2020屆高三文理數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基本不等式專題測試教師版

1、基本不等式專題題型一基本不等式的判斷1 .下列不等式一定成立的是()21A.lgX+4>lgx(x>0)C.x2+1>2|x|(xR_.1、B.sinx+而xR2(xwkTt,kCZ)*<1”11c1解析：當(dāng)x>0時，x2+4>2x2=x,所以lgx2+4>lgx(x>0),故選項A不正確；而當(dāng)xwk%kCZ時，sinx的正負(fù)不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當(dāng)一，1x=0時，有三；=1,故選項D不正確.題型二利用基本不等式求最值類型一直接法或配湊法利用基本不等式求最值1 .設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,貝Uxy

2、的最大值為x+yx+y解析：.x>0,y>0,-'2>Vxy,即xyw2=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，(xy)max=81.2 .若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值，則a等于x2解析：當(dāng)x>2時，x-2>0,f(x)=(x-2)+-+2>2/x2X+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2x-21x-2=(x>2),即x=3時取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時，x=3,即a=3.x-2x2+4,一,一,3 .函數(shù)f(x)=1丁的取小值為|x|-x2+44廣，一,解析：f(x)=*=|x|+、R274=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±2時，等3成立.

3、4 .若a,b都是正數(shù)，則1+b-1+47的最小值為ab解析：a,b都是正數(shù)，.1+b1+4ba=5a>52jb=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時取等號.5 .若實(shí)數(shù)a,b滿足1+=朝，則ab的最小值為ab解析：依題意知a>0,b>0,則1+2>2、徑=2,當(dāng)且僅當(dāng)1=-2,即b=2a時,ababababab,即ab>2/2,所以ab的最小值為22.6.已知a>0,b>0,a+b=a+b則1+2的最小值為解析：由a>0,b>0,一一一11a+b=a+b=a+b則:+A2、未abab，一，12-=2'、2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=/，b

4、=J2時等號成立.7.已知0<x<1,則x(43x)取得最大值時x的值為113x+4-3x斛析:x(4-3x)=-x)(4-3x)<o.33c4一.一2=7,當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,取等號3,58.已知xv4,則f(x)=4x-2+4x5的最大值為解析：因?yàn)閤<4,所以54x>0,則f(x)=4x2+4x55-4x+5x+3-，154x,+3=2+3=1.54x，1r，一，,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時，等號成立.故54x-1f(x)=4x2+的最大值為1.4x-59.設(shè)X>0,則函數(shù)y=x十卷3的最小值為解析：y=x+2x+12x+22>2x+22

5、=0,當(dāng)且僅當(dāng)x+2=,x+212成立.因?yàn)閍+b=1ab，所以：ab>r1，一,一，一，即x=£時等號成立.所以函數(shù)的最小值為0.10.函數(shù)y=x2+2x-1(x>1)的最小值為x2+2x22x+1x-1解析：x>1,.x-1>0,y=x-1+2x-2+3x-12+2x1+3x-1=(x-1)+2>23+2.x1當(dāng)且僅當(dāng)11.已知x,y都為正實(shí)數(shù)，且x+y+x+y=5,則x+y的最大值是解析：因?yàn)閤+y+x+y=x+y+x+yx+y>x+y+xyx+y24,4=x+y+,所以x+y+<5.令x+y=tUt25t+4W0,解得1wtW4.類型

6、二常數(shù)代換法利用基本不等式求最值41,1 .已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則-+；的最小值為ab解析：由題意知，正數(shù)a,b滿足a+b=1,4ba41414ba、則a+b=a+b(a+b)=4+111nm解析：mn。，m+n=1,，m<0,n<0,.-.m+-=-(m+n)m+n=-2+m+-+Y+b>5+2,，4bar21,41，當(dāng)且僅當(dāng)=b,即a=3，b=3時等號成立，所以a+8的最小值為9.,一21,2 .已知a>0,b>0,a+2b=3,則的最小值為.ab解析：由a+2b=3得1a+2b=1,所以2+1=ga+2b2+1=o+obq+2、/;a33ab33a

7、b33b3a33b3a=8.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=|時取等號.323 .若a>0,b>0,Iga+Igb=lg(a+b),則a+b的最小值為解析：由Iga+lgb=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,則有1+f=1ab',11ba、-cba，所以a+b=3+b(a+b)=2+a+b>2+2，J&b=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立，所以a+b的最小值為4.4 .若正數(shù)x,y滿足3x+y=5xy,則4x+3y的最小值是解析:3x+y31由3x+y=5xy,得,=y+x=5,1311._3y.12x、1,._所以4x+3y=(4x+3y)5

8、y+x=54+9+x+y>5(4+9+236)=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=即y=2x時，"="成立，故4x+3y的最小值為5.195 .設(shè)x>0,y>0,右xlg2,Ig/2,ylg2成等差數(shù)列，貝Ux+Q的取小值為解析：xlg2,lg2,ylg2成等差數(shù)列，.2lg1=(x+y)lg2,.-x+y=1.1919_y9x13,一.一-+y=(x+y)x+y>10+2Vx1=10+6=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=-,y=；4時取等號.、一.一一.11心6 .已知頭數(shù)m,n滿足mn>0,m+n=1,則m+門的取大值為.nm.一.，1,11022弋后不=一%當(dāng)且僅當(dāng)m=

9、n=2時，m十%取得取大值4.7 .已知函數(shù)y=loga(x+3)1(a>0且aw1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0，,一11一一，一，上，其中mn>0,則一+一的取小值為mn解析：令x+3=1,得x=2,故A(2,1).又點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0±,-2m-3+2位.當(dāng)n+1=0,即2m+n=1,則工+1=二+二(2m+n)=3+-3+2、Imnmn'/mnmn且僅當(dāng)m=尸,2+'21，n=時等號成立，所以2+111m+n的取小值為3+22.1118已知X，y均為正實(shí)數(shù)，且不+用=6'則x+y的破小值為解析：.x,y均為正實(shí)

10、數(shù)，且111+=6,x+2y+26則x+y=(x+2+y+2)4=61,十x+21y+2x+2y+2(x+2+y+2)-4=62+y+2x+2x+2y+2>6X2+2、/4=20，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時取等號.，x+y的最小值為20.419若a,b，c都是正數(shù)，且a+b+c=2,則為+二的破小值是解析：,a,b,c都是正數(shù)，且a+b+c=2,，a+b+c+1=3,且a+1>0,b+c>0.4十a(chǎn)+111，、2,a+1+b+c)b+c34114b+ca+15a+1b+c35十a(chǎn)+1b+cJ、c>-(5+4)=3.3當(dāng)且僅當(dāng)a+1=2(b+c),即a=1,b+c=1時，等號

11、成立.10.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為2,則空羋的ab最小值是解析：由函數(shù)f(x)=ax2+bx,彳#f'(x)=2ax+b,由函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜_,、，,、，8a+b181181b16a率為2,所以f'(1)=2a+b=2,所以ab=a+b=2a+b(2a+b)=210+-+->；10+2、/b噂=7(10+8)=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=16a,即a=,b=4時等號成立，2ab2ab338a+b所以二的最小值為9.ab11.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.1

12、1,(1)求u=lgx+1gy的取大值；(2)求x+y的取小值.解析：(1)x>0,y>0,，由基本不等式，得2x+5yA2410xy.,2x+5y=20,210xy<20,xy<10,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時，等號成立2x+5y=20,x=5,因此有解得此日xy有最大值10.2x=5y,y=2,.u=1gx+1gy=1g(xy)<1g10=1.*x=5,y=2時，u=1gx+1gy有最大值1.(2) .x>0,y>0,11112x+5y15y2x1,'5y2x7+2/10L廣廣y=207+V+7>207+2*77=，104而202x+5y=

13、20,x=3,當(dāng)且僅當(dāng)笑勺時，等號成立.由5V2x解得xy5y=空,20-4屈xyy=-y3.1 17+210-+1的最小值為20.類型三通過消元法利用基本（均值）不等式求最值1 .正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解析.a,b是正數(shù)，ab=a+b+3>2'ab+3,解得ab>3,即ab>9.2 .設(shè)x,y均為正數(shù)，且xy+x-y-10=0,則x+y的最小值是.y+109解析：由xy+xy10=0,得x=+1,y+1y+199x+y=+1+y>2/1+y=6,一.9一,一,當(dāng)且僅當(dāng)=1+y,即y=2時，等號成立y+13.已知x>0,y&g

14、t;0,且2x+4y+xy=1,貝Ux+2y的最小值是解析：令t=x+2y,則2x+4y+xy=1可化為1=2x+4y+xyW2(x+2y)+1x，2y=2t+±.228因?yàn)閤>0,y>0,所以x+2y>0,即t>0,t2+16t-8>0,解得t>6%28.即x+2y的最小值是628.類型四：利用基本不等式求參數(shù)值或取值范圍1,若對于任意x>0,2；,wa恒成立,則a的取值范圍是.X十3X十1X11解析M=7,因?yàn)閤>0,所以X+->2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號),X2+3X+13+X+1XX,11則產(chǎn)=13+23+X+-3十2X1

15、5'XX2+3x+1,一1,1的最大值為5,故a、.2,正數(shù)a,b滿足1+9=1,若不等式a+b>-x2+4x+18m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)ab數(shù)m的取值范圍是.解析：因?yàn)閍>0,b>0,1+9=1,所以a+b=(a+b)1+9=10+-+-9a>10+2J9=16,由ababab題意，得16>x2+4x+18m,即x24x2>m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，而X24x2=(x-2)26,所以x2-4x-2的最小值為一6,所以一6>-m,即m>6.1a3.已知不等式(x+y)X+y>9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為1a1a解

16、析：已知不等式(x+y)x+y>9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，只要求(x+y)+的最小值大于或等于9,-1+a+y+0X>a+2a+1,當(dāng)且僅當(dāng)y=ax等號成立，a+2a+19,.二yja>2或、aw4(舍去),'a4,即正實(shí)數(shù)a的最小值為4.4已知函數(shù)y=x+p(x>2)的最小值為6,則正數(shù)m的值為解析：>2,m>0,，y=x2+2>2、/x-2m+2=2m+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2+Jm時取等號，又函數(shù)y=x+(x>2)的最小值為6,.-.2Vm+2=6,解得m=4.題型二基本不等式的綜合問題類型一基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題1 .某工廠需要建造

17、一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲費(fèi)為5萬元，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為千米時，運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和最小，最小為萬元.解析:設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為yi萬元，倉儲費(fèi)為y2萬元，則yi=kix(kiw0),y2=k2(k2W0),工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲費(fèi)用為5萬元,.*i=5,k2=20,運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和為，20一一5x+萬兀,x5x+20>2A/5xX-2O=20,當(dāng)且僅20當(dāng)5x=,即x=2時，運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和最小，為20萬兀.x2

18、 .若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是m2解析:設(shè)矩形的一邊為xm,面積為ym2,1.則另一邊為2x(20-2x)=(10-x)m,其中0vx<10,.，/Cx+10xn一一r-II一，一.y=x(10x)W=25,當(dāng)且僅當(dāng)x=10x,即x=5時，ymax=25.類型二基本不等式與函數(shù)的交匯問題1 .1 .已知A,B是函數(shù)y=2x的圖象上不同的兩點(diǎn)，右點(diǎn)A,B到直線y=2的距離相等，則點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是解析:設(shè)A(X1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)x1<x2.函數(shù)y=2x為單調(diào)增函數(shù)，若點(diǎn)A,B到直線y=1112的距離相等，則2-y1=y2-2,即yI+y2=1,即2x1+2x2=1.由基本不等式得1=2x1+1.2x2A2,2x1彩，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=1時取等方，則2x1+x2W4,解得x1+x2<2(因?yàn)閤Wx2,等號取不到).類型三基本不等式與數(shù)列的交匯問題1.設(shè)正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若$7$5=3(24+25),則423+9的最小值為.a7解析：設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q(q>0),S7S5=a7+a6=3(a4+a5),37+36=q2=3.-4a3+"9=4a3+-9=4a3+>2/4a3二a5+