線性代數(shù)——行列式與克拉默法則

1、行列式與克拉默法則行列式與克拉默法則教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 了解行列式的定義和性質(zhì)了解行列式的定義和性質(zhì);2. 掌握三階、四階行列式的計算法，掌握三階、四階行列式的計算法， 會計算簡單的會計算簡單的n階行列式階行列式;3. 了解排列與對換了解排列與對換;4. 會用克拉默會用克拉默(Gramer)法則解線性方程組法則解線性方程組.行列式的定義行列式的定義一一 . .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)二二 .行列式的計算舉例行列式的計算舉例三三 .方陣乘積的行列式方陣乘積的行列式四四 .排列與對換排列與對換六六 )Gramer( .法則法則克萊姆克萊姆七七 .分塊矩陣的行列式分塊矩陣的行列式五五 .行列式

2、的定義行列式的定義一一定義定義1. 二階行列式定義為二階行列式定義為.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a21a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算定義定義2. 三階行列式定義為三階行列式定義為,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三階行列式的計算三階行列式的計算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa

3、312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號說明說明1. 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). .333231232221131211aaaaaaaaa考察三階行列式如下：考察三階行列式如下：322311332112312213

4、213213312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa )( )()(312221321331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 323122213113333123212112333223221111)1( )1()1(aaaaaaaaaaaaaaa 133113122112111111)1()1()1(MaMaMa 記為記為131312121111AaAaAa 記為記為分別是分別是和和稱稱131211131211,AAAMMM.,131211的余子

5、式和代數(shù)余子式的余子式和代數(shù)余子式aaa定義定義3. 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ,212222111211列列行行與與第第所所在在的的第第中中劃劃去去元元素素在在jiaaaaaaaaaaijnnnnnn剩下的元素按原來的排法構(gòu)成一個新的行列式剩下的元素按原來的排法構(gòu)成一個新的行列式,111111111111111111111111ijnnnjnjnnijijiinijijiinjjMaaaaaaaaaaaaaaaa記為記為 .)1( ;,的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式稱為稱為而而記為記為的余子式的余子式稱為元素稱為元素ijijjiijijijaMAMa 定義定義4. 2122221112112nnnnn

6、naaaaaaaaaDnn 階階行行列列式式個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由是一個算式，且是一個算式，且,1 ,1 ,111212111111111 nAaAaAaAanaDnnnjjj.), 2 , 1(11的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式是是其中其中njaAjj 注意：注意：(1)行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項乘積都是由行行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項乘積都是由行 列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的.).(! )2(1112111CCCCnnnn 項項階行列式中共有階行列式中共有(3) 定義定義4中行列式按第一行展開，同樣也可按第一列中行列式按第一行展開，同樣也可按第

7、一列 展開，甚至按行列式中任意行或列展開展開，甚至按行列式中任意行或列展開. 由此可計算一些行列式由此可計算一些行列式.Example1. .000 221122211211nnnnnnnaaaaaaaaaD 證證明明 . )4(淆淆不不要要與與絕絕對對值值記記號號相相混混一一階階行行列列式式aa Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）（數(shù)學(xué)歸納法）;1時結(jié)論成立時結(jié)論成立當(dāng)當(dāng) n則則階行列式成立階行列式成立假設(shè)結(jié)論對假設(shè)結(jié)論對,1 nnnnnaaaaD022211 )(2211nnaaa nnaaa2211 nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000 同理下三角行列式同理下三角行列式n

8、ndddddd2121000000, 對角行列式對角行列式特別地特別地00000021n 而而不是對角行列式，不是對角行列式，nnnn 212)1(21)1(000000 且且 .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)二二 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的

9、地位, ,因此行列因此行列 式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. .例如例如推論推論 如果行列式有兩行如果行列式有兩行( (列列) )完全相同完全相同, ,則行列式為零則行列式為零. .,571571 266853.825825 361567567361266853證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaa

10、aaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 注意與矩陣數(shù)乘運算的區(qū)別注意與矩陣數(shù)乘運算的區(qū)別,.nnnAkkA 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式若行列式D的某一列（行）的元素都是的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和兩數(shù)之和: :

11、nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaa

12、akrr)()()(1222221111111 k例如例如性質(zhì)性質(zhì)7. 行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則 ;,0,1jijiAAankkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiAAankjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)下面證明下面證明:., 022111jiAaAaAaAajninjijinkjkik 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aAij)det( nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa11111111 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa11111111 行行第第 j行行第第i相同相同,時時

13、當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji .,52153412081317114434241444的值的值求求的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式元素元素中中為行列式為行列式已知四階行列式已知四階行列式AAAAaDADijij 性質(zhì)性質(zhì)8. Laplace定理定理.)1(,;,;,),11(, )1(212121212的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做叫做則則所在列的序號為所在列的序號為所在行的序號為所在行的序號為子式子式階階若若的余子式的余子式稱為稱為階行列式階行列式位置組成一個位置組成一個剩下的元素按原來的剩下的元素按原來的階

14、子式階子式的的稱為稱為階行列式階行列式序組成一個序組成一個個元素按原來的位置順個元素按原來的位置順列交叉處的列交叉處的行行位于這位于這列列行行任取任取中中階行列式階行列式在在MMjjjiiiMkMMknkAMkkkknkkkAnkkjjjiiikk .)(),11)(,AkknkkAn積之和等于行列式積之和等于行列式數(shù)余子式的乘數(shù)余子式的乘階子式與它們對應(yīng)的代階子式與它們對應(yīng)的代中所有中所有列列行行則含在這則含在這列列行行任取任取中中階行列式階行列式在在 (2) Laplace定理定理2100032100032100032100032 A如如2103210322132 210320031310

15、2 10 .行列式的計算舉例行列式的計算舉例三三為方便起見，引用以下符號：為方便起見，引用以下符號：.,jiijiirkrjkikrkirrjiri 行記為行記為倍加到倍加到行的行的倍記為倍記為行的行的行記為行記為交換交換行記為行記為.,jiijiickcjkikckiccjici 列記為列記為倍加到倍加到列的列的倍記為倍記為列的列的列記為列記為交換交換列記為列記為其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過將行列式化為其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過將行列式化為三角行列式來計算行列式的值三角行列式來計算行列式的值. .199421022130113. 2 計算計算exSolution.12004221002

16、1130013199421022130113 142221113200421002130013 1422211130 252414446 ex3.已知已知204,527,255三數(shù)都能被三數(shù)都能被17整除，整除， 不計算行列式的值，證不計算行列式的值，證明明三階行列式三階行列式552725402也能被也能被17整除整除. Solution.255525272520402552725402 整除整除能被能被由已知條件可得由已知條件可得17255525272520402.結(jié)論成立結(jié)論成立3351110243152113. 4 Dex 計算計算Solution.21ccD33151120435121

17、31 14125rrrr 72160112064802131 32rr 72160648011202131 242384rrrr 1510001080011202131 250001080011202131 40 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(. 52222222222222222 ddddccccbbbbaaaaDex證明證明Solution.5232125232125232125232122222 ddddccccbbbbaaaaD42124212421242122222 ddccbbaa0 3111131111311113. 6 Dex 計算計

18、算Solution.4321rrrrD 311113111131666631111311113111116 其二、當(dāng)行列式各行其二、當(dāng)行列式各行( (列列) )元素之和相同時，應(yīng)先把各元素之和相同時，應(yīng)先把各列列( (行行) )加到第加到第1 1列列( (行行) )，提取公因式后再考慮，提取公因式后再考慮. .141312rrrrrr 2000020000201111648 0. 7212121 xaaaaxaaaaxaxexnnn的方程的方程求解關(guān)于求解關(guān)于Solution.xaaxaaaaxaxaaaaaxaaannnnnn 221221221左邊左邊xaaaxaaaxaaannnn 22

19、221111)(xxaaxaaannrrnii 00001)(22111)()1(2111xaaaxnnn 故原方程的解為故原方程的解為nnnaaaxxxx 21121, 0思考思考0111110111110111110111110 D計算行列式計算行列式)1()1(1 nn其三、根據(jù)行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)，將行其三、根據(jù)行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行列式的某一行( (列列) )化出盡量多的化出盡量多的0 0元素，然后由定義元素，然后由定義按該行按該行( (列列) )展開展開. .221111111111111111. 8babbaaex 證明證明Solution.1

20、234rrrr 左邊左邊bbbaaa 0011110011111100111100111111baab 421423rrrrrr 11000000011000baab11000001baab 右邊右邊 22ba1111111111111111321. 9nnnnnDex 計算計算Solution.各各列列加加到到第第一一列列 D1111011110111101322)1(nnnnnnn 1111111111112)1(nnnnn 按第一列展開按第一列展開1111111111112)1(nnnn 各行加到第一行各行加到第一行10010010010002)1(nnnnn 各列減最后一列各列減最后一

21、列212)2)(1()1()1(2)1( nnnnnnn12)1(21)1( nnnnn其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時，可利用數(shù)其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時，可利用數(shù)學(xué)歸納法計算或證明行列式的值學(xué)歸納法計算或證明行列式的值. .112112222121111.10 nnnnnnnxxxxxxxxxDex證明證明)( )()()(122311312 nnnnxxxxxxxxxxxx njiijxx1)(Solution. （數(shù)學(xué)歸納法）（數(shù)學(xué)歸納法）)(11,212212xxxxDn 時時當(dāng)當(dāng)則則階行列式成立階行列式成立假設(shè)結(jié)論對假設(shè)結(jié)論對, 1 n1211221212122211

22、2100011111xxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnnrxrninii )()()()()()( 1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 按第一列展開按第一列展開223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx njiijxx1)(由假設(shè)得由假設(shè)得這個行列式稱為這個行列式稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，（范德蒙）行列式，可見可見Vandermonde（范德蒙）行列式為零的充要條件是（范德蒙）行列式為零的充要條件是.,21中至少有兩個相等中至少有兩個相等nxxx注意注意

23、444422221111dcbadcbadcbaD 不是不是Vandermonde行列式行列式)()()()()()(dcbadcdbcbdacabaD 實際上實際上0,111111111.112121 nnnaaaaaaDex其中其中計算計算解法解法1nnaaaaaD001111111111111112121 拆項拆項其五、先用展開或拆項等方法，將原行列式表成低階其五、先用展開或拆項等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果. .1211110000 nnDaaa1121 nnnDaaaa)(21221121 nnnnnDaaa

24、aaaaa 121221121Daaaaaaaaaannnnn )1(121221121aaaaaaaaaaannnnn )11(121 niinaaaa解法解法2:行行各各行行都都減減去去第第nnnnnnaaaaaaaD 11111000000000321:1)1(行行倍都加到第倍都加到第行的行的把第把第naniii 11321110000000000000niinnnnnaaaaaaaaa)11(121 niinaaaa其六其六. .當(dāng)行列式為三線非當(dāng)行列式為三線非0 0行列式時，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式時，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來計算行列式來計算. . 其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，

25、加上一其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列行一列. . 用于主對角線上元素不同，其余元素相同用于主對角線上元素不同，其余元素相同( (或或各行其余元素成比例各行其余元素成比例) )的行列式的行列式. .0,111111111.122121 nnnaaaaaaDex其中其中計算計算Solution.nnaaaD 111011101110111121nniicacniaaaaii000000000111112111211 )11(121 niinaaaanaaa001001001111121 .方陣乘積的行列式方陣乘積的行列式四四BABAAB . 1mmAAAAAA2121 . 2

26、 否則稱為奇異方陣否則稱為奇異方陣是非奇異方陣是非奇異方陣階方陣階方陣稱稱若若 ;, 0 . 3AnA 陣陣中至少有一個是奇異方中至少有一個是奇異方是奇異方陣是奇異方陣BAAB, . 4AkkA :注意注意., 0 ,.13BABAEBBBBEAAAAnBAex 求求及及滿足滿足階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)Solution.ABBA , 0EBAEBA 而而BAABBA BABA)( BBAA)( BBAA)( BBAA)( BBAA BAA 20)1(2 BAA故故0 BA五五. 分塊矩陣的行列式分塊矩陣的行列式;,BADBADBCOAD 則則為方陣為方陣且且設(shè)設(shè);,)1(,階方陣階方陣為為其中其中

27、則則為方陣為方陣且且設(shè)設(shè)nmBABADBADCBAODmn rrrAAAAAAAAAOAOAA212121, 則則為方陣為方陣且且設(shè)設(shè) .排列與對換排列與對換六六定義定義1., 2 , 1級排列級排列為一個為一個組成的一個有序數(shù)組稱組成的一個有序數(shù)組稱由由nn如如2431是一個是一個4級排列級排列. .,12)2( ;!)1(:這個排列具有自然順序這個排列具有自然順序也是一個排列也是一個排列個個級排列總共有級排列總共有所有不同的所有不同的注意注意nnn定義定義2.在一個排列中在一個排列中,如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù)即前面的數(shù)大于

28、后面的數(shù),那么它們就稱為一個逆序那么它們就稱為一個逆序,一一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.定義定義3. 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.定義定義4.在一個排列中某兩個數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不在一個排列中某兩個數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不動，從而構(gòu)成一個新的排列，這種調(diào)換叫做對換

29、動，從而構(gòu)成一個新的排列，這種調(diào)換叫做對換. 將相鄰兩個數(shù)字對換，叫做相鄰對換將相鄰兩個數(shù)字對換，叫做相鄰對換. 結(jié)論結(jié)論1. 對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性.結(jié)論結(jié)論2. 關(guān)于關(guān)于n階行列式的另一定義階行列式的另一定義 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121ex14.已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 xSolution. 含含 的項有兩項的項有兩項,即在即在3x 1211

30、123111211xxxxxf 中對應(yīng)于中對應(yīng)于 4334221112431aaaat 44332211)1234(1aaaat ,1344332211)1234(xaaaat 343342211124321xaaaat . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x )(Gramer( .法則法則克萊姆克萊姆克拉默克拉默七七1. 線性方程組線性方程組當(dāng)方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同時當(dāng)方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同時,線性方程組的形式為線性方程組的形式為: nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,21不全為零不全為零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb則稱此方程組

31、為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零全為零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.2. Gramer法則法則如果線性方程組如果線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD.,332211DDxDDxDDxDDxnn nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為 1其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 j 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的 n 階行列式，即階行列式，即jDD證明證明 njn