基于FFT的高精度諧波檢測(cè)算法

1、基于基于 FFTFFT 的高精度諧波檢測(cè)算法的高精度諧波檢測(cè)算法 基于基于 FFTFFT 的高精度諧波檢測(cè)算法的高精度諧波檢測(cè)算法薛薛 蕙，楊仁剛蕙，楊仁剛（中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院，北京（中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院，北京 100083100083） 摘摘 要要：大量非線性元件的應(yīng)用給電力系統(tǒng)帶來了大量的整數(shù)和非整數(shù)次諧波，傳統(tǒng)的諧波檢測(cè)方法快速傅立葉變換(FFT)由于存在柵欄和頻譜泄漏現(xiàn)象，只適用于整數(shù)次諧波的分析，而不適用于非整數(shù)次諧波的檢測(cè)，因此不能夠?qū)崿F(xiàn)精確的諧波分析。非整數(shù)次諧波頻譜泄漏現(xiàn)象是因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)信號(hào)的傅立葉變換與理論傅立葉變換的不同而產(chǎn)生的。為消除頻譜泄漏誤差，提高檢測(cè)精度，文

2、中詳細(xì)分析了FFT算法的頻譜泄漏現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)算法。該算法通過對(duì)FFT算法做簡(jiǎn)單變換，減小了頻譜泄漏誤差，降低了諧波之間的相互干擾。仿真驗(yàn)證了該算法的高精度檢測(cè)特性。該文提出的算法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，精度高的特點(diǎn)，從而為電力系統(tǒng)中的諧波檢測(cè)和分析提供了一種有效的算法。 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：快速傅立葉變換（FFT）；諧波分析；頻譜泄漏1 1 引言引言 隨著大量電力電子器件和非線性元件的使用，電力系統(tǒng)中的諧波污染越來越嚴(yán)重和復(fù)雜，不僅存在著頻率是工頻整數(shù)倍的整數(shù)次諧波，而且存在著大量非整數(shù)和分?jǐn)?shù)次諧波1,2。這些諧波的存在嚴(yán)重影響了電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行3。因此必須對(duì)這些諧波進(jìn)行治理。諧波的檢測(cè)和

3、分析是實(shí)現(xiàn)諧波治理的前提條件，準(zhǔn)確的諧波檢測(cè)和分析能夠?yàn)橹C波治理提供良好的依據(jù)。 目前常用的諧波檢測(cè)分析方法是快速傅立葉變換（FFT）。FFT 算法能夠?qū)崿F(xiàn)整數(shù)次諧波的精確分析和檢測(cè)，但是對(duì)于非整數(shù)次諧波的檢測(cè)，F(xiàn)FT 算法存在著頻譜泄漏和柵欄現(xiàn)象，從而使檢測(cè)出諧波的幅值、相角和頻率均存在較大的誤差4,5，不能夠滿足檢測(cè)精度的要求；利用插值算法68可以解決柵欄問題，但是不能消除因頻譜泄漏現(xiàn)象而導(dǎo)致的測(cè)量誤差；利用加窗算法9,10可以減少頻譜泄漏誤差，但是需要構(gòu)造窗函數(shù)，使頻譜分析變得復(fù)雜。 本文分析了 FFT 算法中存在的頻譜泄漏現(xiàn)象，提出了改進(jìn)算法。該算法只需要對(duì) FFT 算法做簡(jiǎn)單的變換，

4、就可以有效地消除頻譜泄漏分量，實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波的精確檢測(cè)。2 2 FFTFFT 算法的頻譜泄漏現(xiàn)象算法的頻譜泄漏現(xiàn)象 FFT 算法產(chǎn)生頻譜泄漏現(xiàn)象7的原因是由于理論的傅立葉變換值與實(shí)際工程應(yīng)用的傅立葉變換的不同而造成的。理論的傅立葉變換是對(duì)整個(gè)時(shí)域信號(hào)的變換，但實(shí)際工程中應(yīng)用的 FFT 算法只能對(duì)有限長(zhǎng)度的信號(hào)進(jìn)行變換。有限長(zhǎng)度的信號(hào)在時(shí)域上相當(dāng)于無限長(zhǎng)信號(hào)與矩形窗信號(hào)的乘積，而時(shí)域的乘積運(yùn)算對(duì)應(yīng)傅立葉變換結(jié)果的卷積運(yùn)算，因此利用 FFT 算法得到的傅立葉變換結(jié)果相當(dāng)于實(shí)際信號(hào)的傅立葉變換與矩形窗傅立葉變換的卷積，并不等于實(shí)際信號(hào)的傅立葉變換。這樣利用 FFT 算法分析非整數(shù)次諧波時(shí)就會(huì)存在頻

5、譜泄漏和柵欄現(xiàn)象。具體分析如下： 對(duì)應(yīng)一個(gè)幅值為Am，頻率為 ，相角為 的無限長(zhǎng)諧波信號(hào)xm(t)，如公式(1)所示。其傅立葉變換對(duì)應(yīng)的是一條位于頻率 處的譜線。 (1)而對(duì)于長(zhǎng)度為T的矩形窗函數(shù)WT (t)，如式(2)所示，其傅立葉變換對(duì)應(yīng)Dirichlet 函數(shù)，如式(3)。 (2) (3) 長(zhǎng)度為T的有限長(zhǎng)信號(hào) 相當(dāng)于無限長(zhǎng)信號(hào)xm與矩形窗WT時(shí)域的乘積，而時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)傅立葉變換的卷積，因此有限長(zhǎng)信號(hào) 及其傅立葉變換可以分別用式(4)和式(5)表示。 (4) (5) 式(5)表示的是一個(gè)連續(xù)復(fù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)利用傅立葉變換得到的信號(hào)的連續(xù)頻譜。忽略相角的變化，頻譜幅值的變化情況可以用圖 1

6、表示7。 FFT 算法是傅立葉變換在工程應(yīng)用中的實(shí)現(xiàn)算法。利用 FFT 算法，可以得到對(duì)應(yīng) 的離散頻譜（其中n=1，2，3N，N為采樣點(diǎn)數(shù)，T是采樣時(shí)間）。設(shè)被檢測(cè)諧波的角頻率 ，利用 FFT 算法得到的頻譜分布可以用序列 來表示： (6)在式(6)中，如果k為整數(shù)，則 (7)圖 1 有限長(zhǎng)度諧波信號(hào)的連續(xù)頻譜特性 由式(7)可知：如果k為整數(shù)，即被檢測(cè)諧波為整數(shù)次諧波時(shí)，利用 FFT 算法得到的頻譜分布為一條譜線，利用這條譜線相關(guān)的參數(shù)就可以求出整數(shù)次諧波的頻率、幅值和相角。因此利用 FFT 算法可以實(shí)現(xiàn)整數(shù)次諧波的檢測(cè)精確。但是對(duì)于非整數(shù)次諧波，即k不是整數(shù)時(shí)，利用 FFT 算法得到的頻譜

7、分布比較復(fù)雜。設(shè)k=k1+r（其中k1為整數(shù)，而 0r 1），則諧波信號(hào)的頻譜分布為 (8)式(8)可簡(jiǎn)化為，式中 ， (9)由式(9)可知：非整數(shù)次諧波的頻譜分布不是集中在一條譜線上，而是在整個(gè)頻域內(nèi)分布。第n條譜線的幅值與 成反比。n=k1或n=k1+1 對(duì)應(yīng)的譜線的幅值最大，然后隨著 的增加，相應(yīng)譜線的幅值按 ，即 的速度衰減。由此可知，利用 FFT 算法得到的非整數(shù)次諧波的頻譜分布，不是對(duì)應(yīng)一條譜線，而是在整個(gè)頻域內(nèi)分布，這就是頻譜泄漏現(xiàn)象。頻譜泄漏造成諧波頻譜的相互干擾，從而影響諧波的檢測(cè)精度。3 3 改進(jìn)的改進(jìn)的 FFTFFT 算法算法 為減小諧波的頻譜泄漏分量，提高諧波檢測(cè)精度，

8、就需要使頻譜分布中譜線幅值的衰減速度盡量快。根據(jù)式(9)，可以得到一個(gè)新的頻譜分布序列x1(n)： (10) 對(duì)比x1(n)和 ，結(jié)果如下： (11) 從式(10)和式(11)中看出：頻譜序列x1(n)的幅值以 的速度衰減，最靠近k1+r的三條譜線的幅值增加，而其它譜線的幅值降低。這樣頻譜分布主要集中在離k1+r較近的譜線上，而在其它的譜線上幅值減小，從而就減少了頻譜泄漏分量。 因?yàn)槭?10)是對(duì) 中相鄰 3 點(diǎn)進(jìn)行的變換，所以本文稱這種變換算法為 FFT 的 3 點(diǎn)變換算法，簡(jiǎn)稱 3 點(diǎn)算法。利用 3 點(diǎn)算法得到的頻譜分布的衰減特性由原來的 變成 ，衰減速度明顯變快，因此利用 3 點(diǎn)算法可以

9、較好地減少頻譜泄漏分量，提高諧波分析和檢測(cè)的精度?？梢宰C明 3 點(diǎn)算法相當(dāng)于加窗 FFT 算法（漢寧窗）。與加窗算法比較，本文的變換不必構(gòu)造窗函數(shù)，只需要對(duì) 序列做簡(jiǎn)單的變換，不僅實(shí)現(xiàn)方便，而且頻譜特性分析簡(jiǎn)單。另外在上述分析的基礎(chǔ)上，還可以構(gòu)造其它的頻譜序列，使譜線幅值的衰減速度更快。例如把 中相鄰的 5 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行處理，可以得到一個(gè)新的序列。設(shè) (12)令其中的a=1/4，b=1/6，c=-1/24，則可得到x2(n)為 (13) 由式(13)可以看出，在新的頻譜序列x2(n)中，譜線幅值的衰減特性變成 。隨著 的增加，譜線幅值的衰減速度更快，相應(yīng)的頻譜泄漏分量更小。因?yàn)槭?12)是對(duì) 中相

10、鄰 5 點(diǎn)進(jìn)行的變換，所以本文稱之為 FFT的 5 點(diǎn)變換算法，簡(jiǎn)稱 5 點(diǎn)算法?？梢钥闯?5 點(diǎn)算法能夠更好地減少頻譜泄漏分量，從而提高諧波的檢測(cè)精度。同樣如果把 FFT 序列中相鄰的 7 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行處理，會(huì)得到更好的衰減特性 。把利用 FFT 算法、3 點(diǎn)算法、5 點(diǎn)算法和 7 點(diǎn)算法得到的頻譜序列幅值的對(duì)數(shù)衰減情況進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2。圖 2 譜線幅值的對(duì)數(shù)衰減特性 由圖 2 可以看出：隨著算法處理點(diǎn)數(shù)的增加，得到的譜線幅值的衰減速度隨之增加。因此增加算法的處理點(diǎn)數(shù)，可以有效地減小頻譜泄漏分量，從而減少諧波的相互干擾，提高諧波的檢測(cè)精度。但隨著算法處理點(diǎn)數(shù)的增加，在頻譜分布中n=k1+r附

11、近的譜線幅值增加，造成諧波的分辨率降低。例如，圖 3 是對(duì)一個(gè)非整數(shù)次諧波信號(hào)，分別利用 FFT 算法，3 點(diǎn)算法，5 點(diǎn)算法分析得到的頻譜特性。圖 3 頻譜特性 從圖 3 可以看出：兩條幅值最大的譜線是第 4 條和第 5 條譜線，隨著算法處理點(diǎn)數(shù)的增加，第 3 條和第 6 條譜線的幅值也增加。如果這時(shí)存在與該諧波頻率相近的其它諧波分量，其頻譜分布主要集中在第 3 條或第 6 條譜線上，那么不同頻率諧波的頻譜就很難分離，從而造成諧波的分辨率降低。因此應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況合理選擇處理算法。在實(shí)際的檢測(cè)中，要綜合考慮頻譜泄漏和諧波分辨率的問題，通常選用 3 點(diǎn)算法或 5 點(diǎn)算法。4 4 用改進(jìn)的用改進(jìn)

12、的 FFTFFT 算法實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波的檢測(cè)算法實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波的檢測(cè)4.14.1 利用利用 FFTFFT 算法實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波的檢測(cè)算法實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波的檢測(cè) 對(duì)于采樣時(shí)間為T的任意一個(gè)頻率為(k1+r)/T的非整數(shù)次諧波信號(hào)，利用FFT 算法得到的頻譜分布中，對(duì)應(yīng)n=k1和n=k1+1 的兩條譜線的幅值最大，利用這兩條譜線的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)非整數(shù)次諧波頻率、幅值和相角的檢測(cè)。 設(shè)這兩條譜線的幅值之比為a，利用式(9)得到： (14) (15) 然后利用式(9)得到諧波的幅值A(chǔ)m和相角 。 (16) (17)4.24.2 利用利用 3 3 點(diǎn)算法實(shí)現(xiàn)諧波的檢測(cè)點(diǎn)算法實(shí)現(xiàn)諧波的檢測(cè) 利用 3 點(diǎn)算

13、法，同樣得到對(duì)應(yīng)n=k1和n=k1+1 的兩條幅值最大的譜線，利用這兩條譜線的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)諧波頻率、幅值和相角的檢測(cè)。 (18) (19) 然后利用式(9)和式(10)得到諧波的幅值A(chǔ)m，相角 。 (20) (21)4.34.3 利用利用 5 5 點(diǎn)算法實(shí)現(xiàn)諧波的檢測(cè)點(diǎn)算法實(shí)現(xiàn)諧波的檢測(cè) 利用 5 點(diǎn)算法，也得到對(duì)應(yīng)n=k1和n=kr+1 的兩條幅值最大的譜線，利用這兩條譜線的參數(shù)實(shí)現(xiàn)諧波的頻率、幅值和相角的計(jì)算。 (22) (23) 然后利用式(9)和式(13)得到諧波的幅值A(chǔ)m和相角 (24) (25)5 5 仿真實(shí)例驗(yàn)證仿真實(shí)例驗(yàn)證5.15.1 單個(gè)非整數(shù)次諧波的檢測(cè)單個(gè)非整數(shù)次諧波的檢

14、測(cè) 實(shí)例 1：采樣時(shí)間為T，采樣點(diǎn)數(shù)為 64，采樣信號(hào)為 ，分別用用 FFT 算法，3 點(diǎn)算法，5 點(diǎn)算法得到頻譜特性如圖 4。圖 4 頻譜特性 由圖 4 可以看出，兩條幅值最大的譜線位于第 5 和第 6 條譜線上。設(shè)諧波的頻率為 ，則其中 4k5。設(shè)k=k1+r（k1為整數(shù)，0r 1），則k1=4。然后利用第 4 節(jié)給出的算法求出r值，幅值A(chǔ)m和相角 。 對(duì)于 FFT 算法，利用式(14)-(17)得到：r =0.3512， Am=2.5295， 即利用 FFT 檢測(cè)出的諧波頻率是 Hz，諧波幅值為 2.5295，相角為 。 對(duì)于 3 點(diǎn)算法，利用式(18)-(21)得到：r=0.3296，

15、 Am=2.5503， 即利用 3 點(diǎn)算法得到的諧波頻率是 Hz，諧波幅值為 2.5503，相角為 。 對(duì)于 5 點(diǎn)算法，利用式(22)-(25)得到：r =0.3300， Am =2.5500， 即利用 5 點(diǎn)算法得到的諧波頻率是 Hz，諧波幅值為 2.5500，相角為 。 由實(shí)例 1 可以看出：對(duì)于非整數(shù)次諧波的檢測(cè)，3 點(diǎn)算法的精度高于 FFT算法；而 5 點(diǎn)算法的精度又高于 3 點(diǎn)算法。5.25.2 不同頻率諧波的檢測(cè)不同頻率諧波的檢測(cè) 如果被檢測(cè)信號(hào)中存在不同頻率的諧波分量，同樣可以驗(yàn)證，3 點(diǎn)算法和5 點(diǎn)算法的檢測(cè)精度也高于 FFT 算法。 實(shí)例 2：對(duì)于諧波信號(hào) ，采樣時(shí)間為T，

16、采樣點(diǎn)數(shù)為 64。分別利用 FFT算法、3 點(diǎn)算法和 5 點(diǎn)算法得到的頻譜分布如圖 5。圖 5 頻譜特性 利用不同算法得到的檢測(cè)結(jié)果如表 1 所示。 由表 1 中可以看出：3 點(diǎn)算法和 5 點(diǎn)算法比 FFT 算法的精度高；5 點(diǎn)算法又比 3 點(diǎn)算法精度高。表 1 不同算法的檢測(cè)結(jié)果算法幅值A(chǔ)m/pu頻率f / Hz初相角q /()幅值A(chǔ)m/pu頻率f / Hz初相角q /()理論值2.53.3/T504.59.7/T20FFT 算法2.47733.2993/T53.11284.5517 9.7326/T17.52243 點(diǎn)算法2.50103.3014/T49.63814.4998 9.6991

17、/T20.11245 點(diǎn)算法2.49983.2997/T50.07144.5000 9.7002/T19.97436 6 結(jié)論結(jié)論 本文提出的改進(jìn)傅立葉算法，通過對(duì) FFT 算法的簡(jiǎn)單變換，可以有效地減小 FFT 算法的頻譜泄漏誤差，減少非整數(shù)次諧波在頻譜上相互的干擾，從而實(shí)現(xiàn)諧波頻率、幅值和相角的高精度檢測(cè)。本文通過仿真驗(yàn)證了該算法的正確性。該改進(jìn)算法具有實(shí)現(xiàn)方便，分析簡(jiǎn)單，精度高的特點(diǎn)，是一種精確、實(shí)用的諧波分析算法，為電力系統(tǒng)中的諧波檢測(cè)和分析提供了一種有效的方法。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 Nguyen T TParametric harmonic analysis of power syst

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