淺談三角函數(shù)專(zhuān)題的復(fù)習(xí)策略

1、淺談三角函數(shù)專(zhuān)題的復(fù)習(xí)策略一、考點(diǎn)分析1. 考查內(nèi)容與要求三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有許多獨(dú)特的 表現(xiàn)，是高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行考查的一個(gè)內(nèi)容。其考查內(nèi)容包括： 三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與 差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理， 解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數(shù)。要求掌握三角函數(shù)的定義，圖象和 性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，會(huì)用“五點(diǎn)法”作正余弦函數(shù)及二乂sin(瞅+M的簡(jiǎn)圖；掌握基本三角變換公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。了解反三角函數(shù)的概念，會(huì)由已知三角函數(shù)值求角并能用

2、反三角函數(shù)符號(hào)表示。 由于 新教材刪去了半角公式，和差化積，積化和差公式等內(nèi)容，近年的高考基本上圍 繞三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)， 以及簡(jiǎn)單的三角變換來(lái)進(jìn)行考查，目的是 考查考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本運(yùn)算能力掌握情況。2. 試題的題型與特點(diǎn)：近年來(lái)高考對(duì)三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 重視對(duì)三角 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。每年有 23道選擇題或填空題，或12道選擇、 填空題和1道解答題。總的分值為15分左右，占全卷總分的約10左右。(1)關(guān)于三角函數(shù)的圖象立足于正弦余弦的圖象，重點(diǎn)是函數(shù) ¥二用皿(頌+由的圖象與y=sinx的圖象關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表

3、達(dá)式，以及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性。如 2000年 第(5)題、(17)題的第二問(wèn)。(2)求值題這類(lèi)問(wèn)題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多，主要是考查三角的包等變 換。如2002年(15)題。(3)關(guān)于三角函數(shù)的定義域、值域和最值問(wèn)題(4)關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)(包括奇偶性、單調(diào)性、周期性)。一般要先 對(duì)已知的函數(shù)式變形，化為一角一函數(shù)處理。如 2001年(7)題。(5)關(guān)于反三角函數(shù)，20002002年已連續(xù)三年不出現(xiàn)。(6)三角與其他知識(shí)的結(jié)合(如1999年第18題復(fù)數(shù)與三角結(jié)合)今后有關(guān)三角函數(shù)仍將以選擇題、 填空題和解答題三種題型出現(xiàn)，難度不 會(huì)太大，會(huì)控制在中等偏易的程度；三角函數(shù)如果在解答

4、題出現(xiàn)的話(huà)， 應(yīng)放在前兩題的位置，放在第一題的可能性最大，難度不會(huì)太大。1、立足課本、抓好基礎(chǔ)、復(fù)習(xí)策略近幾年的高考已經(jīng)堅(jiān)決拋棄對(duì)復(fù)雜三角變換及特殊技巧的考 查，重點(diǎn)已轉(zhuǎn)移到對(duì)基礎(chǔ)和基本技能的考查上。所以復(fù)習(xí)中用 T好教材、打好基礎(chǔ)猶為重要。（1） 一定要掌握好三角函數(shù)的圖象，特別是j二山山（瞅+M （幺 0,山0）的圖象的五點(diǎn)法作圖及平移、伸縮作圖。（2）熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)、切實(shí)掌握 判定三角函數(shù)奇偶性、確定單調(diào)區(qū)間及求周期的方法。（3）熟 練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，把基本公式記準(zhǔn)用熟。在三角變換中經(jīng)常出現(xiàn)公式的逆用或變形， 尤其是二倍角 余弦公式、兩角和差

5、的正切的變形應(yīng)用較為廣泛。 另外，輔助角公式應(yīng)用也較多， 也是考生常出錯(cuò)的地方，應(yīng)引起注意。在雙基知識(shí)的落實(shí)上，應(yīng)以課本的例題、 習(xí)題為素材，發(fā)揮教材中例題、習(xí)題的典型作用，事實(shí)上高考試題有相當(dāng)多的題 目是課本題目的直接引用或稍作變動(dòng)而來(lái)。 所以我在復(fù)習(xí)中，把教材代數(shù)（上冊(cè)） P184例4改為如下：已知函數(shù)/=癡上8" 至3（血* X-COS2 X）；2（I）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象;（H）求函數(shù)/的單調(diào)區(qū)間.目的是使學(xué)生明確在后階段的復(fù)習(xí)中也應(yīng)重視課本，落實(shí)雙基。分析：作j = Wsin（頌+必（月0,但0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，以及求單調(diào)區(qū) 問(wèn)等問(wèn)題是高考考綱對(duì)三角函數(shù)的

6、基本要求，解決問(wèn)題的方法是換元法，即把 題+收看作是函數(shù)中的X ,再求出對(duì)應(yīng)的X即可，但前提是需先把 復(fù)雜的的三角式轉(zhuǎn)化為上述形式。 3反.q 、解：(1)= 3sm icosx(sm X- cos x)-sin 2x+-cos2x = - (sin 2彳+出cof2x) 222二 35in(2i+)則周期?二兄；列表:或67T12*37笫125-TT2x+ 30跖7痞3君 22笫030-30描點(diǎn)作圖。（見(jiàn)上圖）7T乃Sit（2）由 2Ax 尿+ 一得：尿<x<te + （teZ）221212則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 際-&，尻+ £（丘2）, 12127同理可得函

7、數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 后T+三,玩+上伏2）。1212為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，本題還可引伸提出問(wèn)題：函數(shù)j = 3sin（2i+I）的圖象可由j = smi的圖象經(jīng)怎樣的變換得到？由學(xué)生回答，教師最后總結(jié)如下：方法一：先伸縮后平移：上標(biāo)除加率的腦.人向左平蛤個(gè)年冗由 一 丁 .，一； ：'- ；,舞持伸長(zhǎng)鯽制端胃=3疝（21+,方法二：先平移后伸縮：向霞平嗚個(gè)M田病出除鮑期期糜來(lái)的為用由 丁二 $inx3= sin（工+?2_二汕（21+7）耀一伸的褓的消,=3旭（21+,對(duì)第（2）問(wèn)也可設(shè)疑提問(wèn)：怎樣求二（）的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程?通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，多方位、多角度使雙基知識(shí)得到鞏固

8、深化。 目的是要使學(xué)生 明確在后階段的復(fù)習(xí)中也應(yīng)重視課本，落實(shí)雙基。2、強(qiáng)化變換意識(shí)、總結(jié)解題規(guī)律三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值是高考的一個(gè)常考的知識(shí)點(diǎn)。而化簡(jiǎn)、求值，經(jīng)常 離不開(kāi)三角變換。有部分考生三角公式背得滾瓜爛熟，但碰到具體問(wèn)題 往往要么束手無(wú)策，要么算理不清，變形毫無(wú)章法。例如：已知 gs(cu+m =一一jgfl；= 4A,求 cos 6 .142相當(dāng)多的學(xué)生直觀地把化為cosexcos/J-sm asin £用于計(jì)算，造成運(yùn)算繁瑣，或無(wú)功而返。究其原因是變換的意識(shí)較差，沒(méi)有注意到對(duì)角的關(guān) 系進(jìn)行觀察、分析，對(duì)角的變換規(guī)律并未真正掌握。事實(shí)上若清楚0=（&+口）-儀，則問(wèn)

9、題迎刃而解。因此復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化變換意識(shí)，掌握三角變換 的基本技能和方法，注意觀察、歸納、分析、比較，總結(jié)基本的方法、規(guī)律。其 中常見(jiàn)的變換有：角的變換、函數(shù)名稱(chēng)的變換、函數(shù)次數(shù)的變換、函數(shù)表達(dá)式的 變換等要求熟練掌握。觀察差異（角、函數(shù)、運(yùn)算），尋找聯(lián)系，分析綜合，實(shí) 現(xiàn)轉(zhuǎn)化是基本規(guī)律。例 1.求值： (tan5° - cot50) 力 1+cos 20°分析：這是一個(gè)典型的給角求值問(wèn)題，其方法是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角 或產(chǎn)生抵消或約分去掉等。本題三角函數(shù)種類(lèi)較多有切有弦，應(yīng)從化弦法入手， 通過(guò)化弦通分結(jié)合角的關(guān)系逐步深入解決問(wèn)題。M.sm 50 cos5°. si

10、n 200 sin2 5° - cos3 5 sin 20°斛：原式cos50 sin 50 2 cos310° cos 5< sin 502cos210°coslO° sin 2002sin 200。sin 100 cos210° - sin 200三角函數(shù)（特別是函數(shù) j二Nsin（州+。）的圖象性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。利用數(shù)形結(jié)合法，抓住圖象特征掌握函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的主要方法。 如函數(shù) 的對(duì)稱(chēng)軸穿過(guò)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)、 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是圖象與 X軸的交點(diǎn)、函 數(shù)奇偶性與圖象的對(duì)稱(chēng)關(guān)系等。例2：已知函數(shù)/=sin（瞅+

11、0他> 0,0oS笈）是R上的偶函數(shù)，其圖象 關(guān)于點(diǎn)M （9,0）對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間o,g上是單調(diào)函數(shù)，求 0和出的值。j二即分析：是偶函數(shù)可由偶函數(shù)的定義求也可結(jié)合基本函數(shù)和阿阿的y二cos1奇偶性，利用誘導(dǎo)公式化為基本形式求又 關(guān)于網(wǎng)點(diǎn)m對(duì)稱(chēng)，則/電二。，結(jié)合確的單調(diào)性可求 值的值。解：由誘導(dǎo)公式：當(dāng)3二丘+不伏wZ）時(shí)，州）二鄧幽或J。）二一co$砌為7T（3 偶函數(shù)，又 0團(tuán)，：當(dāng)上二。時(shí)，彳由f （x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M ,0214）/口 上際、a 上際、 一13防.北、3麗3珈 .對(duì)稱(chēng)，得 - . 一，-：-"-.444244一Biujrj ,八t八2,門(mén).，八_又 ffl

12、>0 .= + 桁,上=012 .-0 =（2分+1）, k=0,l,2,.1-*23當(dāng)上=0時(shí)=2 J（x）= sin（三十工）在上是減函數(shù)；33 1 2當(dāng)±= 1時(shí)=2J（x）=即（2二十三）在2上是減函數(shù);當(dāng)上 2時(shí),山 ? J(x)=皿叫+亍目0,?上不是單調(diào)函數(shù);該題以函數(shù)二乂(州+)為載體，考查正弦函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性是一道綜合性較強(qiáng)的題目，這就要求考生對(duì)有關(guān)函數(shù)的圖象與性質(zhì)要十分清 楚和熟悉。必須強(qiáng)調(diào)的是由較復(fù)雜的三角函數(shù)式解決如三角函數(shù)的圖象變換、有關(guān)性質(zhì)(周期、單調(diào)區(qū)間、最值)等問(wèn)題時(shí)，首先一定要把通過(guò)變換它變形為j =乂 sin(郵+y) 的形式來(lái)實(shí)

13、現(xiàn)。另外，三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題，要注意正弦定理、余弦定理是實(shí)現(xiàn)“邊角 互換”的關(guān)鍵，而三角變換是解決問(wèn)題的重要手段。解三角形涉及的變換較多， 綜合性強(qiáng)，對(duì)考生的應(yīng)變能力和計(jì)算能力要求較高，一定要注意控制難度。例3己知見(jiàn)瓦白是2L4BC的三個(gè)內(nèi)角4及C的對(duì)邊。港。SC的面積為三工=2，£= 60°,求凡占的值(2)若白cos A =凱8a試判斷h4BC的形狀，證明你的結(jié)論分析(1)由面積公式可求A的夾邊b,進(jìn)而由余弦定理求a.(2)判定三角形形狀問(wèn)題一般由正、余弦定理化邊為角，或化角為邊實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換。本題化邊為角較易。解：6由三角形面積公式得走=-sin 1 = £

14、;? sin 60,二8 二 122由余物定理/ =b2 + 28ccos-d = I2 +22 2xlx 2cos 60。= 3 a -(2)由正弦定理：a - 2衣sin Atb-2R 51n 瓦得2Ksm Acos j4 = 2A sin 83*Bsin 2A = sm 25, v A B是三角形的內(nèi)角，二A = 3或月+ 5 = 90°是等腰三角形或直角三角形3、針對(duì)高考重點(diǎn)與熱點(diǎn)，精心選材，抓好訓(xùn)練由于高考對(duì)三角考查要求的降低，考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的三角包等變形上，因此選題時(shí)，不應(yīng)引入難度高，計(jì)算量大、 技巧性過(guò)強(qiáng)的題目，應(yīng)把重點(diǎn)放在落實(shí)基礎(chǔ)知

15、識(shí)和基本技能上， 使學(xué)生掌握通性、 通法；要圍繞考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)選擇習(xí)題，使問(wèn)題起到復(fù)習(xí)鞏固雙基知識(shí)， 發(fā)揮 專(zhuān)題復(fù)習(xí)的正確導(dǎo)向作用。選題的基本思路有兩個(gè)，一是以三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和 考點(diǎn)為主線(xiàn)（即三角函數(shù)的圖象性質(zhì)一一三角變換一一三角形中的三角函數(shù)）， 著眼于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，圍繞“三基”和提高解題技能進(jìn)行策劃選題。教師 要對(duì)該內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)和能力要求做到心中有數(shù)， 結(jié)合學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的消化理解 程度，有針對(duì)性選題，可以以課本的例題、習(xí)題進(jìn)行加工整合，可以對(duì)一些典型 高考題吸取其思想方法引伸而成。 但應(yīng)控制運(yùn)算量，盡量避免繁瑣的運(yùn)算。二是 以數(shù)學(xué)思想方法為主線(xiàn)，把知識(shí)與方法有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，促進(jìn)能力的形成。三角 函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)的應(yīng)用、三角形中