《牛吃草問題》課件

1、牛吃草問題 小教普通 胡蒙潔導(dǎo)入：“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，同學(xué)們一下就可求出：31065（天）。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問牛吃草問題題，牛吃草問題是牛頓問題的俗稱。 英國(guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？ 設(shè)設(shè)1 1頭牛一天吃的草為頭牛一天吃的草為1 1份。那么，份。那么，1010頭牛頭牛2020天吃天吃2

2、00200份，草被吃完；份，草被吃完；1515頭牛頭牛1010天吃天吃150150份，草也被吃完。份，草也被吃完。前者的總草量是前者的總草量是200200份，后者的總草量是份，后者的總草量是150150份，前者份，前者是原有的草加是原有的草加 2020天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加1010天新長(zhǎng)出的草。天新長(zhǎng)出的草。2002001501505050（份），（份），201020101010（天），（天），說明牧場(chǎng)說明牧場(chǎng)1010天長(zhǎng)草天長(zhǎng)草5050份，份，1 1天長(zhǎng)草天長(zhǎng)草5 5份。也就是說，份。也就是說，5 5頭牛專吃新長(zhǎng)出來的草剛好吃完，頭牛專吃新長(zhǎng)出來的草剛好

3、吃完，5 5頭牛以外的牛吃頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草（l05l05） 20 20100100（份）或（份）或（155155）1010100100（份）。（份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100100份，每天新長(zhǎng)出草份，每天新長(zhǎng)出草5 5份。當(dāng)有份。當(dāng)有2525頭牛時(shí)，其中的頭牛時(shí)，其中的5 5頭專吃新長(zhǎng)出來的草，剩下的頭專吃新長(zhǎng)出來的草，剩下的2020頭吃原有的草，吃完需頭吃原有的草，吃完需10010020205 5（天）。（天）。所以，這片草地可供所以，這片草地可供2525頭牛吃頭牛吃5 5天。天。在例

4、在例1的解法中要注意三點(diǎn)：的解法中要注意三點(diǎn)：（1）每天新長(zhǎng)出的草量是通過已知的兩種不同情）每天新長(zhǎng)出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的。況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出其余的牛吃

5、原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。能吃幾天。練習(xí)： 1.一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？例例2：由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？:設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（20

6、10）5150（份）。由 1501015知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃 10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練-1： 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時(shí)打開2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？ 分析：雖然表面上沒有分析：雖然表面上沒有“牛吃草牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃?，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，量在均勻變化，“水水”相?dāng)于相當(dāng)于“草草”，進(jìn)水管，進(jìn)水管進(jìn)的進(jìn)的水水相當(dāng)于相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草新長(zhǎng)出的草，出水管，出水管排的水排的水相當(dāng)于相當(dāng)于牛在

7、吃牛在吃草草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴强者@段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題。水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2816（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3515（

8、份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3（份）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是 1/3（份）原有水的水量為:(2-1/3)8=40/3(份)解:設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份,每分鐘進(jìn)水量(28-35)/(8-5)=1/3(份) 進(jìn)水管提前開了(2-1/3)81/3=40(分) 答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2： 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？分析：上樓的速度

9、可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了205 100（級(jí)），女孩6分鐘走了15690（級(jí)），女孩比男孩少走了1009010（級(jí)），多用了651（分），說明電梯1分鐘走10級(jí)。所以扶梯共有（2010）5150（級(jí)）。解：解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（205156）（65）10（級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（2010）5150（級(jí)）。答：扶梯共有150級(jí)。解：解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（205156）（65）10（級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（2010）5150（級(jí)）。答：扶梯共有150級(jí)。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候

10、檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？ 分析與解：分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“?！?，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個(gè)檢票口30分鐘通過（430）份，5個(gè)檢票口20分鐘通過（520）份，說明在（30-20）分鐘內(nèi)新來旅客（430-520）份，所以每分鐘新來旅客（430-520）（30-20）=2（份）。假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。