常微分方程解的延伸

1、§3 解的延伸§1的定理1只肯定了在相當廣泛的條件之下，解在區(qū)間上存在，其中，.當很大時，可能很小，甚至出現(xiàn)的定義域擴大后，Cauchy問題的解的存在區(qū)間反而縮小的現(xiàn)象.例如Riccati方程的Cauchy問題當時，而當時，.由此看到，反而，這說明在上，由定理1得到的Cauchy問題的解在有定義，至少可以把此解延伸在上仍有定義.僅僅知道解局部存在，在許多情形下往往不能滿足需要.我們的問題是：能否將一個在小區(qū)間上有定義的解延伸到比較大的區(qū)間上去呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.設微分方程經(jīng)過點的解有如下表達式， （）其中表示的最大存在區(qū)間.先考察積分曲線在點右側的延伸情況.令為在

2、點右側的最大存在區(qū)間，即.若，則積分曲線在區(qū)域內(nèi)就延伸到無窮遠，因此也就延伸到區(qū)域的邊界.否則，就只有下面兩種可能：1） 是有限閉區(qū)間.令，其中，方程與條件的解存在于區(qū)間上，當時，我們按下述方式把解向右延伸：令，則.因為區(qū)域是一個開集，所以存在矩形區(qū)域：: , ,使得.由定理3，在上，方程至少有一個解滿足初始條件.令顯然是方程的滿足條件的在區(qū)間上有定義的解.因此，它是積分曲線在區(qū)間上的表達式.由于已設積分曲線的最大右側存在區(qū)間為，從而必包含，與假設矛盾.故比可能是有限閉區(qū)間.2） 是有限半開區(qū)間.令，其中，而當時，有.下證對任何有限閉區(qū)域，不可能使，對一切成立.事實上，若不然，設是內(nèi)一個有限閉

3、區(qū)域，使得成立，則有和， 當 它等價于， （） 由于在有限閉區(qū)域上是連續(xù)的，故在上有上界，再由和可推知，在上有上界，再由拉格郎日中值公式即可推得 ， 當.由此可證，當時，的極限存在，設為，即 令可知這樣定義的函數(shù)是連續(xù)的，從而由和可知，在上滿足.由上一節(jié)定理1的證明知，在區(qū)間上是微分方程的滿足初值條件的一個解.這也就是說，上面的積分曲線可延伸到區(qū)間上，這與的最大存在區(qū)間為矛盾.故對任何有限閉區(qū)域，關系式是不可能成立的.由上述討論可知，積分曲線在點的右側將延伸到區(qū)域的邊界.同理可證，積分曲線在點的左側也將延伸到區(qū)域的邊界.把上面的結果寫成一個定理，即有定理4 設為區(qū)域內(nèi)一點，并設是積分方程經(jīng)過點

4、的任一條積分曲線，則積分曲線將在區(qū)域內(nèi)延伸到邊界.由定理1和定理4立即可得如下推論.推論 設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對滿足局部的李普希茲條件，則微分方程經(jīng)過內(nèi)任一點存在唯一的積分曲線，并且在內(nèi)延伸到邊界.例1 在平面上任取一點，試證初值問題： ，的右行解（即從點出發(fā)向右延伸的解）都在區(qū)間存在.證 記，它在全平面上連續(xù).對于平面上任意一個包含點的區(qū)域，在上一致連續(xù)，所以對，亦即在上滿足李普希茲條件，從而由上面的推論可知，初值問題的解存在且唯一，并且可以延伸到的邊界.不難看出，直線：是微分方程所對應的線素場的水平等斜線，且線素的斜率在上方為負，因而積分曲線在上方是單調(diào)下降的，而在下方線素的斜率為正，故

5、積分曲線在下方是單調(diào)上升的.現(xiàn)設位于的上方，即有.利用的右行解在條形域: 上的延伸定理，以及積分曲線在上方的單調(diào)下降性，可推知必與相交（如圖 ）.再設位于直線上或其下方，即.那么在區(qū)域: 上應用右行解的延伸定理，可知的解可延伸到的邊界.又由前面討論知，在下方積分曲線是單調(diào)上升的，且它在向右延伸時不可能從水平等斜線的下方穿越到上方.因此，積分曲線必可延伸到.例2 研究定義于條形區(qū)域: 中的方程.這里處處連續(xù)，且在條形區(qū)域中的任一點的領域內(nèi)滿足李普希茲條件.方程的通解為，此外還有特解.很顯然，積分曲線的兩端都能達到的邊界.可以算出，經(jīng)過點的積分曲線是，它的左端能達到，但右端當時，故不能達到的邊界.

6、仿此，經(jīng)過點的積分曲線是，它的右端能達到，但在左端當時，故不能達到的邊界.（如圖 ）例2說明，微分方程解的最大存在區(qū)間因解而異.對不同的解，需要在不同的區(qū)間上進行討論.因此，當我們不知道解的最大存在區(qū)間時就無法對解進行研究，下面的定理在一定條件下為我們克服了這個困難.定理5 設微分方程其中函數(shù)在條形區(qū)域: 內(nèi)連續(xù)，而且滿足不等式其中和在區(qū)間上是連續(xù)的.則微分方程的每一個解都以區(qū)間為最大存在區(qū)間.證 設方程滿足初值條件，的一個解為：.要證的最大存在區(qū)間為.用反證法.設它的右側最大存在區(qū)間為，其中是常數(shù)，在的兩側分別取常數(shù)，使得，且.由假設條件知，、在有限閉區(qū)間上是連續(xù)有界的.設分別為它們的正的上界，從而由可得， （） 不妨設,由于在上存在，于是有，.現(xiàn)以點為中心作一矩形區(qū)域.這里正數(shù)是充分大.顯然，.再由有， 成立.令，再以點為中心作一矩形區(qū)域.顯然，在內(nèi)應用定理4，可以推知，微分方程過的解必可向右延伸到的邊界.另一方面，由式可知，解在內(nèi)必停留在扇形區(qū)域.因此，解可向右延伸到,又由于及.