(自己整理)圓錐曲線?？碱}型總結(jié)——配有大題和練習

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線?？碱}型和熱點問題一常考題型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范圍為題(本質(zhì)是函數(shù)問題)題型十一：存在性問題（存在點，存在直線，存在實數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角）,四邊形（矩形，菱形、正方形），圓)二熱點問題 1。定義與軌跡方程問題 2。交點與中點弦問題 3。弦長及面積問題 4.對稱問題 5。范圍問題 6。存在性問題 7.最值問題 8。定值,定點，定直線問題第二部

2、分 知識儲備一 與一元二次方程相關(guān)的知識（三個“二次”問題）1. 判別式：2. 韋達定理：若一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，則，3. 求根公式：若一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，則二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式,兩點式，一般式2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容:傾斜角與斜率：,；點到直線的距離公式：（一般式)或 （斜截式)3. 弦長公式：直線上兩點間的距離：4. 兩直線的位置關(guān)系: 5. 中點坐標公式：已知兩點,若點線段AB的中點，則三圓錐曲線的重要知識考綱要求:對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同.文科:掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓

3、及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程 雙曲線的標準方程 拋物線的標準方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì):特別是離心率，參數(shù)三者的關(guān)系，的幾何意義等4. 圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓,雙曲線，拋物線焦點三角形的面積：在橢圓上時 在雙曲線上時四常結(jié)合其他知識進行綜合考查1 圓的相關(guān)知識:兩種方程，特別是直線與圓,兩圓的位置關(guān)系2 導數(shù)的相關(guān)知識:求導公式及運算法則,特別是與切線方程相關(guān)的知識3 向量的相關(guān)知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數(shù)的相關(guān)知識：各類公式及圖像與

4、性質(zhì)5 不等式的相關(guān)知識:不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（1）圓錐曲線與圓例1.（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為,右準線方程為()求雙曲線的方程；（)設(shè)直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運算能力（)由題意,得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上,圓在點處的切線方程為，化簡得。由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且，,且，設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則,，且,。 的大小為.【解法2】（）同解法1。

5、（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得。由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，,設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則， 的大小為.（且，從而當時,方程和方程的判別式均大于零）.練習1：已知點是橢圓的左頂點，直線與橢圓相交于兩點,與軸相交于點。且當時，的面積為。 （）求橢圓的方程;（）設(shè)直線，與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點？并請說明理由.（2）圓錐曲線與圖形形狀問題例2。1已知A,B，C是橢圓W：y21上的三個點，O是坐標原點（1)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由解:(

6、1)橢圓W:y21的右頂點B的坐標為（2,0）因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A（1，m），代入橢圓方程得m21，即m。所以菱形OABC的面積是OB|AC22m|。（2）假設(shè)四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為ykxm（k0，m0)由消y并整理得（14k2)x28kmx4m240.設(shè)A（x1，y1）,C(x2,y2），則,.所以AC的中點為M.因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為.因為k1,所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形練習1：已知橢圓過

7、點（,)，且以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形.（)求橢圓的標準方程；(）設(shè)是橢圓上的動點，是軸上的定點,求的最小值及取最小值時點的坐標。（3）圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓,（1） 求橢圓的離心率。（2） 設(shè)為原點，若點在橢圓上,點在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解析：橢圓的標準方程為:，,則，離心率；直線與圓相切.證明如下：法一:設(shè)點的坐標分別為，其中。因為，所以，即，解得.當時，代入橢圓的方程,得,故直線的方程為.圓心到直線的距離。此時直線與圓相切.當時，直線的方程為，即。圓心到直線的距離.又,，故.此時直線與圓相切.法二：由題意知，直線

8、的斜率存在,設(shè)為，則直線的方程為，當時，易知,此時直線的方程為或,原點到直線的距離為，此時直線與圓相切；當時，直線的方程為，聯(lián)立得點的坐標或;聯(lián)立得點的坐標,由點的坐標的對稱性知，無妨取點進行計算，于是直線的方程為：，即,原點到直線的距離,此時直線與圓相切.綜上知，直線一定與圓相切。法三：當時,，易知,此時,，原點到直線的距離，、此時直線與圓相切；當時，直線的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立得點的坐標或；于是，,所以，直線與圓相切；綜上知，直線一定與圓相切練習1：已知橢圓過點,且長軸長是焦距的倍. 過橢圓左焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點。（）求橢圓的標準方程；（）若直線AB垂直于x軸,判斷點

9、O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；（）若點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線AB的斜率的取值范圍.(4）圓錐曲線定值與證明問題 例4.1已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為（）求橢圓的方程； （）設(shè)為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點與平行的直線與橢圓交于點證明:解：（)設(shè)橢圓的標準方程為，由題意知解得，所以橢圓的標準方程為5分（)設(shè)直線的方程為：，則 由 得（*）設(shè)，,則，是方程（*）的兩個根，所以所以 設(shè)直線的方程為：由 得設(shè)，則，所以，所以 例4.2：已知橢圓C： （ab0)的離心率為 ,A（a，0），B(0,

10、b），O(0，0)，OAB的面積為1.(I）求橢圓C的方程；（I I)設(shè)P的橢圓C上一點，直線PA與Y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N。求證：為定值.練習1：已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為。（）求橢圓的方程；（)已知動直線與橢圓相交于、兩點. 若線段中點的橫坐標為，求斜率的值;若點,求證：為定值。練習2:已知拋物線C : y2 2 px（p 0），其焦點為F，O為坐標原點，直線 AB（不垂直于x軸）過點F 且拋物線C交于 A，B兩點,直線OA與OB的斜率之積為p （1）求拋物線C 的方程;(2）若M 為線段AB 的中點，射線OM 交拋物線C 于點D ，求

11、證:2練習3:動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為.(） 求動點的軌跡的方程；() 已知定點，動點在直線上，作直線與軌跡的另一個交點為，作直線與軌跡的另一個交點為，證明：三點共線.（5)圓錐曲線最值問題例5: 已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點，. （)求橢圓的方程；(）設(shè)點是橢圓上的一個動點，且點在軸的右側(cè)。 直線,與直線分別相交于 兩點. 若以為直徑的圓與軸交于兩點，求點橫坐標的取值范圍及的最大值。 解：(）由題意可得,， 1分， 2分得， 3分 解， 4分 橢圓的標準方程為. 5分（)設(shè)，, 所以,直線的方程為， 6分同理：直線的方程為, 直線與直線的交點為， 7分直線與直線的交點

12、為, 線段的中點, 8分 所以圓的方程為， 9分令,則， 10分因為，所以 ， 11分所以，因為這個圓與軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解，所以 ，解得。 12分設(shè)交點坐標，則（)所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2. 14分練習1：已知橢圓C:的一個焦點為F(2，0），離心率為 .過焦點F 的直線l 與橢圓C交于 A，B兩點,線段 AB中點為D，O為坐標原點,過O，D的直線交橢圓于M，N 兩點。（1)求橢圓C 的方程；（2）求四邊形AMBN 面積的最大值。練習2：已知橢圓：的長軸長為，為坐標原點.（）求橢圓的方程和離心率；(）設(shè)點，動點在軸上，動點在橢圓上，且在y軸的右側(cè)，若,求四邊形面積的最小

13、值.（6）圓錐曲線存在性問題例6.已知橢圓： 的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點（）求橢圓的方程，并求點的坐標（用表示);（）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點，使得?若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由解析:（I)由題意得解得，故橢圓的方程為設(shè)因為，所以直線的方程為， 所以，即因為點與點關(guān)于軸對稱，所以.設(shè)，則。 “存在點使得”等價于“存在點使得”,即滿足.因為，所以或，故在軸上存在點，使得，點的坐標為或.練習1：設(shè)F 1 ，F(xiàn) 2分別為橢圓的左、右焦點，點P（1，） 在橢圓E 上，且點P 和F1 關(guān)于點C（0，） 對稱。(1）求橢圓E 的方程；(2)過右焦點F2 的直線l與橢圓相交于 A，B兩