體能測(cè)試的數(shù)學(xué)建模

1、體能測(cè)試的數(shù)學(xué)建模1111體能測(cè)試時(shí)間安排模型摘要：體能測(cè)試作為衡量學(xué)生身體健康素質(zhì)的指標(biāo)測(cè)試，建立一個(gè)合理的指標(biāo)測(cè)試方案將對(duì)改進(jìn)學(xué)校機(jī)器設(shè)備管理以及學(xué)校的人員安排具有重大意義，為學(xué)校節(jié)約人力資源，同時(shí)也使得學(xué)生在最優(yōu)時(shí)間內(nèi)完成體能測(cè)試項(xiàng)目，節(jié)省時(shí)間資源，為此，我們通過(guò)運(yùn)用 LINGO和 MATLAB編寫(xiě)程序進(jìn)行求解，制定合理體能測(cè)試方案。4 段。在同首先，我們根據(jù)機(jī)器測(cè)試的時(shí)間和機(jī)器臺(tái)數(shù)求得所需總時(shí)間段數(shù)至少為一個(gè)班級(jí)人數(shù)不進(jìn)行分組的前提下， 將 56 個(gè)班級(jí)劃分為 18 個(gè)小組（一個(gè)小組3 個(gè)班），再將人數(shù)最多的班級(jí)分為 2 個(gè)組，計(jì)算出每個(gè)小組測(cè)試完所有項(xiàng)目所需的時(shí)間。然后建立 EXCE

2、L-VBA規(guī)劃模型或 0-1 規(guī)劃模型，將這 20 個(gè)小組的時(shí)間段放入每天的兩個(gè)測(cè)試時(shí)間段內(nèi)，使得全部放完這 20 個(gè)小組的時(shí)段所需要的總測(cè)試時(shí)間段數(shù)最少，并求得最少測(cè)試時(shí)間段數(shù)恰好為至少 4 段。20 人，共其次，為了節(jié)省學(xué)生等待時(shí)間，我們將每個(gè)班級(jí)人數(shù)進(jìn)行分組，每組為分成 102 組。由于這 20 人最多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)， 我們求得完成 20 人的時(shí)間只可能為 425 秒、 430 秒、 435 秒這三種情況。這樣將原來(lái)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為怎樣用最少時(shí)間段數(shù)放入 102 個(gè) 435 秒。通過(guò)求解分析得到的時(shí)間段數(shù)為 4 段，等待時(shí)間最長(zhǎng)的同學(xué)僅需等待 2.6 分鐘，從而說(shuō)明了分組的必要。最后，通過(guò)

3、程序分析給出了每項(xiàng)測(cè)試的人均時(shí)間應(yīng)該相等的結(jié)論，以及用來(lái)配置機(jī)器的臺(tái)數(shù)，并討論得出場(chǎng)地容量對(duì)所需時(shí)段和等待時(shí)間的影響。 關(guān)鍵詞 ： 等待時(shí)間高斯函數(shù)時(shí)間等級(jí)分組1一、問(wèn)題重述每個(gè)學(xué)校都可以通過(guò)體能測(cè)試來(lái)了解各個(gè)學(xué)生的身體狀況， 以此設(shè)置相應(yīng)的體育鍛煉課程，增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)。某校按照教學(xué)計(jì)劃安排各班學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試， 以了解學(xué)生的身體狀況。 測(cè)試項(xiàng)目、測(cè)試儀器及每個(gè)學(xué)生的平均測(cè)試時(shí)間如下圖表 1。在測(cè)試時(shí)，每個(gè)學(xué)生測(cè)試每個(gè)項(xiàng)目前都要錄入個(gè)人學(xué)號(hào)，平均需時(shí) 5 秒。儀器在每個(gè)學(xué)生測(cè)量完畢后學(xué)號(hào)將自動(dòng)后移一位， 若前后測(cè)試的學(xué)生的學(xué)號(hào)相連， 則可省去錄入時(shí)間，且同一班學(xué)生的學(xué)號(hào)是相連的。學(xué)校安排每天測(cè)

4、試的兩個(gè)時(shí)間段為8： 0012：10 與 13：30 16：45。五項(xiàng)測(cè)試的場(chǎng)所最多能容納 150 個(gè)學(xué)生，且測(cè)試項(xiàng)目沒(méi)有固定的先后順序。參加體能測(cè)試的各班人數(shù)見(jiàn)下表 2。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有項(xiàng)目的測(cè)試， 并且在整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時(shí)間。用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表述各班測(cè)試時(shí)間安排問(wèn)題，給出該數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法， 盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測(cè)試時(shí)間的安排計(jì)劃， 并且說(shuō)明該計(jì)劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請(qǐng)對(duì)學(xué)校以后的體能測(cè)試就以下方面提出建議，并說(shuō)明理由：如引進(jìn)各項(xiàng)測(cè)量?jī)x器的數(shù)量；測(cè)試場(chǎng)所的人員容量；一個(gè)班的學(xué)

5、生是否需要分成幾個(gè)組進(jìn)行測(cè)試等。表 1 測(cè)量?jī)x器數(shù)量及所用時(shí)間測(cè)試項(xiàng)目測(cè)量?jī)x器（臺(tái)）儀器的單位測(cè)試時(shí)間（秒） 每人所用時(shí)間（秒）身高與體重310( 每人 )3.333333333立定跳遠(yuǎn)120( 每人 )20肺活量120( 每人 )20握力215( 每人 )7.5臺(tái)階試驗(yàn)2210( 每 5 人)212表 2體能測(cè)試的各班人數(shù)班號(hào)123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號(hào)161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號(hào)3132333435363738

6、39404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號(hào)4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題一，為使整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段最小和學(xué)生等待時(shí)間最短，我們通過(guò)對(duì)機(jī)器臺(tái)數(shù)、每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試時(shí)間和場(chǎng)地容量等因素的分析計(jì)算，我們將56 個(gè)班級(jí)總?cè)藬?shù)劃分成 20 個(gè)小組，其中最后 2 個(gè)班級(jí)單獨(dú)分為兩個(gè)小組。并且，每個(gè)小組內(nèi)的班級(jí)人數(shù)盡可能的比較接近， 這樣來(lái)減少學(xué)生等待的時(shí)間。 通過(guò)程序分析計(jì)算得出每個(gè)小組測(cè)試所需要的最少時(shí)間，然后將 20 個(gè)小組的時(shí)間段進(jìn)行合理組合，以便得到最少的時(shí)間段數(shù)能包含

7、這所有的 20 個(gè)時(shí)間段。針對(duì)問(wèn)題二，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，保證時(shí)間段數(shù)最少的情況下，當(dāng)考慮每組內(nèi)學(xué)生之間的錄入時(shí)間時(shí)， 由于每個(gè)儀器錄入學(xué)號(hào)的平均需時(shí)為5 秒，如果前后測(cè)試的學(xué)生學(xué)號(hào)相連就可省去錄入時(shí)間，故在測(cè)試時(shí)盡量減少錄入時(shí)間就要使每組學(xué)生的學(xué)號(hào)相連，以達(dá)到錄用時(shí)間最少的效果，所以我們將同一班級(jí)人數(shù)進(jìn)行合理的分組。如下圖所示：臺(tái)階測(cè)試 1210 秒五名立定跳遠(yuǎn)肺活量握力測(cè)試儀身高與體重20秒 /人（一20秒 /人（一15秒/人10 秒/人（三臺(tái)）。臺(tái)）（二臺(tái)）臺(tái)）臺(tái)階測(cè)試 2210 秒五名3圖 1 體能測(cè)試示意圖針對(duì)問(wèn)題三，綜合考慮問(wèn)題一二，在問(wèn)題一二的程序上，我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的改動(dòng)，從而

8、比較得出最佳測(cè)量?jī)x器數(shù)量；測(cè)量場(chǎng)所人員容量，班級(jí)的分組情況等。三、模型假設(shè)1、在測(cè)試過(guò)程中各個(gè)測(cè)試儀器都能正常工作；2、每個(gè)學(xué)生在轉(zhuǎn)換測(cè)試項(xiàng)目時(shí)所用的時(shí)間不計(jì)；3、每個(gè)班級(jí)在安排測(cè)試的時(shí)間前都能保證到達(dá)測(cè)試地點(diǎn)；4、學(xué)生在測(cè)試完所有項(xiàng)目測(cè)試后能迅速離開(kāi)，并不再占用場(chǎng)所空間；5、測(cè)試不受天氣等各種因素的影響；6、臺(tái)階試驗(yàn)測(cè)試儀在測(cè)試人數(shù)不足5 人時(shí)也可進(jìn)行測(cè)試；7、忽略人員進(jìn)入和離開(kāi)測(cè)試場(chǎng)地所用時(shí)間；四、符號(hào)說(shuō)明1、把身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力、臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試分別稱(chēng)為 A、B、C、D、E項(xiàng)測(cè)試；2、 Ti 第 i 輪測(cè)試所花費(fèi)的時(shí)間；3、 ni 第 i 個(gè)班級(jí)。4、 xi 第 i 個(gè)班級(jí)的

9、人數(shù)5、 t i 表示第 i 個(gè)組合所需時(shí)間。6、 s j 表示第 j 個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度4五、模型建立及求解由于 56 個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)為2036，假設(shè)每臺(tái)機(jī)器不停止工作， 所有人完成 A 測(cè)試至少需要 2036 103+565=7066.67（s）。同理可得所有人完成B、C、D、F 項(xiàng)測(cè)試至少需要的時(shí)間分別為41000、41000、 15550、43036 秒。那么，至少需要43036 秒才能讓所有人完成全部的測(cè)試項(xiàng)目。由于時(shí)間段長(zhǎng)上午為15000 秒、下午 11700 秒，因此至少需要 2 天 4 個(gè)時(shí)間段才能完成所有人的測(cè)試項(xiàng)目，即時(shí)間段的下屆為4 段。在不對(duì)單個(gè)班級(jí)進(jìn)行分組的前提下，由于第五

10、項(xiàng)每次可以測(cè)5 名學(xué)生，且有兩臺(tái)機(jī)器，則對(duì)不同班級(jí)的總?cè)藬?shù)，用matlab 編程求得圖形（見(jiàn)附錄一）可得班級(jí)人數(shù)與測(cè)試完臺(tái)階所需人數(shù)與時(shí)間的對(duì)照：5班級(jí)人數(shù)為 x1 時(shí)測(cè)試臺(tái)階實(shí)驗(yàn)所需時(shí)間計(jì)算公式為：t= x1 *210+5 10定義：在只進(jìn)行第五項(xiàng)測(cè)試時(shí)， 把所有人數(shù)可能不同但測(cè)試完第五項(xiàng)所需時(shí)間相同的班級(jí)稱(chēng)為一個(gè)時(shí)間等級(jí)。 例如：班級(jí)人數(shù)為 25 和 35 的兩個(gè)班級(jí)分別做完第五項(xiàng)測(cè)試所用時(shí)間均為 635 秒，那么按照，這兩個(gè)班級(jí)為同一時(shí)間等級(jí)。命題 1：假設(shè)同一班級(jí)的人數(shù)不在進(jìn)行分組，若每次同時(shí)進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)地的班級(jí)數(shù)為3，且每個(gè)班級(jí)的人數(shù)不小于17 人時(shí)，那么有：同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的 3 個(gè)班級(jí)

11、全部完成 B 項(xiàng)、 C 項(xiàng)、 E 項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間與這 3 個(gè)班級(jí)完成所有五項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間相同。證明： 假設(shè)同時(shí)入場(chǎng)的班級(jí)分別為n1 , n2 , n3 ,其人數(shù)分別為 x1 , x2 , x3 .（ 1） 現(xiàn)讓這三個(gè)班級(jí)分別去做第B、C、E 項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第一輪；（ 2） 第一輪測(cè)試完成后，讓 n1 班去做第 C 項(xiàng)測(cè)試，讓 n2 班去做 E項(xiàng)測(cè)試，讓 n3 班去做 B 項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第二輪；（ 3） 第二輪結(jié)束后， 依次類(lèi)推， 讓 n1 班去做 E 項(xiàng)測(cè)試，讓 n2 班去做 B 項(xiàng)測(cè)試，讓 n3 班去做 C項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各

12、自的測(cè)試稱(chēng)為第三輪。B 項(xiàng)測(cè)試C 項(xiàng)測(cè)試E 測(cè)試第一輪n1n2n3第二輪n3n1n2第三輪n2n3n1在第一輪中， n1 班的第一個(gè)學(xué)生在做完B 項(xiàng)測(cè)試后，該同學(xué)完全可以利用等待該班第二位同學(xué)的 B 項(xiàng)測(cè)試的時(shí)間去進(jìn)行A 項(xiàng)測(cè)試（共需要10+5 秒），而當(dāng)他測(cè)試完B 時(shí)，n1 班第二位同學(xué)依然在進(jìn)行B 項(xiàng)測(cè)試，而此時(shí) n1 班的第一個(gè)同學(xué)再去做D項(xiàng)測(cè)試，由于n1 班的人數(shù)不小于17，因此 n1 班還有部分同學(xué)尚未完成第B 項(xiàng)測(cè)試。 n1 班的第二個(gè)同學(xué)完全按照該班第一個(gè)同學(xué)的路線進(jìn)行，以此類(lèi)推。那么該班級(jí)除了后兩位同學(xué)，其余均可以在 n1 班全部測(cè)完 B 項(xiàng)之前，也完成 A、E 項(xiàng)的測(cè)試。倒數(shù)

13、后兩位可以在第二輪開(kāi)始，即 n1 進(jìn)行 C 項(xiàng)測(cè)試時(shí)，離開(kāi) n1 班隊(duì)列去做完 A、 D項(xiàng)測(cè)試，然后回到對(duì)列繼續(xù)等待 C項(xiàng)測(cè)試。由于 B 項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為三臺(tái)， D 項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為二臺(tái)，完全足夠，并且在第一輪中 n1 和 n2 班分別做 B、 C 項(xiàng)的時(shí)間均為 20 秒每人， n2 班的同學(xué)的路線與 n1 班相似。對(duì)于 n3 班也可以在第一、二、三輪測(cè)試的間隙完成A、B 的測(cè)試。6另外 B、C測(cè)試需要 20 秒，而 E 測(cè)試序言 210 秒，但可以同時(shí)測(cè)試 5 人且有 2 臺(tái)機(jī)器，那么人均耗時(shí)約為 21 秒。并有以上的命題討論我們知道若三個(gè)班級(jí)的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時(shí)間，因此我講 56 個(gè)班

14、級(jí)分組，每組的班級(jí)同時(shí)入場(chǎng)。表 3組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)第 1 組（52 55 56）（19 17 17）第 2 組（27 35 36）（20 20 20）第 3 組（8917 ）（20 20 20 ）第 4 組（12 24 28）（25 25 24）第 5 組（25 23 5）（30 28 26）第 6 組（32 29 18）（33 32 30）第 7 組（26 20 30）（36 35 33）第 8 組（11 38 43）（37 37 37）第 9 組（21 22 39）（38 38 38）第 10組（40 53 10）（39 38 38）第 11組（42 19 34）（40 39 39）

15、第 12組(1 31 48)(41 41 41)第 13組（46 49 51）（42 42 42）第 14組（47 7 41）（43 42 42）第 15組（6 16 37）（44 44 44）第 16組（4350 ）（44 44 45）第 17組（13 14 15）（45 45 45）第 18組（2 45 44）（45 50 50）第19 組（54）（25 25 25）第 20組（ 33)（17 17 17）按照表 3，可以分一下兩種情況討論：情況一： 若該組中的三個(gè)班級(jí)人數(shù)為x1、x2、x3 均處于同一時(shí)間等級(jí)，則完成第一輪測(cè)試所需時(shí)間為：T1=210 x1 +5（這里 是上取整數(shù)函數(shù)）；

16、10這是因?yàn)槿舭嗉?jí)人數(shù) x1 x2 x3處于同一時(shí)間等級(jí)，則顯然有：20 max xi210 x1 ；i 1, 210再加上第一位同學(xué)錄入學(xué)號(hào)的5 秒，則完成第一輪總共所需時(shí)間為：T1 =210 x1 +510同理可得第二、三輪時(shí)間分別為 x2 +5 和 x3+5;T2 =210T3 =21010107則完成三輪測(cè)試所需的時(shí)間為：3 xi +15T =T1 +T2 +T3 = 210（ 1）i 110由上面的分組我們可以知道除了第 7、19 兩組，其他分組均出在同一時(shí)間等級(jí)，可按照上述（ 1）式計(jì)算完成時(shí)間（結(jié)果見(jiàn)表 5）情況二：若三個(gè)班級(jí)不全處于同一時(shí)間等級(jí)， 則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，

17、具體情況時(shí)具體計(jì)算這里不給出計(jì)算公式。表 3 中有兩組的班級(jí)不同一時(shí)間等級(jí)，這兩組為第 6 組和第 19 組?，F(xiàn)在分別計(jì)算器完成時(shí)間：表 4第二項(xiàng)測(cè)試第三項(xiàng)測(cè)試第五項(xiàng)測(cè)試每輪測(cè)試所班級(jí)編所需時(shí)班級(jí)編所需時(shí)班級(jí)編所需時(shí)需要的時(shí)間號(hào)（人間（秒） 號(hào)（人） 間（秒） 號(hào)（人） 間（秒）（秒）數(shù)）第一267252070530845845輪（ 36）(35)(33)第二306652672520845845輪(33)（36）(35)第三20700306652610551055輪(35)(33)（36）由表 4 得完成三輪測(cè)試所需的總時(shí)間T=845+845+1055=2745秒。同理可得第 19 組完成三輪

18、測(cè)試所需的總時(shí)間T=4695秒。表組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)測(cè)試所需時(shí)間第 1 組（52 55 56）（19 17 17）1275第 2 組（27 35 36）（20 20 20）1275第 3 組（8917 ）（20 20 20）1275第 4 組（12 24 28）（25 25 24）1905第 5 組（25 23 5）（30 28 26）1905第 6 組（32 29 18）（33 32 30）1905第 7 組（26 20 30）（36 35 33）2745第 8 組（11 38 43）（37 37 37）2535第 9 組（21 22 39）（38 38 38）2535第 10組（40

19、53 10）（39 38 38）2535第 11組（42 19 34）（40 39 39）2535第 12組(1 31 48)(41 41 41)3165第 13組（46 49 51）（42 42 42）3165第 14組（47 7 41）（43 42 42）31658第 15組（6 16 37）（44 44 44）3165第 16組（4350 ）（44 44 45）3165第 17組（13 14 15）（45 45 45）3165第 18組（2 45 44）（45 50 50）3165第19組（ 54）（25 25 25）1590第 20組（33)（17 17 17）1086現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

20、將上述 19 個(gè)時(shí)間按照某種組合方式全部填入每天的兩個(gè)時(shí)間段，從而使得所需的總時(shí)間段數(shù)最少。設(shè) n 表示所需的時(shí)間段總數(shù)， t i 表示表 5 中第 i 個(gè)組合所需時(shí)間， s j 表示第 j 個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度，其中 i =1，2，.19 ； j =1， 2，. n . 顯然有：s j =15000, 若這個(gè)時(shí)段為上午時(shí)段 ；，若這個(gè)時(shí)段為下午時(shí) 段，11700.進(jìn)一步假設(shè) 0-1 變量 ci , j :1,若第 i組被分配到第 j 個(gè)時(shí)間段； j =1，2， . n .ci , j =，反之，其中 i =1，2，.190即得到 0-1 規(guī)劃模型一：minn ,ns.t.ci, j =1;i =1,

21、2,.,19;j 119ci , jtis j ;j =1，2，.n .i 1上述模型中：第一個(gè)約束表示每個(gè)組能且只能安排在某一時(shí)段;第二個(gè)約束表示安排進(jìn)任一時(shí)段的所有組的測(cè)試總時(shí)間必不大于該時(shí)段長(zhǎng)度。 解得結(jié)果見(jiàn)表 6：表 6組號(hào)班級(jí)號(hào)班級(jí)人數(shù)測(cè)試時(shí)間安排第上午第 1 組（52 55 56）（19 1717） 8:00:00 8:21:15一第 4 組（12 24 28）（25 2524） 8:21:15 8:53:00天第 8 組（11 38 43）（37 3737） 8:53:00 9:35:15第 9 組（21 22 39）（38 3838)9:35:15 10:17:30第12組(1

22、 31 48)(41 41 41)10:17:30 11:10:15第13組（46 49 51）（42 4242） 11:10:15 11:53:00下午第 2 組（27 35 36）（20 2020） 13:30:00 13:51:15第 3 組（8917 ）（20 2020） 13:51:15 14:12:30第 7 組（26 20 30）（36 3533） 14:12:30 14:58:15第14組（47741 ）(43 43 42)14:58:15 15:51:009第上午二天下午第15組（6 16 37）（44 4444）15:51:00 16:43:45第 6 組（32 29 18

23、）(33 32 30)8:00:00 8:31:45第10組（40 53 10）（39 3838） 8:31:45 9:14:00第11組（42 19 34）（40 3939） 9:14:00 9:46:15第16組（4350 ）（44 4445） 9:46:15 10:39:00第17組（13 14 15）（45 4545） 10:39:00 11:31:45第19組（54）（25 2525） 11:31:45 11:58:15第 5 組（25 23 5）（30 2826） 13:30:00 14:01:45第18組（2 45 44）（45 5050） 14:01:45 14:54:30第2

24、0組（33）（17 1717） 14:54:30 15:12:36由結(jié)果可知整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少為 4 段。由于已知所需時(shí)段的下限也是 4，故以上結(jié)果為最優(yōu)方案。對(duì)于以上的方案，基于假設(shè) 2、3、4，每個(gè)組最后一名離開(kāi)的同學(xué)（在該組中等待時(shí)間最長(zhǎng)）等待時(shí)間完全由分組情況決定，與該組進(jìn)入次序無(wú)關(guān)。當(dāng)班級(jí)人數(shù)較多時(shí)， 若不對(duì)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生分組會(huì)使得學(xué)生的等待時(shí)間較長(zhǎng)。 為了減少學(xué)生的等待時(shí)間， 可以將同一個(gè)班級(jí)人數(shù)予以分組進(jìn)入場(chǎng)地進(jìn)行測(cè)試。 現(xiàn)在考慮對(duì)同一班級(jí)學(xué)生進(jìn)行分組的情況。命題 2：若每次同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的人數(shù)為 20 人為最優(yōu)人數(shù)（證明見(jiàn)附錄二） ，且這 20 人學(xué)號(hào)順序相連， 則完成這

25、 20 人全部的 5 項(xiàng)測(cè)試最少需要 425 秒，且可以達(dá)到 425 秒。證明：首先證明至少425 秒。因?yàn)榧词共豢紤]其他4 項(xiàng)，只做完第五個(gè)項(xiàng)目，這20 人就需要 425 秒（見(jiàn)表 1）。其次證明可以達(dá)到425 秒。我們假設(shè)這 20 人的學(xué)號(hào)次序?yàn)閺? 到 20，則讓學(xué)號(hào)為1 到 5 的學(xué)生測(cè)試第一臺(tái)臺(tái)階試驗(yàn)機(jī)，與此同時(shí)學(xué)號(hào)為6 到 10 的同學(xué)測(cè)試第二臺(tái)臺(tái)階實(shí)驗(yàn)機(jī)，讓學(xué)號(hào)為 11 到 15 的同學(xué)測(cè)試肺活量，讓學(xué)號(hào)為 16 到 20 的學(xué)生測(cè)試立定跳遠(yuǎn)， 。如第一輪下圖所示：臺(tái)階測(cè)試臺(tái)階測(cè)試肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)1611162712173813184914195101520這樣 1

26、1 15 號(hào)與 1620 號(hào)同時(shí)測(cè)完（都用了 105 秒）。兩個(gè)交換測(cè)試項(xiàng)目每次同時(shí)測(cè)完 ( 都用了 105 秒) ，這兩輪共用了 210 秒，而測(cè)試臺(tái)階的兩個(gè)組由于要用215 秒，因此第二輪進(jìn)行臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試的組還在繼續(xù)測(cè)試。過(guò)程如第二輪下圖所示：10臺(tái)階測(cè)試臺(tái)階測(cè)試肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)16161127171238181349191451020156 10，1620 這兩組在等待了 5 秒后有同時(shí)去做臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試，由于學(xué)號(hào)剛好能銜接，不需要輸入學(xué)號(hào)時(shí)間。做完臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試的兩組去做剩余項(xiàng)的測(cè)試。過(guò)程如下圖所示：臺(tái)階測(cè)試臺(tái)階測(cè)試肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)161116171227181

27、3381914492015510這樣 4 組恰好同時(shí)離開(kāi)，總共所需時(shí)間為：215+210=425.這里指出，這 4 個(gè)組完成身高體重測(cè)試、 握力測(cè)試均是利用間隙時(shí)間完成（討論類(lèi)似于命題 1）。若進(jìn)入的 20 人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。對(duì)于這種情況我們給出命題 3：若進(jìn)入 20 人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。這時(shí)測(cè)試完這 20 人只需要 430 或 435 秒。命題 3 的證明類(lèi)似于命題 2，需要 430 還是 435 秒取決于兩個(gè)班學(xué)生的銜接位置。由命題 2、3 我們發(fā)現(xiàn)同時(shí)入場(chǎng)的 20 人至多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)，時(shí)間至多需要435 秒。這樣將所有班級(jí)人數(shù)以 20 為單位劃分，不足的部分下一個(gè)班級(jí)的前幾位同學(xué)自動(dòng)銜接。這樣遠(yuǎn)問(wèn)題等價(jià)于長(zhǎng)度為 435 秒的小段去填上、下午的測(cè)試時(shí)間段，使得總時(shí)間段數(shù)最少。按照以上方法，我們將這 56 個(gè)班級(jí)劃分成 102 組，我們得到了體能測(cè)試方案。在這種情況下，按照論文模型假設(shè)中的 3、4，所有同學(xué)中等待時(shí)間最長(zhǎng)的僅等待了 435-275=160 秒（約 2.6 分鐘）。這樣在保證所用時(shí)間段仍為4 個(gè)的前提下，通過(guò)分11組大大減少