正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算知識(shí)講解及典型例題解析

1、正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算知識(shí)講解及典型例題解析【考綱要求】1 .了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；2 .結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形(2)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心(3)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑(4)正多邊形的邊心距一一正多邊形

2、中心到正多邊形各邊的距離.(正多邊形內(nèi)切圓的半徑)(5)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n>3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.(3)把圓分成n(n>3)等分，經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.(4)任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓3、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱

3、軸都通過(guò)正n邊形的中心.當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.(4)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：(1)正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是360;n所以正n邊形的中心角等于它的外角.(2)邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)(或半徑、邊心距)的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)(或半徑、邊心距)平方的比.考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算1.圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：£=汽爐,周長(zhǎng)C=2kR.圓

4、心角為耳匕半徑為R的弧長(zhǎng)/二竺2.ISO圓心角為"口,半徑為R,弧長(zhǎng)為/的扇形的面積二腔穴史=17艮.3602弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/的圓柱的體積為霍,側(cè)面積為2不及，全面積為二I_"_'.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為上，高為左的圓錐的側(cè)面積為ttRI,全面積為+母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有漢口+J?=尸.要點(diǎn)詮釋：(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的上，即360xx；?3360350(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、

5、扇形半徑R扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.(3)扇形面積公式%感二!/R,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式S二:曲有點(diǎn)類似，可類比記憶；(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：=竺巴二1乂竺也梵鼠=、1我.幽度36021802【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算C1.圖是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形-正八邊形.(1)如圖，AE是。的直徑，用直尺和圓規(guī)作。O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFG叱寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在(1)的前提下，連接OD已知OA=5若扇形OAD(/AO/180°)是一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑等于.【思路

6、點(diǎn)撥】(1)作AE的垂直平分線交。O于C,G作/AOG/EOG勺角平分線，分別交。O于H,F,反向延長(zhǎng)FO,HO分別交。O于D,B順次連接A,B,C,D,E,F,G,H,八邊形ABCDEFG即為所求；(2)由八邊形ABCDEFGH正八邊形，求得/aod=X3=135°得到標(biāo)的長(zhǎng)工35兀乂54,設(shè)這8ISO4個(gè)圓錐底面圓的半徑為R,根據(jù)圓的周長(zhǎng)的公式即可求得結(jié)論.【答案與解析】(1)如圖所示，八邊形ABCDEFGH為所求，(2)二.八邊形ABCDEFGH正八邊形，/AOD=-3=135°,SOA=5.南的長(zhǎng)=135兀義51打1804設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑為R,_I1R2兀R=

7、JT,4.R上，即這個(gè)圓錐底面圓的半徑為一3故答案為：募.圖【總結(jié)升華】本題考查了尺規(guī)作圖，圓內(nèi)接八邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓的周長(zhǎng)公式的應(yīng)用，會(huì)求八邊形的內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.舉一反三:米.【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點(diǎn)與地面的距離是解析：如圖，以三個(gè)圓心為頂點(diǎn)等邊三角形OQQ的高QC=,32所以AB=AO+OC+BC=-22【變式2同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)的比是2,則扇形【變式3】一張圓心角為45。的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)都為紙板和圓形紙板的面積比是（【答案】A.【解析】解：如圖1,連接OD, 四邊形A

8、BCD是正方形，DCB=ZABO=90°,AB=BC=CD=2, ./AOB=45°,OB=AB=2,由勾股定理得：OD=y.J,"=2!，, 扇形的面積是眨上馬112=5兀；3602如圖2,連接MB、MC, 四邊形ABCD是。M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形, ./BMC=90°,MB=MC, ./MCB=/MBC=45°, BC=2,MC=MB=：'：,OM的面積是兀X（般）2=2兀，扇形和圓形紙板的面積比是-Tt-K271）上.自回故選：A.類型二、正多邊形與圓有關(guān)面積的計(jì)算.（1）如圖（a）,扇形OAB的圓心角為90

9、76;,分別以O(shè)AOB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是（）.（2）如圖（b）,ABC為等腰直角三角形，AC=3,以BC為直徑的半圓與斜邊影部分的面積是.（3）如圖（c）,4AOB中，OA=3cm,OB=1cm,將AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積.（結(jié)果保留兀）AB交于點(diǎn)D,則圖中陰90°到AOB,求AB(cJ【思路點(diǎn)撥】直接使用公式計(jì)算陰影部分面積比較困難時(shí)，可采用和差法、轉(zhuǎn)化法、也需要運(yùn)用變換的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題.【答案與解析】方程法等，有時(shí)解：陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個(gè)圖形面積的和差進(jìn)行計(jì)算:PS扇形OA

10、B2s半圓OCAQ12(-R)QQ；2(2)(轉(zhuǎn)化法“湊整”）利用S'弓形BmDS弓形CnD,則陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為ACD的面積，等于ABC(3)(一，）,一,9面積的一半，答案為9;4旋轉(zhuǎn)法）將圖形ABM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，則“影S扇形AOAS扇形MOM一4OA22OM2【總結(jié)升華】求陰影面積的幾種常用方（1）公式法;構(gòu)造方程法.（2）割補(bǔ)法；（3）旋轉(zhuǎn)法；（4）拼湊法；（5）等積變形法；（6）【變式】如圖，在ABC中，AB=AC,AB=8,BC=12,分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰A.P=QB.P>QC.PvQD.無(wú)法確定影部分的面積是（）A.64冗12&quo

11、t;B.16兀32C,16冗24HD.16冗12用【答案】ADLBC,貝UBD=DG=6.解：如圖，由AB,AC為直徑可得在RtABD中,ADJ82622J7,Sw214216277161277.22答案選D.如圖所示,A是半彳全為2的。外一點(diǎn)，OA=4,AB是。的切線,B為切點(diǎn)，弦BC/OA連AC求陰影部分的面積.【思路點(diǎn)撥】OBOC由BC/OA根據(jù)同底等高的三角形圖中的陰影是不規(guī)則圖形，不易直接求出，如果連接面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBX求解.【答案與解析】解：如圖所示，連OBOCBC/OAOBCABC同底等高，SAABC=SAOBC.AB為。的切線，OB±AB.OA=4

12、,OB=2,/AOB=60°.BC/OA/AOB=/OBC=60°OB=OCOBC正三角形.ZCOB60°,6022360S扇形OBC【總結(jié)升華】通過(guò)等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中可根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱等圖形變換；可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化./P0R舉一反三:【變式】如圖所示，半圓的直徑AB=10,P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C,D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于.【答案】解：連接OCODCDC、D為半圓的三等分點(diǎn)，/”-180°/AOC=/COD=ZDOB=603又OC=OD/OCD=ZODC=60°,

13、DC/AB,SAPCDSAOCD'260gg52360256S陰影§g形OCDC4.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCDK以AB為直徑的半圓與對(duì)角線AC交于點(diǎn)E.（1）求弧BE所對(duì)的圓心角的度數(shù).（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兀）.（2）利用條件可求得扇形求得陰影部分的面積.【答案與解析】解：（1）連接OE四邊形ABCM正方形，/EAB=45,/EOB=2EAB=90;（2）由（1）/EOB=90,且AB=4,則OA=2.c_90允M22,.S扇形AOE=兀,【思路點(diǎn)撥】（1）連接OE由條件可求得/EAB=45,利用圓周角定理可知弧BE所對(duì)的圓心角/EOB=2/EAB=90

14、;AOE的面積，進(jìn)一步求得弓形的面積，利用RtADC的面積減去弓的面積可SaoJoA=2,-S弓形"S扇形AOESaaOET兀2,又sact二AD?CD=X4X4=8,22S陰影=8（兀2）=10兀.【總結(jié)升華】本題主要考查扇形面積的計(jì)算和正方形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意弓形面積的計(jì)算方法.C5.將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓?。ˋb）對(duì)應(yīng)的中心角（/AOB為120°,AO的長(zhǎng)為4cm求圖中陰影部分的面積.【思路點(diǎn)撥】看是否由“規(guī)則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經(jīng)過(guò)怎樣的拼湊、害u補(bǔ)、疊合而成，這

15、是解決這類題的關(guān)鍵.【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個(gè)扇形AO環(huán)口一個(gè)RtBOCfi成，其中扇形AOB勺中心角是120°,AO的長(zhǎng)為4,RtBOC中,OB=OA=4,/BOC=60°,可求得BC長(zhǎng)和OCK,從而可求得面積，陰影部分面積=扇形AOB面積+4BOC®積=竺_2J3cm2.3【總結(jié)升華】本題是求簡(jiǎn)單組合圖形的面積問(wèn)題，解答時(shí)，常常是尋找這些“不規(guī)則的圖形”是由哪些“可求面積的、規(guī)則的圖形”組合而成.舉一反三:【變式】如圖，矩形ABCM,AB=1,ADJ2.以AD的長(zhǎng)為半徑的。A交BC于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為解析：連接AE,易證AB=BE=1

16、,/BAE=45°,所以/EAD=45所以Sb影S矩形ABCDSAABES扇形DAE四28(歷2gT晨O曰上曰Z人"一人鉆6.如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切。O于點(diǎn)C,連接AC過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線交AC于點(diǎn)D,交OO于點(diǎn)E,已知AB=8,/P=30°.(1)求線段PC的長(zhǎng)；(2)求陰影部分的面積.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OC由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與PC垂直，可得三角形OC斯直角三角形，同時(shí)由直徑AB的長(zhǎng)求出半徑OC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為/P的對(duì)邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)/P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出

17、tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長(zhǎng)；(2)由直角三角形中/P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出/AOC的度數(shù)，進(jìn)而得出/BOC勺度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB利用等腰三角形的三線合一得到OD為/BOC勺平分線，可求出/COC®數(shù)為60°,再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出/OC僅數(shù)為30°,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，先由/COD勺度數(shù)及半徑OC的長(zhǎng)，利用扇形的面積公式求出扇形COE勺面積，再由OD與CD的長(zhǎng)，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形CO而面積，即可求出陰影部分的面積.【答案與解析】解：(1)連接OCPC切。O于點(diǎn)C,OGLPC,“1.AB=8,.OCAB=4,2又在直角三角形OCP中，/P=30°,tanP=tan30=,即PC=：=4/3;又ACLOEOA=O