(自己整理)圓錐曲線?？碱}型總結(jié)——配有大題和練習(xí)

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線常考題型和熱點(diǎn)問題一?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點(diǎn)問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點(diǎn)共線問題題型十：范圍為題(本質(zhì)是函數(shù)問題)題型十一：存在性問題（存在點(diǎn)，存在直線，存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角）,四邊形（矩形，菱形、正方形），圓)二熱點(diǎn)問題 1。定義與軌跡方程問題 2。交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題 3。弦長及面積問題 4.對稱問題 5。范圍問題 6。存在性問題 7.最值問題 8。定值,定點(diǎn)，定直線問題第二部

2、分 知識儲備一 與一元二次方程相關(guān)的知識（三個(gè)“二次”問題）1. 判別式：2. 韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，3. 求根公式：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距式,兩點(diǎn)式，一般式2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容:傾斜角與斜率：,；點(diǎn)到直線的距離公式：（一般式)或 （斜截式)3. 弦長公式：直線上兩點(diǎn)間的距離：4. 兩直線的位置關(guān)系: 5. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn),若點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)，則三圓錐曲線的重要知識考綱要求:對它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同.文科:掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓

3、及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì):特別是離心率，參數(shù)三者的關(guān)系，的幾何意義等4. 圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓,雙曲線，拋物線焦點(diǎn)三角形的面積：在橢圓上時(shí) 在雙曲線上時(shí)四常結(jié)合其他知識進(jìn)行綜合考查1 圓的相關(guān)知識:兩種方程，特別是直線與圓,兩圓的位置關(guān)系2 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識:求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則,特別是與切線方程相關(guān)的知識3 向量的相關(guān)知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數(shù)的相關(guān)知識：各類公式及圖像與

4、性質(zhì)5 不等式的相關(guān)知識:不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（1）圓錐曲線與圓例1.（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為()求雙曲線的方程；（)設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線,與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力（)由題意,得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上,圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得。由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且，,且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則,，且,。 的大小為.【解法2】（）同解法1。

5、（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得。由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.（且，從而當(dāng)時(shí),方程和方程的判別式均大于零）.練習(xí)1：已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn)。且當(dāng)時(shí)，的面積為。 （）求橢圓的方程;（）設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)？并請說明理由.（2）圓錐曲線與圖形形狀問題例2。1已知A,B，C是橢圓W：y21上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)（1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由解:(

6、1)橢圓W:y21的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A（1，m），代入橢圓方程得m21，即m。所以菱形OABC的面積是OB|AC22m|。（2）假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為ykxm（k0，m0)由消y并整理得（14k2)x28kmx4m240.設(shè)A（x1，y1）,C(x2,y2），則,.所以AC的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.因?yàn)閗1,所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形練習(xí)1：已知橢圓過

7、點(diǎn)（,)，且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.（)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(）設(shè)是橢圓上的動點(diǎn)，是軸上的定點(diǎn),求的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓,（1） 求橢圓的離心率。（2） 設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:，,則，離心率；直線與圓相切.證明如下：法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中。因?yàn)?，所以，即，解?當(dāng)時(shí)，代入橢圓的方程,得,故直線的方程為.圓心到直線的距離。此時(shí)直線與圓相切.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即。圓心到直線的距離.又,，故.此時(shí)直線與圓相切.法二：由題意知，直線

8、的斜率存在,設(shè)為，則直線的方程為，當(dāng)時(shí)，易知,此時(shí)直線的方程為或,原點(diǎn)到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或;聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo),由點(diǎn)的坐標(biāo)的對稱性知，無妨取點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，于是直線的方程為：，即,原點(diǎn)到直線的距離,此時(shí)直線與圓相切.綜上知，直線一定與圓相切。法三：當(dāng)時(shí),，易知,此時(shí),，原點(diǎn)到直線的距離，、此時(shí)直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或；于是，,所以，直線與圓相切；綜上知，直線一定與圓相切練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn),且長軸長是焦距的倍. 過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線AB垂直于x軸,判斷點(diǎn)

9、O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；（）若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線AB的斜率的取值范圍.(4）圓錐曲線定值與證明問題 例4.1已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）求橢圓的方程； （）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)證明:解：（)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5分（)設(shè)直線的方程為：，則 由 得（*）設(shè)，,則，是方程（*）的兩個(gè)根，所以所以 設(shè)直線的方程為：由 得設(shè)，則，所以，所以 例4.2：已知橢圓C： （ab0)的離心率為 ,A（a，0），B(0,

10、b），O(0，0)，OAB的面積為1.(I）求橢圓C的方程；（I I)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與Y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證：為定值.練習(xí)1：已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為。（）求橢圓的方程；（)已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn). 若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值;若點(diǎn),求證：為定值。練習(xí)2:已知拋物線C : y2 2 px（p 0），其焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB（不垂直于x軸）過點(diǎn)F 且拋物線C交于 A，B兩點(diǎn),直線OA與OB的斜率之積為p （1）求拋物線C 的方程;(2）若M 為線段AB 的中點(diǎn)，射線OM 交拋物線C 于點(diǎn)D ，求

11、證:2練習(xí)3:動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為.(） 求動點(diǎn)的軌跡的方程；() 已知定點(diǎn)，動點(diǎn)在直線上，作直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，作直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.（5)圓錐曲線最值問題例5: 已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，. （)求橢圓的方程；(）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的右側(cè)。 直線,與直線分別相交于 兩點(diǎn). 若以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值。 解：(）由題意可得,， 1分， 2分得， 3分 解， 4分 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 5分（)設(shè)，, 所以,直線的方程為， 6分同理：直線的方程為, 直線與直線的交點(diǎn)為， 7分直線與直線的交點(diǎn)

12、為, 線段的中點(diǎn), 8分 所以圓的方程為， 9分令,則， 10分因?yàn)?，所?， 11分所以，因?yàn)檫@個(gè)圓與軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以 ，解得。 12分設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則（)所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2. 14分練習(xí)1：已知橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0），離心率為 .過焦點(diǎn)F 的直線l 與橢圓C交于 A，B兩點(diǎn),線段 AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn),過O，D的直線交橢圓于M，N 兩點(diǎn)。（1)求橢圓C 的方程；（2）求四邊形AMBN 面積的最大值。練習(xí)2：已知橢圓：的長軸長為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；(）設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)在軸上，動點(diǎn)在橢圓上，且在y軸的右側(cè)，若,求四邊形面積的最小

13、值.（6）圓錐曲線存在性問題例6.已知橢圓： 的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)（）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示);（）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)問：軸上是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析:（I)由題意得解得，故橢圓的方程為設(shè)因?yàn)?，所以直線的方程為， 所以，即因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以.設(shè)，則。 “存在點(diǎn)使得”等價(jià)于“存在點(diǎn)使得”,即滿足.因?yàn)椋曰?，故在軸上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.練習(xí)1：設(shè)F 1 ，F(xiàn) 2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，） 在橢圓E 上，且點(diǎn)P 和F1 關(guān)于點(diǎn)C（0，） 對稱。(1）求橢圓E 的方程；(2)過右焦點(diǎn)F2 的直線l與橢圓相交于 A，B兩