剛體的轉(zhuǎn)動慣量

1、剛體的轉(zhuǎn)動慣量1. 剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，是描述剛體在繞該軸的轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣性的物理量.有轉(zhuǎn)動慣量的定義式 Imi ri 2 可看出，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是與下列三個因素有關(guān)的.（ 1）與剛體的質(zhì)量有關(guān) . 例如半徑相同的兩個圓柱體，而它們的質(zhì)量不同，顯然，對于相應(yīng)的轉(zhuǎn)軸，質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量也較大.（ 2）在質(zhì)量一定的情況下， 與質(zhì)量的分布有關(guān) . 例如質(zhì)量相同、 半徑也相同的圓盤與圓環(huán)，二者的質(zhì)量分布不同， 圓環(huán)的質(zhì)量集中分布在邊緣， 而圓盤的質(zhì)量分布在整個圓面上， 所以，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量較大 .（ 3）還與給定轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，即同一剛體對于不同的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量的大小也是不等

2、的. 例如，同一細長桿，對通過其質(zhì)心且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸和通過其一端且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸，二者的轉(zhuǎn)動慣量不相同， 且后者較大 . 這是由于轉(zhuǎn)軸的位置不同， 從而也就影響了轉(zhuǎn)動慣量的大小 . 剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素：剛體的總質(zhì)量、剛體的質(zhì)量分布情況、轉(zhuǎn)軸的位置.2. 轉(zhuǎn)動慣量的普遍公式（1）轉(zhuǎn)動慣量的定義式I2········· 1mrii可知， 對于形狀規(guī)則、 質(zhì)量均勻分布的連續(xù)剛體，其對特殊軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算可借助于定積分 .這是，可設(shè)想將剛體分成許多小線元、面元、體元.dmdxdmdSdmdV于是Ir 2dm

3、r 2dxlIr 2dmr 2dSSIr 2dmr 2dVV一般說來， 這是個三重的體積分，但對于有一定對稱性的物體，積分的重數(shù)可以減少，甚至不需要積分 .（ 2）剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量I zr 2z2dmx2y2dm········· 2a剛體對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量I xr 2x2dmy2z2dm········· 2b剛體對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量I yr 2y2 dmx2z2 dm·&#

4、183;······· 2c仿照剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量來定義剛體對于某點的轉(zhuǎn)動慣量：剛體中各質(zhì)點的質(zhì)量各自與其至某（參考）點的距離的平方的乘積，所得總和稱為剛體對該點的轉(zhuǎn)動慣量.（ 3）剛體對某點的轉(zhuǎn)動慣量剛體對坐標原點 O 的轉(zhuǎn)動慣量可表示為IOx2y2z2 dm········· 3由式 2、3，得I O1I y I z········· 4I

5、x2即，質(zhì)點系（剛體）對于坐標原點的轉(zhuǎn)動慣量（或極轉(zhuǎn)動慣量），等于它對于三個坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量之和的一半.3. 剛體的平行軸定理（許泰乃爾定理）I ICmd 2········· 5即，剛體對于任何一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過它的質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.注意：平行軸定理與剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量緊密聯(lián)系在一起，應(yīng)用此定理的參考點是剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)平行軸定理，可得到如下關(guān)系：（1）剛體繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞另一平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，二者之差為md 2

6、 .（ 2）設(shè)有兩條平行軸PP ' 與 QQ ' 均不通過質(zhì)心C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，則剛體繞PP ' 軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞QQ ' 軸的轉(zhuǎn)動慣量（如圖所示）.QP·C·CQP(a)(b)平行軸定理的應(yīng)用(a)在不同圓上； (b) 同一圓上（ 3）如果有一簇與質(zhì)心 C 的距離相等的平行軸，那么，剛體繞這些軸的轉(zhuǎn)動慣量均相等（如圖 7.52(b) 所示） .4. 剛體的垂直軸定理（正交軸定理、薄片定理）設(shè)想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計，因而剛體為平面圖形.I z I x I y········· 6即，平面圖形對于圖形內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，等于這個圖形對過二軸交點且垂直于圖形平面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.注意：正交軸定理對于有限厚度的板不成立.5. 轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理實際上， 有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合.它對于某軸的轉(zhuǎn)動慣量，可視為各部分對于同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，因而，I I1I2I3·········7即，由幾個部分組成的剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于各部