由式2.7)(2.9)2q(Bwo)(由式2.2)將(2.9)代入(2.5),得:2bqww0F(w)-w0w(2.10)4bq由G(wH)=1從(2.9)式可得到:wh二wo組Bw0bq(2.11)但保留工資一旦確定了w0,F(w)和wH將隨之確定;則與工人的決策有關(guān)。3 .工人決策工人跨期決策目標(biāo)：tmaxE00ety(t)dt(2.12)同樣，若1=0,工人就業(yè)且工資為w時(shí)，記為VE(w);若1=0時(shí)工人失業(yè)，面臨廠商提供w的工資，記為Vu(w)。在保留工資w0處，失業(yè)者對(duì)于接受與拒絕w0工作無(wú)差別，所以：VE(w0)=Vu(i)若t=

10、0時(shí)，工人處于就業(yè)狀態(tài)，由Poisson過(guò)程性質(zhì)，工人在0,t內(nèi)保持原工作的概率為e-(b+q)t,因此在0,t內(nèi)收入的期望折現(xiàn)值為：ftebq)swd與0在時(shí)間t,工人有三種可能狀態(tài)：被解雇、保持原職和跳槽，三者概率分別為1-efe-(bq)t和e-bt(1-e-qt),由Bellman方程，當(dāng)t-*0時(shí)有：VE(w)=Qe(bq)swds;(t)+e-Pt(1-e-bt)VU+e(b+q)tVE(w)(2.13)ebt(1eqt)(w)式中，中(w)是工人從工資w職位跳槽的最大期望折現(xiàn)收入：wh(w)=maxVE(w),VE(s)dG(s)wwwH，VE(w)dG(s)VE(s)dG(s)

11、(2.14)wwwHVe(wh)wG(s)dVE(s)wHwHVuwdVE(s)G(s)dVE(s)wjw在tT0下從(2.13)中解由VE(w)：wbVuqQw(2.20)Ve(w)二bq在(2.14)中令w=W0,得到：WH一(w0)=VUG(s)dVE(s)(2.16)wo將式(2.16)代入式(2.15)并利用VE(w0卜Vu得到：wH一Vu二woq_G(s)dVE(s)(2.17)wo假定VE(、可微,聯(lián)立(2.14)和(2.15)得到：_1Ve(w)=b+p+qG(w)i(2.18)(ii)若t=0工人處于失業(yè)狀態(tài)，則由Bellman方程得：(2.19)Vu=oe(a)scds(t

12、)+e+eVu+(1-eat)Q其中：wHQ=maxVU,Ve(s)dF(s)wowH二VE(s)dF(s)w0wh=Ve(wh)F(s)dVE(s)w0wH-VuwF(s)dVE(s)w0上式中，F(xiàn)(s)=1-F(s)o將(2.20)代入(2.19),在在tT0下有:WH-Vu=caF(s)dVE(s)(2.21)W0結(jié)合(2.17)、(2.18)和(2.21)和，得到w0的方程:whbaF(s),dscwH=0(2.22)W0bqG(s)由(2.9)、(2.10)和(2.11)代入(2.22)便可解由w0、wH、F(w)和G(w)。Burdett-Mortensen與McCall模型區(qū)別:

13、(i)廠商提供工資分布F()由模型內(nèi)生地決定；(ii)考慮到在職工人跳槽的可能性與失業(yè)工人在求職過(guò)程中的等待；(iii)工資的確定與廠商的利潤(rùn)最大化的決策有關(guān)。三.匹配模型(Pissarides,1985)1 .模型令L、U分別表示就業(yè)與失業(yè)總數(shù)；以V記空缺的職位數(shù)，于是L+V是職位總數(shù)。假定累計(jì)的就業(yè)人數(shù)、失業(yè)人數(shù)與補(bǔ)缺人數(shù)是強(qiáng)度為a、b與q的Poisson過(guò)程。在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)職位產(chǎn)生的利潤(rùn)為：B-w-6,空缺Lb,不空缺(3.1)W含義如上，占表示單位時(shí)間內(nèi)維持一個(gè)職位的成本，可以認(rèn)為反映了閑置的資本定義如下的匹配函數(shù)：M=AUV(3.2)式中，M為單位時(shí)間內(nèi)的匹配數(shù)。2 .工人行為工

14、人的目標(biāo)函數(shù)：00tmaxE00ey(t)dt(3.3)如同前面一樣，在t=0時(shí)，就業(yè)狀態(tài)值函數(shù)為VE,失業(yè)狀態(tài)值函數(shù)為Vu。類似上面的分析，得到就業(yè)時(shí)的目標(biāo)函數(shù)Bellman方程(本模型中W是確定的)：(3.4)VE=e(b)swds(t)+e-W(1-ebt)Vu令tT0,得到：(3.5)wbVuVeEb同樣，失業(yè)時(shí)的值函數(shù)為:tVU，0e(a)scds(t)(3.6)pt-+eeY(1-eat)VE令tT0,得至U：(3.7)caVE(a)wbc聯(lián)立(3.6)與(3.7)得至U:rabawc(b)ab(3.8)pve=Vu二I3 .廠商決策廠商目標(biāo)：maxE00et(t)dt(3)為了更

15、好分析，不妨設(shè)代表性廠商只提供一個(gè)職位，對(duì)應(yīng)于t=0時(shí)，將該職位被占據(jù)時(shí)廠商收益值函數(shù)記為VF,而職位空缺時(shí)的值函數(shù)記為VV。均衡狀態(tài)下，就業(yè)人數(shù)、空崗數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)匹配數(shù)皆為常數(shù)且相等:M=bL=aU=qV(3.10)同時(shí)，進(jìn)一步假定工人與廠商具有相同談判能力，于是一個(gè)職位給工人帶來(lái)的凈收入與帶給廠商的凈收入平衡，并假定職位可以無(wú)成本的增加，則有:VeVu二VfVv二Vf(3.11)對(duì)問(wèn)題（3.9）計(jì)算Vf和Vv崗位被占據(jù)時(shí)的Bellman方程為:Vft-(?b)soeds(t)(3.12)-pt-ee%(1ebt)Vv令tT0,得至U：VfwbVVb(3.13)同樣空崗時(shí)的Bellman方程為:Vfte0te(q)s()ds(t)(3.14)令tT0,得至上利用vV=將（3.8）、e”(1eqt)VFqVF(3.15)0代入（3.13）和（3.15）得:Vf(3.11)代入(3.16)得至上(3.16)=VF=VEVU=q(wc)ab聯(lián)立(3.16)、(3.17)得到:aw=(ab)cq(3.18)(a2b2q)=q(由(3.10)的bL=aUbLbLa二UNL其次，由(3.2)式有：1M-V-,ot聯(lián)立(3.10)、(3.20)得：(3.19)(3.20)M1-1/1/-MAU