微積分的思想和方法

1、微積分的思想和方法（部分講義）黃榮第四講第四章定積分與不定積分教學(xué)目標(biāo)1、了解定積分產(chǎn)生的歷史、實際背景，理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)；2、理解原函數(shù)與不定積分的概念；3、掌握不定積分性質(zhì)與其本積分公式；4、掌握定積分的牛頓萊布尼茲公式；5、了解定積分在實際問題中的應(yīng)用；6、了解簡單微分方程的概念。重點難點定積分、不定積分的概念、牛頓萊布尼茲公式。學(xué)習(xí)建議1、學(xué)習(xí)定積分概念時，應(yīng)充分注意體現(xiàn)微積分的基本思想。2、學(xué)員學(xué)習(xí)不定積分時，要注意加強(qiáng)練習(xí)，盡量做到掌握不定積分的計算方法。3、牛頓萊布尼茲公式，建立了微分和積分之間的聯(lián)系，學(xué)員應(yīng)適當(dāng)練習(xí)，切實掌握。4、為了掌握計算技能，學(xué)員必須做適

2、當(dāng)?shù)木毩?xí)。課時分配面授8課時，自學(xué)16課時面授輔導(dǎo)1、不定積分1.1不定積分定義1.1.1原函數(shù)如果函數(shù)f(x)與f(x)定義在同一區(qū)間(a,b),并且處處都有：F1(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx則稱f(x)是f(x)的一個原函數(shù)。下列是一些簡單函數(shù)的原函數(shù)：出數(shù)原函數(shù)cosxsinxsinx-cosxexexenxn+1設(shè)函數(shù)f(x)與F(x)定義在同一區(qū)間(a,b)內(nèi)。苦F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+c也是f(x)的原函數(shù)，c為常數(shù)。例1:求2x的原函數(shù)F(x),且使F(2)=7。解：:x2=2xx2是2x的一個原函數(shù)。2x的全體原函數(shù)為F(x)=x2+c(c為常

3、數(shù))F(2)=22+c=7c=3.F(x)=x2+3為所求。例2:求sinx的原函數(shù)F(x),且使F(0)=4。解：由于九工.一(-cosx)=sinx因此-cosx就是sinx的一個原函數(shù)。sinx的全體原函數(shù)記為F(x)=-cosx+c依題意有：F(o)=-cosD+c=4c=5所求F(x)=-cosx+5例3:求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函數(shù)。解：f(x)的一個原函數(shù)為x4-x3+x2+7x則f(x)的全部原函數(shù)為F(x)=x4-x3+x2+7x+c(c為常數(shù))1.1.2不定積分定義函數(shù)F(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分，記為(x)dx。其中稱為積分號，x稱的積分變量

4、，(x)稱為被積函數(shù)。雖然(x)dx=F(x)+c(c為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù))注意：“不定積分”與“求導(dǎo)數(shù)”、“求微分”互為逆運算。已知自由落體的運動速度v=gt,求自由落體的路程公式。解設(shè)自由落體的路程公式為s=f。由導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義可知，,'f,-gt2=gt、，1，速度v=f=gt。聯(lián)想到12J，并且常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,所以f'-gt2C;gtI2'。于是路程公式為1,2-s=f（t）=5gt£（c為任意常數(shù)）又因當(dāng)t=0時S（0）=。，代入上式，可得C=0,故所求的路程公式為-12s=ft=,gt該物理問題是已知速度求路程。抽象為數(shù)學(xué)問題，就是已知導(dǎo)數(shù)求原

5、來的函數(shù)，這是求導(dǎo)數(shù)的逆運算。數(shù)學(xué)中的逆運算我們已經(jīng)碰到過不少，比如相對于加法的減法，相對于乘法的除法，相對于乘方的開方等。這里需要解決兩個問題：一是逆運算是否存在？二是如果逆運算存在的話，結(jié)論有幾個？現(xiàn)在就來圍繞這兩個問題解決求導(dǎo)數(shù)（或微分）的逆運算問題。首先我們要知道什么是原函數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式或微分公式，我們很容易得出一些簡單函數(shù)的原函數(shù)。如函數(shù)cosxsinx原函數(shù)sinxex-cosxex從這些例子不難看出，sinx是cosx的原函數(shù)，（sinx'C）也是cosx的原函數(shù)，這里C是任意常數(shù)。于是產(chǎn)生這樣一個問題：同一個函數(shù)究竟有多少原函數(shù)？定理設(shè)函數(shù)f(x)與F(x)定義在同一

6、區(qū)間(a，b)內(nèi)。若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)，這里C是任意常數(shù)；而且F(x)+C包含了f(x)的全部原函數(shù)。證明因為(F(x)C)'=F'(x)=f(x)所以F(x)+C是f(x)的原函數(shù)。下面證明F(x)+C包含了f(x)的一切原函數(shù)。而這只需證明，f(x)的任一原函數(shù)G(x)必然有F(x)+C的形式。證明根據(jù)假設(shè)G'(x)=f(x),F'(x)=f(x),從而G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,由中值定理推理2得G(x)-F(x)=C,故G(x)=F(x)+Co例1求2x的原函數(shù)F(x),

7、且使F(2)=7。一dx2=2x解我們知道dx,因此x就是2x的一個原函數(shù)，2x的全體原函數(shù)記為F(x)=x2+C。根據(jù)題意，我們求常數(shù)C。F(2)=22+C=7,c=3所以F(x)=x2+3例2求sinx的原函數(shù)F(x),且使F(0)=4。解求解的思路同例1一樣。我們知道磊(一應(yīng)刈=而,因此cosx就是sinx的一個原函數(shù)，sinx的全體原函數(shù)記為F(x)=-c0sx+C。根據(jù)題意,我們求常數(shù)C。F(0)=_cos0+C=_1+C=4C=5所以F(x)=-cosx+5例3求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函數(shù).一32解f(x)=x-3x+2x+7的一個原函數(shù)為F0(x)=1x4-x3x2

8、7x4則f(x)的全部原函數(shù)為F(x)=F°(x)+C(C為常數(shù))。不定積分定義定義函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分，記為jf(x)dx其中稱為積分號，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)。由定理可知，如果知道了f(x)的一個原函數(shù)F(x),則Jf(x)dx=F(x)+C其中C是一個任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。關(guān)于不定積分運算和微分運算從不定積分的概念可知，“不定積分”與“求導(dǎo)數(shù)”、“求微分”互為逆運算：Iff(x)dx11=f(x)ngdJf(x)dx=f(x)dx-反過來，F(xiàn)'(x)dx=F(x)+C或jdF(x)=F(x)+Co這就是說，若先積分后微分，則兩者的作用互相抵消；若先微分后積分，則抵消后差一常數(shù)。例4求展xdx解2xdx是指求2x的一切原函數(shù)，所以2xdx=x2C不定積分的幾何意義作例4