初中數(shù)學(xué)軸對稱與等腰三角形第06講級學(xué)生版

1、中考要求重難點1 軸對稱及等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用2 全等三角形與軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移變換的綜合應(yīng)用MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 1 of 16內(nèi)容基本要求略高要求較高要求軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分性質(zhì)；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及相關(guān)性質(zhì)。能運用軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連

2、線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題；平移了解圖形平移，理解平移中對應(yīng)點連線平行（或在同一條直線上）且相等的性質(zhì)能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；能依據(jù)平移前后的圖形，指出平移的方向和距離能運用平移的知識解決簡單的計算問題；等腰三角形了解等腰三角形、等邊三角形的概念，會識別這二種圖形， 并理解這二種圖形的性質(zhì)和 判定能用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題能用等腰三角形、等邊三角形的知識解決有關(guān)問題軸對稱與等腰三角形例題精講版塊一 軸對稱垂直平分線類垂直平分線：“

3、垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等”，主要是轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系，尤其是在軸對稱有關(guān)作圖中，應(yīng)用更為廣泛如圖DABC 中， AD 平分BAC ， DG BC 且平分 BC ， DE AB 于 E ， DF AC 于 F .說明 BE = CF 的理由；如果 AB = a ， AC = b ，求 AE ， BE 的長.【例1】AEGCBFD【例2】 如圖， AB = AC ， AD = AE ， BE 和CD 相交于點O ， AO 的延長線交 BC 于點 F 。求證： BF = FC 。ADEOBCF雙對稱軸路程和最短問題【例3】 如圖，AOB = 30 ，角內(nèi)有點 P ，且OP = 5 ，在

4、角的兩邊有兩點Q 、R（均不同于O 點），則PQR 的周長的最小值為MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 2 of 16APOB【鞏固】如圖，在POQ 內(nèi)部有 M 點和 N 點，同時能使MOP = NOQ ，這時在直線OP 上再取 A 點， 使從 A 點到 M 點及 N 點的距離和為最?。辉谥本€OQ 上也取 B 點，使從 B 點到 M 點和 N 點的距離和也最小證明： AM + AN = BM + BN QBMNOPA多對稱軸路程和最短問題【例4】 如圖，當(dāng)點 A 與l1 、l2 、l3 連續(xù)相撞時，假設(shè)入射角等于反射角，求作出點 A

5、 向點 B 運動時的最短路程l3l1BAl2【例5】 如圖，矩形臺球桌 ABCD 上有兩個球 P 、Q ，求作一擊球路線，使 P 球順次撞擊球桌四邊后再撞擊Q 球（球撞擊桌邊的入射角等于反射角）ADCBMSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 3 of 16PQ平移路程和最短問題如圖，在 a 上找到 M 、 N 兩點，且 MN =10 ， M 在 N 的左邊，使四邊形 ABMN 的周長最短?！纠?】ABa【鞏固】如圖， A，B 兩村相隔一條河，為使兩村之間行程最短，應(yīng)在河的什么位置架一座橋？（河岸可看成平行線，橋是垂直于河岸的）Al1l2

6、B軸對稱與路程差最大問題【例1】 已知： A 、 B 兩點在直線l 的同側(cè)，在l 上求作一點 M ，使得| AM - BM |最大。BAl【鞏固】求在直線l 上找一點 P ，使得直線l 為APB 的角平分線AB版塊二、等腰三角形【例7】 已知DABC 中，A = 90 ，B = 67.5.請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形.（請你利用下面給出的備用圖，畫出兩種不同的分割方法.只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）.MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 4 of 16AABBCC【例8】 等腰三角形的頂角a

7、90 ，如果過它的頂角頂點作一直線能夠?qū)⑺殖蓛蓚€等腰三角形，求a ABDC【例9】 P 為等腰三角形 ABC 的底邊 AB 上的任意一點， PE AC 于點 E ， PF BC 于點 F ， AD BC點 D ，如圖，求證： PE + PF = AD CDFEBAP【鞏固】如圖，點 P 為等腰三角形 ABC 的底邊 BA 的延長線上的一點，PE CA的延長線于點 E ，PF BC于點 F ， AD BC 于點 D PE 、 PF 、 AD 之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?CFDPBAE【例10】如下圖，DABC 是等邊三角形，CBFACDBAE =122 ，DEF - DFE = 38 求出DDE

8、FMSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 5 of 16的每個內(nèi)角度數(shù)ADEFBC，已知DABC ，延長 CA 、 AB 、 BC 到 D 、 E 、 F ，連接 DE 、 EF 、 FD ，使得【鞏固】AED = BFE = CDF ，若ABC = 60 ， DFE = 50 ，求BAC 及EDF 的度數(shù)DACBFE【例11】如圖，六邊形 ABCDEF 中，A = B = C = DBC + DE = E = F ，且AB + BC = 11 ，F(xiàn)A - CD = 3 求EFDACB模塊三全等三角形與軸對稱角平分線類“角”是軸對稱圖形

9、，對稱軸為角平分線所在的直線。因此在遇見與角平分線有關(guān)問題的時候，可以有下面幾個基本解題思路：平分角；角平分線上點到角兩邊的距離相等；沿角平分線進(jìn)行翻折?！纠?2】已知DABC 中， A = 60 ， BD 、CE 分別平分ABC 和ACB ， BD 、CE 交于點O ，試BE 、CD 、 BC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 6 of 16AEDOBC【例13】如圖，在 RtDABC 中，AD 是斜邊 BC 上的高，BE 是ABC 的平分線，AD 交 BE 于O ，EF AD于 F ，求證： AF =

10、OD ABCD【例14】已知在DABC 中，A = 90，B 的平分線交 AC 于 E ，交交 AC 于 F ，求證： AE = FC BC 邊上的高 AH 于 D ，過D 作 DF BCBCAE F構(gòu)造等腰三角形類構(gòu)造等腰三角形類的主要方法有兩種：是將直角三角形沿著某一直角邊翻折；是截取等長線段MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 7 of 16HDF21EO【例15】如圖，在ABC 中，ABC = 46 ， D 是 BC 邊上一點， DC = AB ，DAB = 21 ，試確定CAD的度數(shù)ABCD構(gòu)造等邊三角形類構(gòu)造等邊三角形類的

11、方式主要有兩種：直接以某一線段長為邊，直接構(gòu)造等邊三角形；作等腰三角形，然后利用題目給出的特殊角，如60 ，證明此等腰三角形為等邊三角形【例16】如圖， BD 是DABC 的角平分線， A = 60答： ABC = 證明：， 2AD + CD = AB,ABC 的度數(shù)并說明理由。ADCB【鞏固】如圖，在等腰ABC 中， AB = AC ，頂角 A = 20 ，在邊 AB 上取點 D ，使 AD = BC ，求BDC 的度數(shù)。MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 8 of 16ADCB【例17】如圖，在ABC 中， ABC = 40 ，

12、 ACB = 40 ， P 為三角形內(nèi)的一點， 且 PCA = 20 ，PAB = 20 ，求PBC 的度數(shù)。APCB模塊四全等三角形與旋轉(zhuǎn)倍長中線類倍長中線是我們耳熟能詳?shù)囊环N輔助線的作法，其實此作法最主要是通過旋轉(zhuǎn)的方式，構(gòu)造出一對“8”字型全等三角形，從而轉(zhuǎn)化線段與角的數(shù)量關(guān)系【例18】在后面的學(xué)習(xí)中，我們會學(xué)習(xí)到與直角三角形斜邊上有關(guān)的性質(zhì)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，用數(shù)學(xué)語言改編如下：已知：在 RtDABC 中， C = 90 ， D 為斜邊 AB 的中點，證明: CD = 1 AB2MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)

13、生版Page 9 of 16ABC【鞏固】兩個全等的含30 、60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，條直線上，連結(jié) BD ，取 BD 的中點 M ，連結(jié) ME 、 MC ，試放置， E 、 A 、C 三點在一DEMC 的形狀，并說明理由BDCEA一般等腰三角形旋轉(zhuǎn)一般等腰三角形旋轉(zhuǎn)的問題主要有：通過對等腰三角形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造全等三角形；通過對一般三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰三角形【例19】如圖，DABC 是邊長為 1 的正三角形，DBDC 是頂角為120 的等腰三角形，以 D 為頂點作一個60的MDN ，點 M , N 分別在 AB, AC 上，則DAMN 的周長是ANMDBC等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)等腰

14、直角三角形旋轉(zhuǎn)有關(guān)問題要充分考慮到：“邊相等”“角相等”，還有斜邊上的中線，這條特殊的線段，尤其是涉及到斜邊中點的時候，基本上都會連接這條中線【例20】已知：在 RtDABC 中，AB = BC ，在 RtDADE 中，AD = DE ，連結(jié) EC ，取 EC 的中點 M ，連結(jié) DM和 BM 若點 D 在邊 AC 上，點 E 在邊 AB 上且與點 B 不重合，如圖，探索 BM 、 DM 的關(guān)系并給予證明；MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 10 of 16MD如果將圖中的DADE 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)小于 45 的角，如圖，那么中

15、的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明BBEEMMACACDD等邊三角形旋轉(zhuǎn)【例21】如圖，已知四邊形 ABCD 中， AB = AD, BAD = 60 ， BCD =120 ，證明： BC + DC = AC ADBC三垂直全等及三垂直的變形三垂直模型及其變形最主要的是轉(zhuǎn)化角度之間的關(guān)系【例22】在ABC 中，ACB = 90 ， AC = BC ，直線 MN 經(jīng)過C 點，且 AD MN 于 D ，BE MN 于 E MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 11 of 16當(dāng)直線 MN 繞點C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置

16、時，求證： DE = AD + BE ；當(dāng)直線 MN 繞點C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證： DE = AD - BE ；當(dāng)直線 MN 繞點C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，試問： DE 、 AD 、 BE 有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明MCMCMDCENDEABABEABD圖NN圖圖【鞏固】如圖， CD 是經(jīng)過BCA 頂點 C 的一條直線， CA = CB ， E 、 F 分別是直線 CD 上兩點，且BEC = CFA = a （1） 若直線CD 經(jīng)過BCA 的內(nèi)部，且 E 、 F 在直線CD 上，請解決下面兩個問題：如圖，若BCA = 90 ， a = 90，則 BECF ； EFBE -

17、 AF（填“ ”、“ ”、“ = ”）；如圖，若0 BCA AD + AE 【例23】ABDECMSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 13 of 16【鞏固】，在DABC 中， B = 90 ， M 為 AB 上的一點，且 AM = BC ； N 為 BC 上的一點，且CN = BM 連接 AN 、CM 交于點 P ，求證： APM = 45 CNPAMB【例24】在DABC 中， AB = AC ， CA , AB 的延長線上截取 E ， D ，有 ED = DA = EC = BC 求證： BAC =100 EABCD課堂檢測1.如圖， ABC 中， AB = AC ，點 P 、Q 分別在 AC 、 AB 邊上，且 AP =小是= QB = BC ，則A 的大MSDC 模塊化分級講義體系初中數(shù)學(xué).軸對稱與等腰三角形.第 06 講(C 級).學(xué)生版Page 14 of 16APQCB