第六章 線性代數模型

1、第六章第六章 線性代數與概率線性代數與概率 方法建模方法建模 線性代數模型：線性代數模型：有些復雜問題，往往給人以變幻莫測的感有些復雜問題，往往給人以變幻莫測的感覺，難以掌握其中的奧妙。當我們把思維擴展到線性空間，利覺，難以掌握其中的奧妙。當我們把思維擴展到線性空間，利用線性代數的基本知識建立模型，就可以掌握事物的內在規(guī)律，用線性代數的基本知識建立模型，就可以掌握事物的內在規(guī)律，預測其發(fā)展趨勢。預測其發(fā)展趨勢。 概率模型：概率模型：現實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確現實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素定的和隨機的。如果從建模的背景

2、、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現，那么就能夠建立確定性模型。如果隨地以平均值的作用出現，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模型。機因素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模型。6.1、優(yōu)良作物品種篩選問、優(yōu)良作物品種篩選問題題背背景景遺傳學的研究告訴我們，在動植物遺傳學的研究告訴我們，在動植物產生下一代的過程中，總是將自己產生下一代的過程中，總是將自己的特征遺傳給下一代，從而完成一的特征遺傳給下一代，從而完成一種種“生命的延續(xù)生命的

3、延續(xù)”。在常染色體遺傳中，后代從親體在常染色體遺傳中，后代從親體的基因中各繼承一個基因，形成的基因中各繼承一個基因，形成自己的基因。下面我們討論一個自己的基因。下面我們討論一個染色體遺傳染色體遺傳植物后代問題植物后代問題 設一農業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為AA、Aa 和 aa 。研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結合的方案培育植物后代。問經過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？植物基因的分布植物基因的分布問題問題1. 建模準備建模準備植物遺傳規(guī)律？動植物都會將本身的特征遺傳給后代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因基因，形成了自己的基因對，基因對，基因對就確定了后

4、代所表現的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個親體的基因對中個繼承一個基因，形成自己的基因對，即基因型基因型。 如果考慮的遺傳特征是由兩個基因 A、a控制的，那么就有三種基因對，記為AA、Aa 和 aa 。 金魚草花的顏色金魚草花的顏色是由兩個遺傳因 子決定的，基因型為AA的金魚草開紅花，Aa 型的開粉紅花，而 aa型的開白花。 人類眼睛的顏色人類眼睛的顏色也是通過常染色體來控制的?；蛐蜑锳A ，或Aa 型的人眼睛顏色為棕色，而 aa型的人眼睛顏色為藍色。 這里AA ，Aa表示同一外部特征，我們認為基因A支配基因a，即基因a對A來說是隱性的。如父體父體- -母體的基因對母體的基因對AA-A

5、A AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后代代基基因因對對AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21雙親體結合形成后代的基因型概率矩陣雙親體結合形成后代的基因型概率矩陣2. 假設假設nnncba,分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa的植物占植物總數的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布為,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假設1假設2植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關系由下表確定。父體父體- -母體的基因對母體的基因對AA-AA AA-Aa AA-aa后后代代基基因因對對AA11/

6、20Aa01/21aa0001121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3. 建模建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn4 .求解模型求解模型關鍵計算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值為1，1/2，0，M可對角化，即可求出可逆對角矩陣P，使PMP-1為對角型矩陣。121010001,特征值為1，1/2，0的特征向量分別為則100210101P0000210001/D0 xMxn

7、n)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(當 時，n0, 0, 1nnncba經過足夠長的時間后，培育出來的植物基本上呈現AA型。5. 結論結論練習題1若不選用AA型植物與每種植物結合

8、的方案，而是采用將相同基因型植物相結合，則情形怎樣？父體父體- -母體的基因對母體的基因對AA-AA Aa-Aa aa-aa后后代代基基因因對對AA11/40Aa01/20aa01/41在極限狀態(tài)下，后代僅具有基因型AA和aa。 遺傳疾病是常染色體的基因缺陷由父母代傳給子代的疾病。常染色體的隱性疾病常染色體的隱性疾病練習題2 常染色體遺傳的正?；蛴洖锳，不正?；蛴洖閍，并以AA、Aa 和 aa 分別表示正常人，隱性患者和顯性患者的基因型。若在開始的一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比為a0，b0，c0，討論在下列兩種情況下第n代的基因型分布。1 控制結合：顯性患者不能生育后

9、代，正常人與隱性患者必須與正常人結合生育后代；2 自由結合：這三種基因的人任意結合生育后代。父體父體- -母體的基因對母體的基因對AA-AA Aa-AA后代后代基因基因對對AA11/2Aa01/21121nnnbaa121nnbb1nnba11210211nnnnbaba/0 xMxnn)(01xPPDn21001/D1011P10111P1PPDMnn21001/10111011nn)/()/(2102111002102111baxnnn)/()/()( 0021211bbnn)/()/(當 時，n,01nnba即經過足夠長的時間后，隱性患者消失。. 農產品價格問題農產品價格問題 3 3戶鄰

10、居戶鄰居A,B,C,A,B,C,每家都有一個菜園，在各自每家都有一個菜園，在各自的菜園內，的菜園內，A A種番茄，種番茄，B B種玉米，種玉米，C C種茄子，他們種茄子，他們同意按照下面的比例分享各家的收獲同意按照下面的比例分享各家的收獲； A A的番茄的的番茄的1/21/2，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； B B的番茄的的番茄的1/31/3，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； C C的番茄的的番茄的1/61/6，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/21/2； 如果滿足閉合經濟（即系統內自產自銷）的平如果滿足閉合經濟（即系統內自產自銷）

11、的平衡條件，同時收獲物的最低價格是衡條件，同時收獲物的最低價格是10001000元，則每元，則每戶確定它們各自收獲物的價格是什么？戶確定它們各自收獲物的價格是什么？ 構建模型構建模型111234111334111632E0E 設設 表示番茄的收獲的價格，表示番茄的收獲的價格， 表示玉米的收獲表示玉米的收獲價格，價格， 表示茄子的收獲價格，據題意，得收入表示茄子的收獲價格，據題意，得收入支出矩陣（或稱交換矩陣）為支出矩陣（或稱交換矩陣）為 1P2P3P模型求解模型求解112233PPE PPPP123TPPPP設1230111234012103340111632IEPPEPP即即模型得解即模型得

12、解123min1000PPP由 于151000,70kk則1231260,1050,1120PPP即1815 ,16Pkk是任意常數可求得這個齊次線性方程組的通解為可求得這個齊次線性方程組的通解為把n2個不同數字依次填入由nn個小方格構成的正方形中，使得橫行數字之和、直列數字之和以及對角線數字之和都相等，這樣的一個數圖叫做一個（n階）幻方階）幻方，各直線上各數字之和叫幻和幻和。6.3 Drer魔方問題魔方問題最早有關幻方的文字記載是中國古代數學書數術拾遺，那里記載了上述源自“洛書”的方圖，當時稱為“九宮圖”，我國南宋數學家楊輝稱這種圖為縱橫圖，歐洲人稱之為魔方魔方或幻方?；梅街懈鲾等羰菑?到n

13、2的連續(xù)自然數，則稱之為標準幻方標準幻方。n階標準幻方的幻和為 212().n n 幻方起源于古老的傳說，自古有一種神秘色彩，人們把她當作護身避邪的吉祥物。許多人熱衷于研究幻方，起初，只是因為她包含了無盡的神奇之美，而且，研究幻方本身也是對人的智力的開發(fā)。喜歡幻方、研究幻方的人不僅限于數學家，還有物理學家、政治家；不僅有成年人，也有孩子?，F代科學家研究幻方，已經遠遠不是為了好玩或驅災避邪。電子計算機出現以后，幻方在程序設計、組合分析、人工智能、圖論等許多方面發(fā)現了新用場。幻方有多少？ 可以很容易地證明，2階幻方是不存在的。我國南宋時期數學家楊輝早在1275年就給出了310階的幻方。目前，國外已

14、經排出了105階幻方，我國數學家排出了125階幻方。同一階幻方，可以有多種不同的排法，階數越大，排法越多。如果不包括通過旋轉或反射得到的本質上相同的幻方，我們有：3階幻方只有1種；4階幻方有880種；5階幻方有275305224種（約兩億七千五百萬）；7階幻方有363916800種（約三億六千四百萬） ；8階幻方超過10億種。 五階五階 沒人知道有多少個！沒人知道有多少個！三階三階 1個個 反射和中心旋轉生成反射和中心旋轉生成8個個四階四階 880個個 反射和中心旋轉生成反射和中心旋轉生成7040個個魔方數量隨階數魔方數量隨階數n增長的速增長的速度實在是太驚人了！度實在是太驚人了！同階魔方的個

15、數同階魔方的個數Drer魔方魔方：4階，每一行之階，每一行之和為和為34，每一列之和為，每一列之和為34，對角線（或次對角線）之和對角線（或次對角線）之和是是34，每個小方塊中的數字，每個小方塊中的數字之和是之和是34，四個角上的數字，四個角上的數字加起來也是加起來也是34.版畫創(chuàng)造時版畫創(chuàng)造時間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！什么是什么是Drer魔方魔方 該魔方出現在德國著該魔方出現在德國著名的藝術家名的藝術家 Albrecht Drer于于1514年創(chuàng)造的年創(chuàng)造的版畫版畫Melancolia。你想構造你想構造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔

16、方有多少個？魔方有多少個？如何構造所有的如何構造所有的D Drerrer魔方？魔方？設設A,B是任意兩個是任意兩個Drer 魔方，魔方，對任意實數對任意實數k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？松馳問題的討論松馳問題的討論允許構成魔方的數取任意實數允許構成魔方的數取任意實數任意兩個任意兩個Drer魔方的任意的線魔方的任意的線性組合仍是性組合仍是Drer魔方。魔方。記記 D=A=(aij) R44|A為為Drer魔方魔方 將將A看成看成16維列向量，則維列向量，則D構成一構成一個向量空間，稱為個向量空間，稱為Drer魔方空間魔方空間.無窮多個無窮多個求出魔方

17、空間的一組基求出魔方空間的一組基,基的基的任意線性組合都構成一個任意線性組合都構成一個Drer魔方魔方.令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構造一來構造一些些R=C=D=S=1的的最簡單的方陣。最簡單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當第二行的兩種取法。當第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個不同的最個不同的最

18、簡方陣，稱為基本魔方簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對角線和，為對角線和，S為小方塊和為小方塊和類似于類似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來構造一來構造一些些R=C=D=S=1的的最簡單的方陣。最簡單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基Q1=0000000000000000111100101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q0001100

19、0001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當第二行的兩種取法。當第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個不同的最個不同的最簡方陣，稱為基本魔方簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 顯然，顯然， Drer空間中任何一個魔方空間中任何一個魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構成它們能否構成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？00101000010000011Q010000101

20、00000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145

21、823670QQQQQQQQQ1,Q8線性相關線性相關 顯然，顯然， Drer空間中任何一個魔方空間中任何一個魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但來線性表示，但它們能否構成它們能否構成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？Q1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空

22、間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQQ1,Q8線性相關線性相關由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ線性無關。線性無關。Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.Q1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD構造構造Albrecht Drer的數字魔方的數字魔方21rr 6r75rr 43rr

23、 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16321351011896712415141=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQQ1,Q2,Q8能否構成能否構成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構成構成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr

24、3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的線性方程組有所得的線性方程組有 個方程？個方程？ 個變量？個變量？1623如何求解該線性方程組呢？（可利用數學軟件）如何求解該線性方程組呢？（可利用數學軟件）隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0

25、0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ryDrer魔方空間魔方空間是是7維的維的.隨心所欲構造隨心所欲構造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016維變量維變

26、量 y (A, E) = 0ry自由變量可取為自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416321351011896712415141-524 18 2019 19 13 623 421 920 10 522任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一的一組值，就可得唯組值，就可得唯一確定一確定Drer魔方魔方的其他值的其他值.還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？賦予魔方更大賦予魔方更大的威力吧！的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一構造你自己認為有意義的構造你自己認為有意義的Durer魔方。魔方。只要選取系數矩陣只要

27、選取系數矩陣23列中列中16個線性無關的個線性無關的列，其余列，其余7列對應的變列對應的變量就可取為自由變量量就可取為自由變量.任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一的一組值，也可得唯一確定確定Drer魔方的其他值魔方的其他值.125861146710 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份購進的價格為 b，零售價為 a，退回價為 c，應該自然地假設為 abc。也就是說，報童售出一份報紙賺 a-b，退回一份賠 b-c，報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將賠錢。請你為報童籌劃一

28、下，他應該如何確定每天購進報紙的數量，以獲得最大的收入。6.4 報童的訣竅報童的訣竅問問題題報童售報：報童售報： a (零售價零售價) b(購進價購進價) c(退回價退回價)售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購進多少份可使收入最大？每天購進多少份可使收入最大？分分析析購進太多購進太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠錢購進太少購進太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應根據需求確定購進量應根據需求確定購進量每天需求量是隨機的每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數應是長期的日平均收入優(yōu)化問題的目標函數應是長期的日平均收入每天收入是隨機的每天收入是隨機的存在一個合存在一個合適的購進

29、量適的購進量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 設每天購進設每天購進 n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調查需求量的隨機規(guī)律調查需求量的隨機規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準準備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量

30、概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0結果解釋結果解釋nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp因為當購進n份報紙時, drrpPn01是需求量r不超過n的概率，即賣不完的概率； drrpPn2是需求量r超過n的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進的份數n應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a-b與退回一份賠的錢b-c之比.結論：結論：當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數就應該越多。練習：練習：利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？6.4 產品的抽樣檢驗 產品質量是每個企業(yè)都十分關心的一個問題，質量監(jiān)控的一個經常采用的方法是抽樣檢驗。人們設計出了各種各樣的給出整批產品可接受準則的抽樣方案。 問題問題：一個陶器公司生產咖啡杯，