正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型

1、正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法】1 .描點(diǎn)法：按照列表、描點(diǎn)、連線三步法作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的方法。2 .幾何法：利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在0,2刈內(nèi)的圖象，再通過平移得到丫=$1111和y=cosx的圖象。3 .五點(diǎn)法：先描出正弦曲線和余弦曲線的波峰、波谷和三個(gè)平衡位置這五個(gè)點(diǎn)，再利用光滑曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。要點(diǎn)詮釋：(1)熟記正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)。(2)若xeR,可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2詞上的圖象，然后通過左、右平移可得到y(tǒng)=sinx和y=cosx的圖象。(

2、3)由誘導(dǎo)公式y(tǒng)=cosx=sin(x+?),故y=cosx的圖象也可以將y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長度得到。2【知識(shí)點(diǎn)2正弦曲線、余弦曲線】1 .定義：正弦函數(shù)y=smx(x£H)和余弦函數(shù)y=cosx(xeR)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線。2 .圖象要點(diǎn)詮釋：(1)由正弦曲線和余弦曲線可以研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。(2)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的問題，如x£0,2;f,方程lgx=sinx根的個(gè)數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)3函數(shù)圖象的變換】圖象變換就是以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)通過對(duì)稱、平移而得到。y=sinxfy=sin(x+y=A

3、sin(s+(p)【知識(shí)點(diǎn)4周期函數(shù)的定義】函數(shù)y=/(x),定義域?yàn)镮,當(dāng)時(shí)，都有/(x+T)=/(x),其中T是一個(gè)非零的常數(shù)，則y=/(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.1 .定義是對(duì)I中的每一個(gè)x值來說的，只有個(gè)別的x值滿足f(x+T)=/(x)或只差個(gè)別的x值不滿足f(x+T)=f(x)都不能說T是y=/(x)的一個(gè)周期.2 .對(duì)于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期.【知識(shí)點(diǎn)5正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)】函數(shù)正弦函數(shù)丫=53乂余弦函數(shù)y=cosx定義域RR值域-L11,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性最小正周期2萬最

4、小正周期2乃單調(diào)區(qū)間kez增區(qū)間2k7r-,2k7：+減區(qū)間2k7r+/,2k冗+增區(qū)間2kn-乃,2左乃|減區(qū)間2k兀,2k兀+乃最值點(diǎn)kez最大值點(diǎn)(2上萬+,1)最小值點(diǎn)(2攵萬一一1)2最大值點(diǎn)(2%尸,1)最小值點(diǎn)(2k九+4,一1)對(duì)稱中心kez（左刀,0）仇才+1,0)對(duì)稱軸kez.71X=K7T+2x=k?！究键c(diǎn)1正、余弦函數(shù)的定義域】【例1】（2019春南湖區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)=J2sin（2x-g）-1的定義域?yàn)椤痉治觥扛鶕?jù)根式滿足的條件，解三角不等式即可.TTTT1【答案】解：*.*2siii（2x）-120=sin（2x）2,332:.2hr+"W2x-W2京

5、+3-,&CZ,636TT7TT工后rU-WxWEq-,keZ.412TT7TT故答案是xithxkn-z,&CZ【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解三角不等式.【變式1-1（2019秋黃岡期末）函數(shù)），=向7+必益7的定義域是.【分析】由題意可得sinx>O,cosx20,故2%r+0WxW2后什了，kEz，解出x的范闈，即得所求.【答案】解：由題意可得sinx20,cosji20,.2E:+0WxW2hrL,kq，2故函數(shù)的定義域?yàn)椋?尿，2尿吟）,te，故答案為：（2ku,2kn+-）,kez.2TT【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的定義域，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)

6、，得到2%r+0WxW2京號(hào),kez,是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14-sinx【變式1-2】函數(shù)y=的定義域?yàn)?sinx2【分析】此為一分式函數(shù)，令分母不為0即可解出函數(shù)的定義域來.【答案】解：令工-siiirWO,即smtW工，如圖22x=2lcn+-,x#2hr+-三-=(2k-1)n-,髭z，666故其形式可以統(tǒng)一為Xlai+(-1)A,kez，6所以函數(shù)的定義域?yàn)閤x=lai+(-1)kez.【點(diǎn)睛】考查定義域的求法與解三角方程，本題中把兩種情況的答案合二為一是一個(gè)技巧，答題者應(yīng)細(xì)心體會(huì)其中的規(guī)律.【變式1-3（2019秋安福縣校級(jí)期中）函數(shù)y=二）+/g（2cos2x+l）的定義域?yàn)?/p>

7、.【分析】由題意可得12-*23°,化簡(jiǎn)可得.I2cos2x+l>0W2<x<a/22E+等>2>24專，卜邑由此求出入的范圍，即得函數(shù)的定義域.2*fW2<x<V2【答案】解,函數(shù)支G+式2c°必+1），監(jiān)工2：；>0'|0卷.W2<x<a/2ITIT化簡(jiǎn)可得2Kb2兀.<解得-U-VxV-.2k7V+>2x>2k,kEz33TTIT故函數(shù)的定義域?yàn)椋?g-，=），33ITTT故答案為（=，冬）.33【點(diǎn)睛】本題主要考查求余弦函數(shù)的定義域和值域，求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)2正

8、、余弦函數(shù)的值域】【例2】（2018秋啟東市校級(jí)月考）函數(shù)x）=sin（2x-C）在區(qū)間0,當(dāng)上的值域?yàn)橐?42TT7T【分析】由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)/（%）=sin（2x-?。┰趨^(qū)間0,寧上的值域.【答案】解：在區(qū)間。，上，"-Ji-十，等'sin（Z】子）R-券，1,故函數(shù)/（x）=sin（2x-子）在區(qū)間0,上的值域?yàn)?喙，1，故答案為：1.2【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題.【變式2-1（2019秋射陽縣校級(jí)期中）函數(shù)/（x）=2cos2x+3sinx+2,尚:的值域.【分析】根據(jù)同角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，得到關(guān)于smi的二次函

9、數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域.【答案】解：y=2cos2x+3sinv+2=2（1-siirx）+3sinx+2=-2（sim-卷）,兀2冗，63siiiv6-,1,:.當(dāng)Sill¥=2"時(shí)，函數(shù)f（X）取最大值348當(dāng)siiH=1或sinx=l時(shí)，函數(shù)/（x）取最小值5,故函數(shù)/（x）=2cos.x+3siiiv+2»xE的值域?yàn)?,638故答案為：5,磐【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象及增減性求出函數(shù)的值域.做題時(shí)注意余弦函數(shù)的值域.【變式2-2（2019春淄博校級(jí)月考）函數(shù)），=三嗎的值域?yàn)?3+sinx【分

10、析】先換元f=smx,毛-1,1,尸奈，利用湊分母分離常數(shù)，然后逐一求式子的范圍，即可求函數(shù)的值域.【答案】解:令f=sinx,f-1,1,所以：號(hào)上翳嗡口丁-1WW1,2Wf+3W4,4飛什3r2/.-T<2，2、+3飛函數(shù)冷皂更的值域?yàn)?+sinx故答案為:【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查分式函數(shù)求值域問題，用到換元，利用湊分母分離常數(shù).【變式2-3(2019秋西城區(qū)期末)己知函數(shù)x)=sin(x+C),其中xe£,.當(dāng)時(shí)，f(x)的632值域是;若的值域是-g，1，則a的取值范圍是.【分析】當(dāng)=今時(shí)，由入日-2，3利用正弦函數(shù)的定義域和值域可得f(x)的值域.若/(x)1TTIT77

11、T的值域是-去，1,則由正弦函數(shù)的圖象可得全二-wL上，由此解得。的取值范圍.zz6b【答案】解：當(dāng)。=工時(shí)，由/-工，工可得-2Lwxd-w",-Lwsin1工)WL23266326.V(x)的值域是-,，1.若/G)的值域是-寺，1,則日W”吟W哈，解得即a的取值范圍是弓，孫故答案為1、?，7T.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)3正、余弦函數(shù)作圖】【例3】(2019春鄭州期末)已知函數(shù)x)=sin(g-馬3>0,xeR)的最小正周期為4.4(I)求得；(H)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間-三，夕上的圖象.【分析】(1)根據(jù)

12、7=等.求出周期，得到函數(shù)的解析式，代入值計(jì)算即可；W(2)利用五點(diǎn)作圖法作圖即可.9JT1T【答案】解：(1)依題意得，7=4解得3=2,所以/(x)=sm(2x-),W4口-八/3/八/3兀TT,IT7T所以f(n)=sin(2X)=sin(ir+)=-sm=,7444442(2)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性質(zhì)，以及三角函數(shù)值的求法和函數(shù)圖象的做法，屬于基礎(chǔ)題.【變式3-1】畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1) y=I-sinx,xeO,2乃；(2) y=3cosx+l,xeO,2.【分析】根據(jù)五點(diǎn)做出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，即可得到結(jié)論.【答案】解：(1)列表如下:X07

13、1n3712nsinx010-10y=1-sinx10121畫出圖形，如圖:（2）列表為X071n3712nCOSX10-101y=3cosx+l41-214【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握五點(diǎn)法作圖以及圖象之間的關(guān)系，屬于基本知識(shí)的考查.【變式3-2】畫出下列函數(shù)的圖象.(1) y=l+3cosx,xeO,2(2) y=2siiix-l»xeO>24.【分析】（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=l+3cosx在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖.（2）用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=2smt-1在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖.【答案】解：（1）列表:X0n3-2n22COSX10-101y=l+3cosx41-214（2）列表:X0nn3-2n22siiix010-10y=2sinx-1-11-1-3-1【點(diǎn)睛】本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)尸Asin（3%+（p）的圖象、尸Acos（sFp）的圖象，屬于基礎(chǔ)題.【變式3-3】用多種方法在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù).（1） y=sinx,xe0,20（2） j=siiix+l>xe0»24（3） y=8sx,xe>-22，冗、冗、（4） y=-cosx>xe