奧數(shù)幾何三角形五大模型帶解析

1、三角形五大模型【專題知識點概述】本講復習以前所學過的有關平面幾何方面的知識，旨在提高學生對該部分 知識的綜合運用能力重點模型重溫一、等積模型1等底等高的兩個三角形面積相等；2兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比;如右圖Si:S2二a: b3夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SxACD二SxBCD；反之，如果SxACDBCD，則可知直線平行于CD.4等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；5三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;6兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等, 面

2、積比等于它們的高之比.、等分點結論（“鳥頭定理”2 11如圖，三角形AED占三角形ABC面積的X_= _346三、任意四邊形中的比例關系 (“蝴蝶定理”1Si:S=S4:S3或者SiXS3=SXS42AO:OC=(Si+S): (S4+S3)梯形中比例關系(“梯形蝴蝶定理”1Si:S3=a:b2Si:S3:S:S4= a:b:ab:ab ;3S的對應份數(shù)為(a+b)2模型四：相似三角形性質如何判斷相似(1)相似的基本概念：兩個三角形對應邊城比例，對應角相等。(2)判斷相似的方法：1兩個三角形若有兩個角對應相等則這兩個三角形相似；2兩個三角形若有兩條邊對應成比例， 且這兩組對應邊所夾的角相等則兩

3、個三角形相似。Si:S2=a2:A2模型五：燕尾定理SKBG:SKGC=S經GE:SA3EC=BE:EC;SBGA:SBGC=S小GF:S Z2GFC=AF:FC;1模型一與其他知識混雜的各種復雜變形2.在紛繁復雜的圖形中如何辨識“鳥頭”1.三角形面積等高成比2.“鳥頭定理”3.“蝴蝶定理”【習題精講】【例1】（難度等級丿如圖，長方形 ABCD 的面積是 56 平方厘米，點 E、F、G 分別 是長方形 ABCD 邊上的中點，H 為 AD 邊上的任意一點，求陰影 部分的面積【例2】（難度等級丿如右圖，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的長是 4 厘米，BC 的長是 3 厘米，那么圖中陰影部

4、分的面積是 _ 平方厘米.【例3】（難度等級丿如圖，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分別為 AB和 AC 的中點，那么三角形 EBF 的面積是多少平方厘米？rDGCC【例4】（難度等級探）如圖，在面積為 1 的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD 的中點，延長 CF 交 AB 邊于 E,求三角形 AEF 和三角形 CDF 的面積之和?！纠?（難度等級丿如右圖 BE= BC, CD= AC,那么三角形 AED 的面積是三角形 ABC 面積的幾分之幾?【例6】（難度等級丿如圖所示，四邊形 ABCD 與 AEGF 都是平行四邊形，請你證明 它們的面積相等.【例

5、7（難度等級丿如圖，在長方形 ABCD 中, Y 是 BD 的中點，Z 是 DY 的中點，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米,G求三角形 ZCY 的面積.【例8（難度等級如圖，正方形 ABCD 的邊長為 4 厘米，EF 和 BC 平行, 的面積是 7 平方厘米，求 EG 的長?！纠?0】（難度等級丿如圖已知四邊形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD 的邊長為 10 厘米，那么圖中陰影三角形 BFD 的面積為多少平方厘米？【例11】（難度等級丿如圖，一個長方形被切成 8 塊，其中三塊的面積分別為 12，23, 32,則圖中陰影部分的面積為？【例12（難度等級丿如圖，平行四

6、邊形 ABCD 周長為 75 厘米，以 BC 為底時高是 14 厘米；以 CD 為底時高是 16 厘米。求平行四邊形 ABCD 的面積?！纠?3】（難度等級探）如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 6 厘米， ABE ADF 與四邊形AECF 的面積彼此相等，求三角形 AEF 的面積.【例14】（難度等級探）如圖，三角形 ABC 被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6 甲部分面積是乙部分面積的幾分之DFED幾？【例15】（難度等級探）某公園的外輪廓是四邊形 ABCD 被對角線 AC BD 分成四個部分，AOB 面積為 1 平方 千米， BOC面積為 2 平方千米，

7、 COD 的面積為 3 平方千米，公園陸地的面積是 6.92 平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【例16（難度等級丿圖中是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積 是多少平方厘米？鍛【作業(yè)1.如圖，三角形ABC中，DC =2BD,CE = 3AE，三角形ADE 的面積是 20 平方厘米，三角形ABC的面積是多少？2.如右圖所示，在長方形內畫出一些直線，已知邊上有三塊面積 分別是 1313, 3535, 4949那么圖中陰影部分的面積是多少?C C43.右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是 4 4 厘米, 求三角形 ABCABC 的面積。4.如圖，平行四邊形 AB

8、CD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD 平行四邊形 ABCD 的面積是 2，求平行四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 的面積比.15.如圖，在厶 ABC 中，延長 BD=AB CE=BC, F 是 AC 的中點，2若厶 ABC 的面積是 2，則 DEF 的面積是多少？【例1】（難度等級丿如圖，長方形 ABCD 的面積是 56 平方厘米，點 E、F、G 分別是長方形 ABCD 邊上的中點，H 為 AD邊上的任意一點，求陰影部分的面積.【分析與解】如右圖，連接BH、HC，由E、F、G分別為AB、BC、CD三邊的中點有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S仁S2，S3=S4，

9、S5=S6,而陰影部分面積=S2+S3+S6，空白部分面積=S1 +S4+S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等，均為長方形的一半，即陰影 部分面積為28.FFD11之和為一CF CD CF AB.所以陰影部分面積為：221111BF AB CF AB BC AB 3 4=6（平方厘米）.2 2 2 2【例3】（難度等級丿如圖，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分別為 AB和 AC 的中點，那么三角形 EBF 的面積是多少平方厘米？【分析與解】1首先，SABCBC AD =24平方厘米，而 F 是 AC 中點，21 1SS.ABC又E是 AB 中點，所以SEB2S

10、ABF【例4】（難度等級探）如圖，在面積為 1 的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD 的中點，延長 CF 交 AB 邊于 E,求三角形 AEF 和三角形 CDF 的面積之和?！痉治雠c解】 連接 DE,于是三角形 AEF 的面積=三角形 EFD 的面積，所求被轉化為三角形EDC 的面積?！纠?】（難度等級丿如右圖，ABFE 和 CDEF 都是矩形,厘米，那么圖中陰影部分的面積是【分析與解】上排 4 個陰影三角形的高都等于1的面積之和為BF AB；下排2面積AB 的長是 4 厘米，BC 的長是 3平方厘米.nBF，底邊之和恰好為 AB,他們4 個三角形的高都等于 CF，底邊之和恰好為

11、CD，他們的SABC二6平方厘米.4所以S.ABF因為 F 是 AD 中點，所以三角形 AEC 的面積和三角形 EDC 的面積相等，設 S 厶 BDE 為 1份，貝 U S AEC=S : EDC 為 3 份因止匕 S 厶 ABC 共 7 份,13每份面積為所以 S 匚 EDC 占 3 份為一。77【例5（難度等級如右圖 BE= BC, CD= AC,那么三角形 AED 的面積是三角形 ABC 面積的幾分之幾?【分析與解【例7（難度等級探）如圖，在長方形ABCD 中, Y 是 BD 的中點，Z 是 DY 的中點，如果AB=24 厘米，BC=8 厘米,求三角形 ZCY 的面積.【分析與解SABC

12、D=ABBC=192平方厘米C【例8（難度等級如圖，正方形 ABCD 勺邊長為 4 厘米，EF 和 BC 平行，ECH 的面積是 7 平方厘米，求 EG 的長?！痉治雠c解1疋 GXAE +1XEG XEB = 7 平方厘米221即XEG 從 B=7 平方厘米；EG=3.5 厘米2【例10（難度等級丿如圖已知四邊形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD的邊長為 10 厘米，那么圖中陰影三角形 BFD 的面積為多少平方厘米？【分析與解 連接CF由ABCD和CEFG都是正方形有 BDC =/DCF =45所以BDLICF.由平行線間距離相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高-ls

13、_sABCD2【例11（難度等級丿如圖，一個長方形被切成 8 塊，其中三塊的面積分別為12, 23, 32,則圖中陰影部分的面積為？所以S.BFD-50【分析與解如右圖，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12（難度等級如圖，平行四邊形 ABCD 周長為 75 厘米，以 BC 為底時高是 14 厘米；以 CD 為底時高是 16 厘米。求平行四邊形 ABCD 的面積。【分析與解BC X14=CDX16,BC:CD=16:14,757516BC+CD= , BC= X-=2022 16+14ABCD 面積=14 X20=280 （平方厘米）【例13（難度

14、等級丿如右圖， 正方形 ABCD 勺邊長為 6 厘米， ABE ADF 與四邊 形 AECF的面積彼此相等，求三角形 AEF 的面積.【分析與解 因為ABE、mDF 與四邊形 AECF 的面積彼此相等，所以四 邊形 AECF 的面積與厶 ABE、MDF 的面積都等于正方形面積 的三分之一，也就是:S四邊形AECF =SABE=ADF在ABE 中，因為 AB = 6.所以 BE = 4,同理 DF = 4，因此 CE = CF = 2 , CF 的面積為 2X2吃=2 .所以SAAEF= S四邊形AECF- SPECIF=12 - 2=10（平方厘米）【例14（難度等級丿如圖，三角形 ABC 被

15、分成了甲（陰影部分）EC乙兩部分，BD=DC=4D DBE=3, AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾?【分析與解11由BD = DCBD=DC 有BD BC；由BE = 3,AE = 6，有BE AB.由鳥頭定理有2311ABCSABC，26_5S乙-SABC_ S甲-S.ABC故S甲二-S乙.5【例15（難度等級丿某公園的外輪廓是四邊形 ABCD 被對角線 AG BD 分成四個部分， AOB 面積為 1 平方千米， BOC 面積為 2 平方千米， COD 勺面 積為 3 平方千米，公園陸地的面積是 6.92 平方千米，求人工湖的 面積是多少平方千米？【分析與解D由任意四邊形的蝴蝶定理

16、有SAOBS.COD= SAODSBOC所以SAOD=1 3“ 2 =1.5平方千米，故公園總面積為13 2 1.5 =7.5平方千米，人工湖面積為7.5-6.92 = 0.58平方千米【例16（難度等級丿圖中是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積 是多少平方厘米？【分析與解如下圖所示，為了方便所敘，將某些點標上字母，并連接BG 設 MEG 的面積為 X,顯然 EBG ABFG AFCG 的面積均為 x，則1100ABF 的面積為 3x ,SABF20 10 =100即x，那么正方形23內空白部分的面積為3所以原題中陰影部分面積為2020-迪 二800（平方厘米）33AEBCD353549EEH EGD FAFEE【答案】12016.如圖，在 ABC 中，延長 BD=AB CE=BC, F 是 AC 的中 2點，若 ABC 的面積是 2,則厶 DEF 的面積是多少？【答案】3.5分別是 1313, 3535，4949那么圖