小學(xué)數(shù)學(xué)4年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義第10講-間隔問題(教師版)

1、第10講間隔問題0教學(xué)目標(biāo)上?封閉與非封閉植樹路線的講解及生活運(yùn)用.?掌握空心方陣和實(shí)心方陣的變化規(guī)律.覆知識(shí)梳理，一、植樹問題路線（一）不封閉的植樹路線.若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)+株距+1全長(zhǎng)=株距X（棵數(shù)-1）株距=全長(zhǎng)+（棵數(shù)-1）如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少1,即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長(zhǎng)=株距X棵數(shù)；棵數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)+株距;株距=全長(zhǎng)j棵數(shù).如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還少1棵.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)-1=全長(zhǎng)株

2、距-1.株距=全長(zhǎng)+（棵數(shù)+1）.全長(zhǎng)二株距X（棵數(shù)+1）（二）封閉的植樹路線.在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù).全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)=周長(zhǎng)+株距.二、解植樹問題的三要素（1）總路線長(zhǎng)（2）間距（棵距）長(zhǎng)（3）棵數(shù),只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè).三、方陣問題（1）明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個(gè)數(shù)=總數(shù)+4+1”；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少2；（4）掌握計(jì)算層數(shù)、每層個(gè)數(shù)、總個(gè)數(shù)的方法，及每層個(gè)數(shù)的變化規(guī)律。典例分析“例1、大頭兒子的學(xué)校旁邊的一條路長(zhǎng)400米，在路的

3、一邊從頭到尾每隔4米種一棵樹，一共能種兒棵樹？祥爭(zhēng).1舉叫米2-11S5SSSi【解析】從圖上可以看出，每隔4米種一棵樹，如果20米長(zhǎng)的路的一邊共種了6棵樹，這是因?yàn)槲覀兪紫纫谶@條路的一端種上一棵，就是說種樹的棵樹要比間距的個(gè)數(shù)多1,所以列式為:4004+1=101（棵）.例2、一條馬路長(zhǎng)200米，在馬路兩側(cè)每隔4米種一棵樹，則一共要種樹棵。【解析】考察植樹問題，200:4=50（段），（50+1）x2=102例3、一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹91棵，每?jī)煽弥g的距離是5米，求公路長(zhǎng)是多少米？【解析】根據(jù)植樹問題得到：（91-1）x5=450（米）例4、校門口放著一排花，共10盆.從左往右

4、數(shù)茉莉花擺在第6,從右往左數(shù)，月季花擺在第8,一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間.算一算，一串紅花一共有多少盆？【解析】從左往右數(shù)茉莉花擺在第6,那么從右往左數(shù)茉莉花就是第：1一6-1）=5（盆）花，從右往左數(shù)，月季花擺在第8,從左往右數(shù)月季花就是第：10一（8-1）=3（盆）花，一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間，一串紅花一共有：1。-5-3=2（盆）.例5、從小熊家到小豬家有一條小路，每隔45米種一棵樹，加上兩端共種53棵；現(xiàn)在改成每隔60米種一棵樹.求可余下多少棵樹？【解析】該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系.從小熊家到小豬家的距離是：45x（53-1）=2340（米），間隔距離變

5、化后，兩地之間種樹：2340+60+1=40（棵），所以可余下樹：53-40=13（棵），綜合算式為:53-（45x（53-1）-60+1=13（）.例6、馬路的一邊，相隔8米有一棵楊樹，小強(qiáng)乘汽車從學(xué)?；丶遥瑥目吹降谝豢脴涞降?53棵樹共花了4分鐘，小強(qiáng)從家到學(xué)校共坐了半小時(shí)的汽車，問：小強(qiáng)的家距離學(xué)校多遠(yuǎn)？【解析】第一棵樹到第153棵樹中間共有153-1=152（個(gè)）間隔，每個(gè)間隔長(zhǎng)8米，所以第一棵樹到第153棵樹的距離是：152x8216（米），汽車經(jīng)過1216米用了4分鐘，1分鐘汽車經(jīng)過：1216+4=304（米），半小時(shí)汽車經(jīng)過：304x30=9120（米），即小明的家距離學(xué)校912

6、0米.例7、一位老爺爺以勻速散步，從家門口走到第11棵樹用了11分鐘，這位老爺爺如果走24分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？（家門口沒有樹）【解析】從家門口走到第H棵樹是走了11個(gè)間隔，走一個(gè)間隔所用時(shí)間是：1171=1（分鐘），那么走24分鐘應(yīng)該走了：24+1=24（個(gè)澗隔，所以老爺爺應(yīng)該走到了第24棵樹.例8、元宵節(jié)到了，實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)校大門上掛了紅綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了21只，每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，問實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)校的大門有多寬？【解析】一共掛了21只彩燈說明彩燈中間的間距有：21-1=20（個(gè)），每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，說明每個(gè)

7、間距的長(zhǎng)是：30+2=15（分米），所以學(xué)而思學(xué)校的大門寬度為：15x20=300（分米）例9、有一個(gè)報(bào)時(shí)鐘，每敲響一下，聲音可持續(xù)3秒.如果敲響6下，那么從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要43秒.現(xiàn)在敲響12下，從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】每次敲完以后，聲音持續(xù)3秒，那么從敲完第一下到敲完第6下，一共經(jīng)歷的時(shí)間是43-3=40（秒），而這之間只有67=5（個(gè)）間隔，所以每個(gè)間隔時(shí)間是40+5=8（秒），現(xiàn)在要敲響12下，所以一共經(jīng)歷的時(shí)間是11個(gè)間隔和3秒的持續(xù)時(shí)間，一共需要時(shí)間是：11x8+3=91（秒）.例10、小明家的小狗喝水時(shí)間很規(guī)律，每隔

8、5分鐘喝一次水，第一次喝水的時(shí)間是8點(diǎn)整，當(dāng)小狗第20次喝水時(shí)，時(shí)間是多少？【解析】第20次喝水與第1次喝水之間有20-1=19（個(gè)）間隔，因?yàn)樾」访扛?分鐘喝一次，所以到第20次喝水中間間隔的時(shí)間是：19x5=95（分鐘），也就是1個(gè)小時(shí)35分鐘，所以小狗第20次喝水時(shí)時(shí)間是：9時(shí)35分.例11、科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，每隔5小時(shí)做一次記錄，做第12次記錄時(shí)，掛鐘時(shí)針恰好指向9,問做第一次記錄時(shí)，時(shí)針指向兒？【解析】我們先要弄清楚從第一次記錄到第十二次記錄中間經(jīng)過的時(shí)間是多少.第1次到第12次有11個(gè)間隔:5x11=55（小時(shí)）.然后我們要知道55小時(shí)，時(shí)針發(fā)生了怎樣的變化.時(shí)針每過12小時(shí)就會(huì)

9、轉(zhuǎn)一圈回到原來的狀態(tài)，所以時(shí)針轉(zhuǎn)了4圈以后，乂經(jīng)過了7個(gè)小時(shí).55-12=47（小時(shí)）而這時(shí)時(shí)針指向9點(diǎn),所以原來時(shí)針指向2點(diǎn).例12、裁縫有一段16米長(zhǎng)的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？【解析】如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個(gè)2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個(gè)2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個(gè)2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個(gè)數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個(gè)2米，

10、問題就可以解決了.16米中包含2米的個(gè)數(shù)：16+2=8（個(gè)）剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天），所以裁縫第7天剪去最后一段.例13、有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處需用3分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼?【解析】求鋸的次數(shù)屬植樹問題思路.一根木料鋸成了3段，只要鋸3-1=2次，鋸3根木料要2x3=6次，問題隨之可求.解：一根木料要鋸成3段，共要鋸多少次?3-1=2（次）鋸開三根木料要多少次？2x3=6（次）鋸三根木料要多少時(shí)間？3x6=18（分鐘）綜合算式：3x（3-1）x3=18（分鐘）或3x（3-1）x3=18（分鐘）例14、甲、乙、丙三人鋸?fù)瑯哟旨?xì)的木棍，分別領(lǐng)取8米/。米,6

11、米長(zhǎng)的木棍，要求都按2米的規(guī)格鋸開.勞動(dòng)結(jié)束后，甲，乙，丙分別鋸了24,25,27段，那么鋸木棍速度最快的比速度最慢的多鋸次.【解析】甲每鋸一根出8+2=4（段）需要鋸4-1=3（次）甲鋸24段需要鋸24+4x3=18（次）乙每鋸一根出10+2=5（段）需要鋸57=4（次）甲鋸24段需要鋸25+5x4=20（次）丙每鋸一根出6+2=3（段）需要鋸3-1=2（次）甲鋸24段需要鋸27+3x2=18（次）鋸的速度快的甲和丙比鋸的慢的乙多鋸2次例15、在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個(gè)紅色點(diǎn)，同時(shí)自右向左每隔5厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)將木棍逐級(jí)鋸開，那么長(zhǎng)度是4厘米的短木棍有多

12、少根？05610121518202425301IIIIII1II14厘米4厘米【解析】由于100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn)相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn).而每隔30厘米可得到2個(gè)4厘米的短木棍.最后100-30x3=10（厘米）也可以得一個(gè)短木棍，故共有2x3+l=7（根為厘米的短棍.例16、甲、乙倆人對(duì)一根3米長(zhǎng)的木棍涂色，首先中從木棍端點(diǎn)開始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底.然后，乙從木棍同一端點(diǎn)開始留出6厘米不涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上沒有被涂黑部分的長(zhǎng)度總和為厘米.056151825303640

13、485060【解析】考慮長(zhǎng)的一段木棍中，沒有被涂黑的部分長(zhǎng)度總和為1+3+5+4+2=15（0”）（如上圖），所以3米長(zhǎng)的木棍中共有15x（300+60）=753”）長(zhǎng)未被涂黑.例17、大頭兒子和小頭爸爸一起攀登一個(gè)有300級(jí)臺(tái)階的山坡，爸爸每步上3級(jí)臺(tái)階，兒子每步上2級(jí)臺(tái)階，從起點(diǎn)處開始，父子倆走完這段路共踏了多少級(jí)不同的臺(tái)階？【解析】大頭兒子踏過的臺(tái)階數(shù)是：300+2=150（級(jí)），小頭爸爸踏過的臺(tái)階數(shù)是300+3=100（級(jí)），父子倆每2x3=6（級(jí)）臺(tái)階要共同踏1級(jí)臺(tái)階，共重復(fù)踏了300+6=50（級(jí)），所以父子倆共踏了：150+100-50=200（級(jí)）.例18、北京市國(guó)慶節(jié)參加游行

14、的總?cè)藬?shù)有60000人，這些人平均分為25隊(duì)，每隊(duì)乂以12人為一排列隊(duì)前進(jìn).排與排之間的距離為1米，隊(duì)與隊(duì)之間的距離是4米，游行隊(duì)伍全長(zhǎng)多少米？【解析】這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數(shù)，樹間的距離，求樹列的全長(zhǎng)相當(dāng).逆解時(shí)要注意段數(shù)比樹的棵數(shù)少1.所以，每隊(duì)的人數(shù)是：60000-25=2400（人）每隊(duì)可以分成的排數(shù)是：2400+12=200（排）（3）200排的全長(zhǎng)米數(shù)是：1x（200-1）=199（米）25個(gè)隊(duì)的全長(zhǎng)米數(shù)是：199x25=4975（米）25個(gè)隊(duì)之間的距離總米數(shù)是：4x（25-1）=96（米）游行隊(duì)伍的全長(zhǎng)是：4975+96=5071（米）例19、思考樂

15、學(xué)校三年級(jí)運(yùn)動(dòng)員參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，組成6x6的方塊隊(duì)（即每行每列都是6人），前后每行間隔為2米.他們以每分鐘40米的速度，通過長(zhǎng)30米的主席臺(tái)，需要多少分鐘？【解析】運(yùn)用植樹問題的逆解思路，即前后每行間隔長(zhǎng)x間隔數(shù)二方塊隊(duì)長(zhǎng).方塊隊(duì)長(zhǎng)：2x（6-l）=10（米）,方塊隊(duì)通過主席臺(tái)行進(jìn)路程總長(zhǎng)：1+前=40（米），方塊隊(duì)通過主席臺(tái)需要：40-40=1（分鐘），綜合算式：2、（6-1）+30卜40=1（分鐘）例20、有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從中站出發(fā)開往乙站，全程要15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站，在

16、路上，他乂遇到了10輛迎面開來的電車才到達(dá)甲站，這時(shí)候，恰好乂有一輛車從中站開出，問：他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】這個(gè)人前后一共看見了12輛電車，每?jī)奢v車的間隔是5分鐘,開出12輛電車共有12-1=11（個(gè)澗隔，這樣可以計(jì)算出從第1輛電車開出到第12輛電車開出所用的時(shí)間,共經(jīng)了5x11=55（分鐘），由于他出發(fā)的時(shí)候，第1輛電車巳到達(dá)乙站，所以這個(gè)人從乙站到甲站用了5575=40（分鐘）.孺實(shí)戰(zhàn)演練量=&課堂狙擊1、在一條長(zhǎng)240米的水渠邊上植樹，每隔3米植1棵。兩端都植，共植樹多少棵?【解析】240-3+1=81（棵）2.從甲地到乙地每隔40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根；現(xiàn)在改

17、成每隔20米安裝一根電線桿.求還需要多少根電線桿？【解析】該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系.解：從甲地到乙地距離多少米?4x（51-1）=2000（米）間隔距離變化后，甲乙兩地之間安裝多少根電線桿？2000-20=100（根），100+1=101（根）還需要下多少根電線桿？1。1-51=50（根）綜合算式：-sitto+itxOi根）3、馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹，問汽車每小時(shí)走多少千米？【解析】張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長(zhǎng)度就容易求出汽車速度.5分鐘汽車共走了：9x（501-1）=4500（米），汽車每分鐘

18、走：4500+5=900（米）,汽車每小時(shí)走：900x60=54000（米）=54（千米）列綜合式：9x(501-1)+5x607000=54(千米)4、丁丁和爸爸兩個(gè)人比賽跑樓梯，從一層開始比賽，丁丁到四層時(shí)，爸爸到三層，如此算來,丁丁到16層時(shí)，爸爸跑到了幾層？【解析】丁丁實(shí)際跑了三層的距離，爸爸跑了兩層的距離，到16層需要跑15層的距離，所以丁丁跑了15+3=5（個(gè)）三層的距離，爸爸同時(shí)跑了5個(gè)兩層的距離.所以爸爸跑到了5x2+1=層）.5、有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，六點(diǎn)時(shí)，5秒鐘敲完，那么十二點(diǎn)時(shí)，幾秒鐘才能敲完？【解析】六點(diǎn)時(shí)敲6下，中間共有5個(gè)間隔，所以每個(gè)時(shí)間間

19、隔是5,5=1（秒），十二點(diǎn)要敲12下，中間有11個(gè)時(shí)間間隔，所以十二點(diǎn)要用：11x1=11（秒）才能敲完.6、一根木料在24秒內(nèi)被鋸成了4段，用同樣的速度鋸成5段，需要多少秒？【解析】鋸的次數(shù)總比鋸的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)鋸了4段，實(shí)際只鋸了3次，這樣我們就可以求出鋸一次所用的時(shí)間了，乂由于用同樣的速度鋸成5段；實(shí)際上鋸了4次，這樣鋸成5段所用的時(shí)間就可以求出來了.所以鋸一次所用的時(shí)間：24+（4-1）=8（秒），鋸5段所用的時(shí)間：8x（5-1）=32（秒）.課后反擊1、20名運(yùn)動(dòng)員，騎摩托車圍繞體育場(chǎng)的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長(zhǎng)2米，前后兩輛車相距18米，這列車隊(duì)長(zhǎng)多少米？如果每

20、輛車的車速為每秒12米，這個(gè)車隊(duì)經(jīng)過長(zhǎng)為38米的主席臺(tái)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】20名運(yùn)動(dòng)員共有20輛摩托車，那么他們之間一共有19個(gè)間隔，這個(gè)車隊(duì)的長(zhǎng)由20輛車長(zhǎng)加上19個(gè)間隔組成.20輛車的長(zhǎng)度是：20x2=40（米）.19個(gè)間隔的總長(zhǎng)度為：19x18=342（米）.所以這個(gè)車隊(duì)的長(zhǎng)度為：40+342=382（米）第二問是一個(gè)行程問題，穿過主席臺(tái)實(shí)際上走的路程是主席臺(tái)長(zhǎng)加上車隊(duì)的長(zhǎng)度，所以車隊(duì)走的總路程為382+38=420（米），乂因?yàn)檐囮?duì)的速度為每秒12米，所以用的時(shí)間為42072=35（秒）.2、一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共3。輛，每輛車長(zhǎng)4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了

21、多長(zhǎng)？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過535米長(zhǎng)的檢閱場(chǎng)地，需要多少時(shí)間？【解析】車隊(duì)間隔共有30T=29（個(gè)）,每個(gè)間隔5米,所以，間隔的總長(zhǎng)為（3T）x5=145（米），而車身的總長(zhǎng)為（7T）x4=24（米），故這列車隊(duì)的總長(zhǎng)為（3一1）x5+30x4=265（米）.由于車隊(duì)要行265+535=800（米），且每秒行2米，所以車隊(duì)通過檢閱場(chǎng)地需要，（265+535）+2=400（秒）=6分40秒.3、有一根180厘米長(zhǎng)的繩子，從一端開始每3厘米作一記號(hào)，每4厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？【解析】每3厘米作一記號(hào)，共有記號(hào)：180-3-1=59（個(gè)）每4厘米作一記號(hào)，共有記號(hào)：180+4-1=44（個(gè)）（3）其中重復(fù)的共有：18072-1=14（個(gè)）（4）所以記號(hào)共有：59+4474=89（個(gè)）繩子共被剪成了：89+1=