拋物線及其標準方程

1、第2課時教學目標知識與技能1掌握定義法求解動點軌跡方程的根本步驟2加深理解拋物線的定義，并拓展推廣拋物線定義3能夠熟練地運用拋物線的方程解決一些問題4能夠?qū)⒌浇裹c的問題與到準線的問題進行互相轉化，提高學生的轉化能力過程與方法1理解求解軌跡的重要方法定義法以及其中所表達的數(shù)形結合思想2將折線問題轉化為直線問題來解決的化歸思想的形成3運用拋物線方程的相關知識解決實際應用問題情感、態(tài)度與價值觀通過經(jīng)歷軌跡方程的求解，及定義與方程的深入探求，經(jīng)歷探求成功的心理體驗，激發(fā)學生主動探究的動機，提高學生對數(shù)形結合思想、化歸思想、創(chuàng)新思維的熱情重點難點教學重點：拋物線的定義及方程的運用教學難點：到焦點的距離與

2、到準線距離的轉化復習引入1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線. 2推導拋物線的標準方程如下圖，建立直角坐標系，設|KF|p(p>0)，那么焦點F的坐標為(，0)，準線l的方程為x，設拋物線上的點M(x，y)，那么有|x|.化簡方程得 y22px(p>0)方程y22px(p>0)叫做拋物線的標準方程(1)它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F(，0)，它的準線方程是x . (2)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾

3、種形式：y22px，x22py，x22py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下3拋物線的準線方程：如下圖，分別建立直角坐標系，設出|KF|p(p>0)，那么拋物線的標準方程如下：(1)y22px(p>0)，焦點：(，0)，準線l：x.(2)x22py(p>0)，焦點：(0，)，準線l：y.(3)y22px(p>0)，焦點：(，0)，準線l：x.(4) x22py(p>0)，焦點：(0，)，準線l：y.熱身練習1點M與點F(4,0)的距離比它到直線l：x50的距離小1，求點M的軌跡方程學情預測：學生可能會由，得點M屬于集合PM|MF|1|x5|將

4、|MF|用點的坐標表示出來，化簡后就可得到點M的軌跡方程，但這種解法的化簡過程比擬繁瑣引導學生仔細分析題目的條件，“點M與點F的距離比它到直線l：x50的距離小1”，就是“點M與點F的距離等于它到直線x40的距離，由此可知點M的軌跡是以F為焦點，直線x40為準線的拋物線解：如圖，設點M的坐標為(x，y)由條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x40的距離根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F(4,0)為焦點的拋物線4，p8.因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為：y216x.設計意圖：此題為拋物線定義的靈活應用，加強對拋物線定義的理解與認識2說出以下拋物線的焦點坐標和準線方程(1)y28x

5、焦點為_，準線方程為_(2)x24y焦點為_，準線方程為_(3)2y23x0焦點為_，準線方程為_(4)yx2焦點為_，準線方程為_解：(1)(2,0)，x2(2)(0,1)，y1(3)(，0)，x(4)(0，)，y設計意圖：復習拋物線的標準方程求焦點坐標、準線方程的方法：關鍵要確定軸向3根據(jù)以下條件寫出拋物線的標準方程. (1)焦點是F(3,0)(2)準線方程是y3.(3)焦點到準線的距離是4，焦點在y軸上解：(1)y212x(2)x212y(3)x28y或x28y活動設計：以上3個問題可讓學生先獨立思考，必要時，允許合作討論教師巡視指導講授新課(一)標準方程的再認識1分別求滿足以下條件的拋

6、物線的標準方程：(1)過點(3，4)(2)焦點在直線xy20上活動設計：學生先獨立思考，當然，學生自愿合作討論的也允許(1)分析：因為拋物線的標準方程只含有一個待定系數(shù)，所以只需要一個獨立的條件即可求出標準方程，而標準方程有四種形式，所以要根據(jù)條件選設方程形式解：因為點(3，4)在第四象限，所以拋物線可能開口向右或向下故設方程為y22px(p>0)或x22py(p>0)將點(3，4)代入得方程為：y2x或x2y.(2)分析：因為焦點在直線上，而且是標準方程，所以焦點也應該在坐標軸上，而直線與坐標軸有兩個交點，這兩個焦點都可能是焦點解：由題意知直線與坐標軸交于(2,0)和(0,2)假

7、設拋物線以(2,0)為焦點，那么方程為y28x.拋物線以(0,2)為焦點，那么方程為x28y.點評：(1)掌握運用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程，解題時強調(diào)方程形式的選擇；(2)進一步熟悉拋物線的焦點位置與標準方程之間的關系；(3)培養(yǎng)學生運用知識解決問題的能力(二)定義的拓展2拋物線y24x上一點到焦點的距離為3，那么這個點的坐標是_(變式一)拋物線y24x上一點的橫坐標是4，那么這個點到焦點的距離為_(變式二)拋物線y22px上有一點A(4，m)到準線的距離為6，那么m_.(變式三)拋物線上一點A(5，m)到焦點F(n,0)的距離為6，那么拋物線的標準方程為_(變式四)點A(0，1)，點P是

8、拋物線y24x上一動點，那么點P到定點A的距離與點P到拋物線的準線的距離和的最小值為_設計意圖：由定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于它到準線的距離，后者可以用這個點的橫坐標或縱坐標單獨地表示出來，所以應該圍繞這個特點來解決問題解：由題意可知拋物線y24x的準線方程為x1，因為這個點到焦點的距離為3，所以它到準線的距離也是3，從而它的橫坐標為2，將它代入方程得坐標為(2，±2)(變式一)答案：5(變式二) m±4(變式三)由焦點F(n,0)得：焦點在x軸上，所以準線方程為xn.拋物線上一點A(5，m)到焦點F(n,0)的距離為6，所以它到準線的距離也等于6，而且點A(5，

9、m)在y軸的左側，故開口向左，設方程為y24nx，那么n(5)6，n1.所以方程應為：y24x.(變式四)解：如圖點P到點A的距離與點P到拋物線焦點距離之和為 PAPF，故最小值在A、H、F三點共線時取得，此時PAPFAF.又A(0，1)，F(xiàn)(1,0)，所以，AF.點評：解決變式四需注意先判斷定點的位置，再進行轉化(三)數(shù)學應用3拋物線形古城門底部寬12 m，高6 m，建立適當?shù)淖鴺讼?，求出它的標準方程解：如圖建立直角坐標系，設方程為x22py，那么A(6，6)在拋物線上，即：622px(6)2p6故方程為x26y.引申：一輛貨車寬4 m，高4 m, 問能否通過此城門？解：讓貨車沿正中央行駛，

10、車寬4 m，當x2時，y×22.此時，地面到該點的高度為h64.故車子可以順利通過研究：假設城門為雙向行道，那么該貨車能否通過呢？解：讓貨車靠正中央行駛，車寬4 m，當x4時，y×42.此時，地面到該點的高度為h64.故車子不能順利通過1到定點的距離與到定直線的距離之比等于log33的點的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線2拋物線x的準線方程是()Ax2 Bx4 Cy Dy3拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上一點(5,2)到焦點的距離是6，那么拋物線的標準方程是()Ay22x By24x Cy22x Dy24x4過點P(2,3)的拋物線的標準方程是_5拋物線

11、的頂點在原點，焦點是橢圓4x2y21的一個焦點，那么此拋物線的焦點到準線的距離是_6在拋物線y28x上有一點P，它到焦點的距離是20，那么點P的坐標是_答案：1.D2.A3.B4.y2x或x2y5.6.(18,12)或(18，12)本課小結1由方程求根本量，反過來可以由一些根本量求出方程；2根本知識：轉化思想 ，用到焦點的距離轉化為到準線的距離；3解決問題，解決一些與拋物線有關的實際問題作業(yè)布置補充練習的1,3,4.補充練習1拋物線x24y上一點A的縱坐標為4，那么它到焦點的距離是_2拋物線yax2的準線方程是_3如圖：一個拋物線型拱橋，當水面離拱頂2 m時，水面寬4 m，假設水面下降1 m，

12、求水面寬度4拋物線上一點(a，3)到焦點(0，m)的距離是5，求拋物線的標準方程答案：1.52y3解：建立如下圖的直角坐標系，那么A點坐標為(2，2)，設拋物線的方程為x22py，將點A坐標(2，2)代入方程得：x22y，假設水面下降1 m，此時對應的B點的縱坐標變?yōu)?，即：y3，代入方程得：x22×(3)6，x±，所以水面的寬變?yōu)? m.4解：因為焦點在y 軸上，由點(a，3)的特點可設方程為x22py(p>0)，那么準線方程為：y，故有(3)5，p4.方程為：x28y.設計本節(jié)課主要是為了使學生加深對拋物線的定義的理解，加深對拋物線標準方程的認識，以及能夠運用拋物線標準方程解決現(xiàn)實生活中與之有關的問題設計從復習拋物線定義及標準方程的推導開始，讓學生對進一步加深對知識的理解，然后通過例題引導學生分析問題，解決問題，熟練掌握拋物線的標準方程的四種形式通過變式訓練逐步增加難度，循序漸進，增加學生的思維量，使其能夠全面地分析問題、解決問題，最后通過一道實際問題，讓學生知道知識來源于生活，又能夠效勞于生活，提高學生的學習興趣備選例題：過拋物線y22px的