最實(shí)用的對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)資料(經(jīng)典+精練)

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)專題復(fù)習(xí)【知識(shí)點(diǎn)梳理】-、對(duì)數(shù)的概念1、對(duì)數(shù)的定義：如果ax=Na0且a=1,那么數(shù)x叫做以a為底,N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).2、幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)：對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a0,且a=1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為 10lgN自然對(duì)數(shù)底數(shù)為 elnN3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法那么(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a0,JLa1)：1loga1=0,logaa=1,a10gaN=N,logaaN=N.(2)對(duì)數(shù)的重要公式：換底公式：logbN=10gaN(a,b均為大于 0 且不等于 1,N0);logab12 logab=,推廣：logablogbClogc

2、d=logad.logba(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么：如果a0,且a#1,MA0,NA0那么1 loga(MN)=logaM+logaN;2 logaM=logaMlogaN；Nn13 logaM=nlogaM(nR)；logamM=logaMm4 logambn=logab.m二、對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地,我彳門把函數(shù)y=logax(20且2金1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函2、對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a0 且 aw1 的圖象與性質(zhì):圖象a10a1r-廠J必期一y-logL.ril)irjl1性質(zhì)定義域：(0,+oo).值域：R.過(guò)定點(diǎn)：(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0.當(dāng)0cx

3、1時(shí),ye(-,0)；當(dāng)0/3)2變式 1：計(jì)算：11lg600lg0.036lg0.122,一-,322【解析】分子=lg5lg8000+(lg2*3)=lg5(3+3lg2)+3(lg2)=3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3,11一分母=lg600lg0.036lg0.1=2+lg6-lg22一一.3所以,原式=3.4題型二、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例題 2：求函數(shù) y=log(xw(164x)的定義域.16-4x0 x1.所求函數(shù)定義域?yàn)閤|Tvxv0 或 0 xx 恒成立,故(x)的定義域?yàn)?*+川,21.1x2x-2又.f(x)=ln(、1+x+x)=lnt=ln=ln(*1+xx)=f

4、(x),1x2x(/1x2)2-x2將它們化為真數(shù)的積、商、哥、方根,然后化簡(jiǎn)求值.(計(jì)算對(duì)數(shù)的值時(shí)常用到 lg2+lg5=lg10=1)361八,一,6乂=2+lg6-lg=4；100010100.f(x)為奇函數(shù).【點(diǎn)評(píng)】在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候,當(dāng)所給函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),再判斷 f(x)和 f(x)之間的關(guān)系.f(x)為奇函數(shù) Uf(x)=f(x)Uf(x)+f(x)=0uf(x)=-1f(x)w0;f(x)f(x)為偶函數(shù) Uf(x)=f(x)uf(x)f(x)=0yf(-x)=1f(x)wo.f(x)在解決具體問(wèn)題時(shí),可以根據(jù)函數(shù)解析式的具體特點(diǎn)選擇不同的

5、方式來(lái)判斷.例題 4:比擬以下各組數(shù)的大?。?1)10g0.71.3 和 10g0.71.8;(2)10g35 和 10g64;(3)(Ign)和(lgn)2(n1).【解析】(1)對(duì)數(shù)函數(shù) y=log0.7x 在(0,+詢是減函數(shù),由于 1.3V1.8,所以 10g0.71.31og0.71.8.(2)10g35 和 10g64 的底數(shù)和真數(shù)都不相同,需找出中間量搭橋,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.由于 10g35log33=1=log66log64,所以 10g351og64.(3)把 lgn 看作指數(shù)函數(shù)的底,此題歸為比擬兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小,故需對(duì)底數(shù) lgn 討論.假設(shè) 11

6、gn0,即 1vnv10 時(shí),y=(lgn)x在 R 上是減函數(shù),所以(lgn)1.7(lgn)2;假設(shè) 1gn1,即 n10 時(shí),y=(lgn)x在 R 上是增函數(shù),所以(1gn)1.71 時(shí)是增函數(shù),0vav1 時(shí)是減函數(shù),如果不是同一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,就可以對(duì)所涉及的值進(jìn)行變換,盡量化為可比擬的形式,必要時(shí)還可以搭橋-找一個(gè)與二者有關(guān)聯(lián)的第三量,以二者與第三量(一般是 T、0、1)的關(guān)系,來(lái)判斷二者的關(guān)系,另外,還可利用函數(shù)圖象直觀判斷,比擬大小方法靈活多樣,是對(duì)數(shù)學(xué)水平的極好練習(xí).1,一的定義域是(1g(2-x)A、1,2B、1,4】C、1,2D、1,2x-10【解析】由題意得：,2x0

7、,解得：1x2,選A.Jg2-x產(chǎn)0變式 3:設(shè) a=1og0.70.8,b=1og1.10.9,c=1.10.9,那么 a、b、c 的大小順序是A、abcB、bcaC、bacD、cba【解析】由于 0a=1og0.70.81og0.70.7=1,b=1og1.10.91.10=1,所以選 C.變式 4：求函數(shù) y=log4(7+6x-x2)的單調(diào)區(qū)間和值域.首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域,變式 2:(2021 重慶四月模擬)函數(shù)【分析】考慮函數(shù)的定義域,依據(jù)單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)利用二次函數(shù)的根本理論求得函數(shù)的值域.【解析】由 7+6x-x20,得(x-7)(x+1)

8、V0,解得 TVXV7.,函數(shù)的定義域?yàn)閤|TVxv7.設(shè) g(x)=7+6x-x2=-(x-3)2+16.可知,x3 時(shí),g(x)為減函數(shù).因此,右 TVxiVx2V3.那么g(xi)g(x2),即 7+6xi-x/v7+6x2-而 y=10g4x 為增函數(shù),10g4(7+6xi-xi2)dab.【點(diǎn)評(píng)】利用logaa=1,可以有效的解決對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比擬問(wèn)題；由上述結(jié)果可知,對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)越小,圖象在第一象限越靠近 y 軸.題型三、反函數(shù)例題 6：(2021 廣東)假設(shè)函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a0,且a=.的反函數(shù),且f(2)=1,那么f(x)=()【解析】函數(shù)y=ax(a0,且

9、a#1)的反函數(shù)是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x,選A.【點(diǎn)評(píng)】利用同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).題型四、對(duì)數(shù)方程與不等式A、log2xB、2xC、log1x2D、xi例題7：10g2(X1)=2log2(x+1)的解為【解析】原方程變形為log2(x-1)+log2(x+1)=log2(x2-1)=2,即x1=4,得x=V5,fx-10廠.x1,x=M5.x+10J【點(diǎn)評(píng)】考察對(duì)數(shù)運(yùn)算,注意驗(yàn)根,使對(duì)數(shù)式有意義.變式 5：解關(guān)于 x 的不等式：loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)loga2,(a0,a1).【解析】

10、原不等式可化為loga(4+3x-x2)loga2(2x-1),12x1A0 x2當(dāng) a1 時(shí),有?4+3xx20=,1x4=1x2(2x-1)-3x2當(dāng) 0a0=1x4=2cx4.4+3x-x22(2x-1)x2J1當(dāng) a1 時(shí)不等式的解集為1Mx2；2當(dāng) 0a1 時(shí)不等式的解集為 2x0,aw.(1)求函數(shù)的定義域與值域；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)證實(shí)函數(shù)圖象關(guān)于 y=x 對(duì)稱.【解析】(1)1-ax0,即 axv1,.a1 時(shí),定義域?yàn)?一8,0)；0vav1 時(shí),定義域?yàn)?0,+00).令 t=1-ax,那么 0vtv1,而 y=loga(1ax)=logat.a1 時(shí),值域?yàn)?0

11、);0vav1 時(shí),值域?yàn)?0,+).(2)a1 時(shí),t=1ax在(00,0)上單調(diào)遞減,y=logat 關(guān)于 t 單調(diào)遞增,1.y=loga(1ax)在(一,0)上單調(diào)遞減.10a0,alogag(x)(a0,a#1),那么f(x)0當(dāng)a1時(shí),得4g(x)0,當(dāng)0ag(x(3)形如F(logax)=0或F(logax)0(F(logax)(0)的方程或不等式,一般用換元法求解；c(4)形如logf(x)g(x)=c的方程化為f(x)=g(x)求解,對(duì)于logf(x)g(x)c的形式可以考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決.f(x)00；J(x產(chǎn)g(x)fx0得“g(x)0f(x)g(x)x 題庫(kù)題

12、目?jī)H供選擇使用【穩(wěn)固練習(xí)】11 .2021 肇慶高三上學(xué)期期末函數(shù)fx=rz+lnx1的定義域是,2x-1A、0,FB、1,FC、0,1D、0,1U1*2.0 xy1,m=log2x+log2y,那么有A、m：0B、0：m：1C、1:m：2D、m2x3 .2021 北東海江區(qū)第二學(xué)期期中在同一坐標(biāo)系中回出函數(shù)y=logax,y=a,y=x+a的圖像,A.B.C.0.4.(2021遼寧)設(shè)2a=5b=m,且工+1=2,那么m=()abA、,WB、10C、20D、100一.,25.函數(shù)y=ln(x+4x+5)的單調(diào)遞減區(qū)間為6 .(1)lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg 版;(3

13、)lgx=2lga+3lgb-5lgc,求 x.7 .求函數(shù) y=10g2|x|的定義域,并畫出它的圖象.可能正(2)設(shè) logax=m,logay=n,用 m、n 表7Kloga4a確的是8 .比擬以下各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:9 .設(shè) A、B 是函數(shù) y=10g2x 圖象上兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為 a 和 a+4,直線 1：x=a+2 與函數(shù) y=10g2X 圖象交于點(diǎn) C,與直線 AB 交于點(diǎn) D.(1)求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；(2)當(dāng) 4ABC 的面積大于 1 時(shí),求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.-一一一一2一.2一10.函數(shù)f(x)=1g(a-1)x+(a+1)x+1.(1)假設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)

14、數(shù)a的取值范圍;(2)假設(shè)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)10g23.4,10g23.8;(2)log0.5I.8,10g0.52.1;(3)1oga5.1,1oga5.9；(4)log75,10g67.【課后作業(yè)】,3x(x0)1A、9B、一92.0 xya1,那么有()F.1,那么ffF的值為41C、一9D、一一A、loga(xy)0B、0loga(xy)1C、1loga(xy)0,那么 a 的取值范圍是_1_1,1A、0,B、0,-C、,二D、0,二2224.假設(shè)函數(shù)y=logax在 R 上為增函數(shù),那么 a 的取值范圍是2111A、0,二B、仁,1C、二,二D、1,二22

15、25.a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,那么a,b,c的大小關(guān)系是A、a：b:二cB、c:二a:二bC、a：二c：二bD、b:二c:a,436.假設(shè)xue,1,a=lnx,b=2lnx,c=lnx,那么A、abcB、cabC、bacD、bca7.2021 北京西城一模假設(shè) 0m2)8,假設(shè)指數(shù)函數(shù) y=ax的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,1,那么 a 等于1-A、jB、2C、3D、101.29.(2021 重慶)設(shè)a=log1,b=log1一,32332021 江門市一模函數(shù)fx=1g|x|,xwR且x#0,那么儀是1oga2+6,那么a的值為14 .假設(shè) f(10 x)=x,貝 U

16、f(5)=15 .2021 上海市奉賢區(qū) 4 月質(zhì)量調(diào)研函數(shù)y=1ogax1+2aA0,a01的圖像恒過(guò)一定點(diǎn)是16 .2021 上海市普陀區(qū)二模函數(shù)y=J1og13x2的定義域是.17 .10g189=a,18b=5,求 10g3645.mnA22B、111n22C、log2mlog2nD、10glm.log1n4皿c=1og3,那么a,b,c的大小關(guān)系是3A、a：b:cB、c：b:aC、b:a：cD、b:二c：a10.假設(shè)loga20 且aw1)1f(X1X2-X2021)=2m+n,求(x；)+f(X2 2)+f(X2021)的值.20、函數(shù)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x

17、),其中(a0且a#1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由；3(3)假設(shè)f(-)=2,求使f(x)0成立的x的集合.【拓展練習(xí)】1.函數(shù) y=logax 在 xe2,0)上總有|y|1,那么 a 的取值范圍是()-11A、0a一或1a2B、一a1或1a22 21八 cC、1a2D、0a22x2.(2021 山東)函數(shù)f(x)=log2(3+1)的值域?yàn)?)A、0,二 B|0,二 C、1,二 D|1,二3 .20且2#1,以下四組函數(shù)中表示相等函數(shù)的是()A、y=logax與y=(logxa)4B、y=a10gaxVy=xC、y=2x與y=logaa2xD、y

18、=logax2與y=2logax(2a-1)x+4a.(x(0,-)11C、-,)621D、,1)6xx11 .函數(shù)f(x)=lg(a-b),a1b0.(1)求f(x)的定義域；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn),使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于x軸;(3)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x庶(1產(chǎn))上恒取正值.5. 函數(shù)y=2l2log1x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(26.A、B、C、1二_4D、定義在 R 上的偶函數(shù)在0,y是增函數(shù),且A、0,二B、11、0,-32*x-合2MN=xWR|g(x)0,且awl.x(a2-1)求f(x)；求證：f(x)是奇函數(shù);(3)求證：f(x)在 R 上為增函數(shù)

19、.一112 .現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f1(x)=loga(x-3a)與f2(x)=loga,其中a0,a#1.x-a(1)求函數(shù)F(x)=fi(x)f2(x)的表達(dá)式與定義域；(2)給出如下定義：對(duì)于在區(qū)間m,n】上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果對(duì)任意x-m,M,有f(x)-g(x)|1,那么稱f(x)與g(x)在區(qū)間m,n】上是接近的,否那么稱f(x)與g(x)在區(qū)間k,M上是非接近的.假設(shè)0a0 xA11、選 B.由=x1.2x-10 x02、A.3、選 D.依題意,a0 且aw,對(duì)于 A,D 圖,由對(duì)數(shù)及指數(shù)函數(shù)圖像知,a1,此時(shí)直線 y=x+a 在 y 軸上的截距大于 1,因此 A 錯(cuò)

20、,D 對(duì),選擇 D.112._一-4、選A.+-=logm2+logm5=logm10=2,二m=10,又,m0,二m=410.ab5、2,5).注意定義域.一1190116、【解析】1lgJ45=lg45=lg=lg9+lg10lg2=2lg3+1lg222222,c11,c=lg3+2-lg2=0.4771+0.5-0.1505=0.8266.11.1,111=-logax-一logay=-n-m.43a12a43122loga4/a1114312-logaalogaxlogay7、8、9、23.5(3)由得：1gx=1ga+1gb-1gc【解析】(3)(4)對(duì)數(shù)函數(shù) y=1og0.5x

21、在(0,2.3abgr2.3abx=510g2(-x)其圖象如下圖(其特征是關(guān)于(1)對(duì)數(shù)函數(shù) y=1og2x 在【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閤|xWQ+)上是減函數(shù),且 1.8V2.1,于函數(shù)解析式可化為 y=Jog2x是 10g0.51.81og0.52.1.當(dāng) a1 時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù) y=1ogax 在(0,+川上是增函數(shù),于是 1oga5.1v1oga5.9;當(dāng) 0vav1 時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù) y=1ogax 在(0,+8)上是減函數(shù),于由于函數(shù) y=1og7x 和函數(shù) y=1ogex 都是定義域上的增函數(shù),是 1oga5.11oga5.9.所以 10g75v1og77=1=1og66v1og67,所

22、以 10g75v1og67.(1)易知 D 為線段 AB 的中點(diǎn),因 A(a,10g2a),B(a+4,1og2(a+4),所以由中點(diǎn)公式得 D(a+2,1og2Ja(a+4).(a2)2(2)SAABC=S梯形AACC+螂形CCB-BS梯形AAB=10g2/,a(a4)其中 A,B為A,B,C 在 x 軸上的射影,由SAABC=10g2(：;)1,得 0a一；(2)10對(duì)一切xwR恒成立當(dāng)a2-1#0時(shí),必須有22.一a-10522,即a一W=(a+1)-4(a-1)03當(dāng)a21=0時(shí),a=1,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=0滿足題意,當(dāng)a=1時(shí)不合題意5故aE1或a一；3依題意,只要t=(a21)

23、x2+(a+1)x+1能取到(0,收)的任何值,那么f(x)的值域?yàn)镽,a2-10522,即1a;:-(a1)-4(a-1)-03當(dāng)a21=0時(shí),a=1,當(dāng)a=1時(shí),t=2x+1符合題意,當(dāng)a=-1時(shí),不合題意,log3645lg45-1g361g(95)lg182_lg9lg5_alg18b1g18ab-21g181g9-21g18a1g182a2、課后作業(yè)答案111911、選B.f()=log2=2ff(-)=f(2)=3/=44492、選 D.0 xyalogaa=1,logaylogaa=1,1-loga(xy)=logax+logay2.13、選 A.當(dāng)x=(1,0)時(shí),x+1w(0

24、,1),而函數(shù)f(x)=log2a(x+1)0,故02a1,即0a一.2x14、選A.y=(log1a)在 R 上為增函數(shù),log1aa1,0a-.2225、選 C.由于a=log20.320=1,c=0.21.3=(0,1).,13,6、選C.由ex1得1lnx0,從而b=2lnxlnx=a.7、選 D.由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知 D 正確.8、選 A.運(yùn)用原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于 y=x 對(duì)稱,那么函數(shù) y=ax過(guò)點(diǎn)(1,2),應(yīng)選 A.9、選 B.10、選 C.11、選 B.12、選 C.函數(shù)f(x)=ax+logax(a0且a=1)在1,2上具有單調(diào)性,因此 a+a2+loga2=l

25、oga2+6,解得 a=2,選擇 C.13、選 C.M=(0,1,N=( (g,0,因此MUN=( (g,1.14、lg5.由題意 10 x=5,故 x=lg5,即 f(5)=lg5.15、(2,2).當(dāng) x=2 時(shí),函數(shù)y=loga(x1)+2(a0,a=1)值為 2,所以其圖像恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).2-216、(一,1.10gl(3x2)之0,03x2W1,解得 xC(一,1.33317、【解析】方法一：:10g189=a,18b=5,log185=b,10g184510g18(95)10g18910g 傷 5abablog3645=10g183610g18(182)110g182182-a

26、1log189方法二：:log189=a,18b=5,1g9=a1g18,1g5=b1g8,18、【解析】設(shè) 0vxiVX21,X2XiX2(1-Xi)X21-X1log2-iog2；=log2-=log2-1-X21-X1(1-X2)為X11-X2X2,1-X1X21-X1-0X1X21,11.貝 UIog2=0,X11-X2X11-X2 f(X2)f(X1).故函數(shù) f(X)在(0,1)上是增函數(shù).19、【解析】(1)方法一：100m=102m=5,二102m10n=102m+=10,.2m+n=1.方法二：100m=5,.2m=lg5,10n=2,.n=lg2,.2mn=Ig51g2=l

27、g10=1(2)由(1)可知 f(X1X2-X2021)=f(X1)+f(X2)+-+f(2021)=1,r/222 f(Xi)+f(X2)+f(X2021)=2f(X1)+f(X2)+f(X2021)=2X1=2.20、【解析】由J“.得-1(工0Aaa/W 的定義域?yàn)?一 LD.( (2)函數(shù)/住)的定義域?yàn)? (-LD 美子原點(diǎn)對(duì)稱.ogfl(l+x)=-/(I)二了是奇西數(shù).(3)由f(3)=loga8-loga|=loga4=2,得a=2.555.f(X)=log2(1+X)log2(1X),由f(X)0得10g2(1+X)log2(1X)0,log2(1+X)log2(1-X)得1

28、+XA1XA0,解得00成立的X的集合是x|0 x有|y|1.1當(dāng) 0a1 時(shí),函數(shù) y=logax 在xW2,)上總有 y-1,即loga21,IPloga21,a2.,一一,-1,由可得-a1或1a0得g(x)4g(x)+3a0那么g(x)3即3-23,所以x1或xAlog35;由g(x)2得3x22即3x0 x0 x08、(0,v6I.由/1=(1=0 xWJ6.1-2log6x-010g6xx0),貝 Uf(t)=-=a(at-a-t)at(a2-1)a2-1(2)證實(shí)：:f(x)=a(a-xax)=-a(axa-x)=f(x),f(x)為奇函數(shù).a-1a-1(3)證實(shí)：設(shè) x1、x2cR,且 x1Vx2,那么 f(x2)-f(x“=-(aa-x2)(ax1a-x1)a-1=a-(ax2