中考數(shù)學易錯題專題訓練-直角三角形的邊角關系練習題及答案解析

1、中考數(shù)學易錯題專題訓練-直角三角形的邊角關系練習題及答案解析一、直角三角形的邊角關系1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB/CD,ZACB=90；AB=10cm,BC=8cm,OD垂直平分AC.點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點P作PE±AB,交BC于點E,過點Q作QF/AC,分別交AD,OD于點F,G.連接OP,EG.設運動時間為t(s)(0vtv5),解答下列問題：(1)當t為何值時，點E在BAC的平分線上？(2)設四邊形PEGO的面積為S(cm2),求S與

2、t的函數(shù)關系式；PEGO的面積最大？若存在，求出tt,使OHOQ?若存在，求出t(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形的值；若不存在，請說明理由；(4)連接OE,OQ,在運動過程中，是否存在某一時刻SI邊形PEGO取得最大值；(4)t時,53t2815t856,(0t5)；(3)t一時,2OEOQ.【解析】【分析】EP±AB,EC±AC,可得PE=EC由此構建方程(Sopc+宇pceSxoe。構建函數(shù)關系式即可.(1)當點E在/BAC的平分線上時，因為即可解決問題.(2)根據(jù)S四邊形OPE(=S：OEG+SOPE=SOEG+(3)利用二次函數(shù)的性質解決問題即可.E

3、CGQ(4)證明/EOC=ZQOG,可得tan/EOC=ta也QOG,推出Q由此構建方程即OCOG可解決問題.【詳解】(1)在RtABC中，./ACB=90,AB=10cm,BC=8cm,AC=J10282=6(cm),.OD垂直平分線段AC,.OC=OA=3(cm),/DOC=90；1.CD/AB,ZBAC=/DCO,/DOC=ZACB,.DOCBCA,ACABBCOCCDOD6108-，3CDOD，CD=5(cm),OD=4(cm),.PB=t,PHAB,3 5勿知：pE=tBE=-t4 4當點E在/BAC的平分線上時，-.EP±AB,EC±AC,.PE=EC31=8-

4、1t=4.當t為4秒時，點E在/BAC的平分線上.(2)如圖，連接OE,PC.S四邊形opegtSaoeg+Saope=Saoeg+(Saopc+Sapce-Saoec)iti38it1 41415=144t3384t-85t2 525248215=-tt16(0t5).33(3)存在.28568S-t-(0t5),3 23568.,.t=一時，四邊形OPEG的面積取大，取大值為23(4)存在.如圖，連接OQ.OEXOQ, /EOC吆QOC=90,° /QOC+ZQOG=90；/EOC=ZQOG, tanZEOC=tanZQOG,ECGQ一一,OCOG85t_4_33t4t5整理得:

5、解得t5t2-66t+160=0,16,、人、一或10（舍棄）516一一一秒時，OELOQ.5本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題.2.如圖，AB是。的直徑，弦CD）±AB于H,過CD延長線上一點E作。的切線交AB的延長線于切點為G,連接AG交CD于K.（1）求證：KE=GE（2）若KH=KD?GE試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；3（3）在（2）的條件下，若sinE=,AK以盧I,求FG的長.25小【答案】（1）證明見解析；（2）AC/EF,證明見解析；（3）FG=刊【解析

6、】試題分析：（1）如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質及CD,AB,可以推出/KGE=ZAKH=ZGKE,根據(jù)等角對等邊得至UKE=GE（2）AC與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD,由ZKGE=ZGKE及K=KD?GE利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出GKD與EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到ZC=ZAGD,可推知ZE=ZC,從而得到AC/EF；(3)如圖3所示，連接OG,OC,先求出KE=GE再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的長度. /KGE-+ZOGA=90,° .CDXAB, /AKH+ZOAG=

7、90；又OA=OG,/OGA=ZOAG, /KGE4AKH=ZGKE,KE=GE(2)AC/EF,理由為連接GD,如圖2所示.圖2KGGE7<D=7(GkKG2=KD?GE,即KGKD.Ze"kg又/KGE4GKE2 .GKDAEGK；/E=ZAGD,又ZC=ZAGD,/E=ZC,3 .AC/EF;(3)連接OG,OC,如圖3所示,4 /KGE吆OGA=90;5 .CDXAB,6 /AKH+ZOAG=90;又.OA=OG,/OGA=ZOAG,7 /KGE4AKH=ZGK匕KE=GEsinE=sinZACH=,設AH=3t,則AC=5t,CH=4t,KE=GEAC/EF, .CK

8、=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根據(jù)勾股定理得AH2+hK?=AK2,即（3t）2+t2=（2%再）2,解得t=?.設。O半徑為r,在RtOCH中，OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=Od,12525即（r-3t）2+（4t）2=r2,解得r="t="'. EF為切線, .OGF為直角三角形，25CII4在RtOGF中，OG=r=6',tanZOFG=tanZCAH="一OGlanzOJ-G,，F(xiàn)G=256,2543【點睛】此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)

9、定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵.3.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中/BAC=45°,/ACD=30°,點E為CD邊上的中點，連接AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到AD耳D'咬AC于F點.若AB=6/2cm(1) AE的長為cm；(2)試在線段AC上確定一點巳使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；(3)求點D'到BC的距離.【答案】(1)S/3;(2)12cm；(3):，、區(qū)一屋巾.【解析】試題分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的長，進而求出CD的長，利用直角三角形斜邊

10、上的中線等于斜邊的一半進而得出答案： /BAC=45,°/B=90；.AB=BC=6cm,，AC=12cm.AC12CD= /ACD=30；/DAC=90,°AC=12cm, 點E為CD邊上的中點，AE=DC=cm.E,D'關于直線AC對稱，連接DD交AC(2)首先得出AADE為等邊三角形，進而求出點于點P,根據(jù)軸對稱的性質，此時DP+EP值為最小，進而得出答案.(3)連接CD,BD,過點D'作D'吐BC于點G,進而得出ABDCBD(SSS,則/D'BG=45D'G=GM而利用勾股定理求出點D到BC邊的距離.試題解析：解：(1)(2)

11、 .RtADC中，/ACD=30,/ADC=60,.E為CD邊上的中點，DE=AE4ADE為等邊三角形.將4ADE沿AE所在直線翻折得AAD',E.AD'的等邊三角形，/AED'=60°/EAC=ZDAC-/EAD=30/EFA=90,°即AC所在的直線垂直平分線段ED：點E,D關于直線AC對稱.如答圖1,連接DD交AC于點P,此日DP+EP值為最小，且DP+EP=DD.ADE是等邊三角形，AD=AE=V?,DD'=20y-=212'，即DP+EP最小值為12cm.（3）如答圖2,連接CD,BD,過點D'作D'dBC于

12、點G,.AC垂直平分線ED；.AE=AD,'CE=CD,'.AE=EC.AD'=CD七工AB=BC*0,=即，一小一t»娘"=c/rA-t在ABD和CBD中，,AABDACBD（SSS,./D'BG=D'BC=45.D'G=GB設D'G長為xcm,則CG長為'xcm,cm.在RtAGtDC中，由勾股定理得工+（62-幻二O/），解得：恒=3<2-不，工2=3N+#（不合題意舍去）.考點：1.翻折和單動點問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質；4.等邊三角形三角形的判定和性質；5.軸對稱的應用（

13、最短線路問題）；6.全等三角形的判定和性質；7.方程思想的應用.4.如圖，已知，在eO中，弦AB與弦CD相交于點E,且ACBD.(1)求證：ABCD;（2）如圖，若直徑FG經(jīng)過點E,求證：EO平分AED;(3)如圖，在(2)的條件下，點P在CG上，連接FP交AB于點M,連接MG,若ABCD,MG平分PMB,MG2,FMG的面積為2,求eO的半徑的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)eO的半徑的長為J10.【解析】【分析】(1)利用相等的弧所對的弦相等進行證明；(2)連接AO、DO,過點。作OJAB于點J,OQCD于點Q,證明AOJDOQ得出OJOQ,根據(jù)角平分線的判定定理可得結論；(

14、3)如圖，延長GM交eO于點H,連接HF,求出FH2,在HG上取點L,使HLFH,延長FL交eO于點K,連接KG,求出FL2亞，設HMn,則有LKKG-n,FKFLLK22,再證明22_KGHFKFGEMGHMF,從而得到tanKFGtanHMF,，再代入FKHMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的長，最后得到圓的半徑為屈.【詳解】解：(1)證明：AcBd,AcCb?dCb,如Cd,ABcd.(2)證明：如圖，連接AO、DO,過點O作OJAB于點J,OQCD于點Q,1_1_AJODQO90,AJABCDDQ,又.AODO,AOJDOQ,OJOQ,又OJAB,OQCD,EO平分AED.(3)解

15、：CDAB,AED90,，一1由(2)知，AEFAED45,如圖，延長GM交eO于點H,連接HF,FG為直徑，H90,Smfg-MGFH2, MG2,FH2,在HG上取點L,使HLFH,延長FL交eO于點K,連接KG,HFLHLF45,KLGHLF45, FG為直徑，K90, KGL90KLG45KLG,.LKKG,在RtFHL中，F(xiàn)L2FH2HL2，F(xiàn)L2亞，設HMn,HLMG2,GLLMMGHLLMHM在RtLG。，LG222_LKKG,LKKGFKFLLK22GMPPMGHMF,HMFAEFMGFEMGMEFMGFKFGHLF45,KFGEMGtanKFGtanKGHFFKHM>H

16、MF,HMF,2n2_2.2nHGHMMG6,在RtHFG中，F(xiàn)G2FH2HG2,FG2前，F(xiàn)O.10.1AED2即eO的半徑的長為出0.【點睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應用，適當?shù)奶砑虞o助線是解題的關鍵.5.如圖，AB是。的直徑，E是。上一點，C在AB的延長線上，ADLCE交CE的延長線于點D,且AE平分/DAC.(1)求證：CD是。的切線；(2)若AB=6,/ABE=60°,求AD的長.【解析】【分析】(1)利用角平分線的性質得到/OAE=/DAE,再利用半徑相等得/AE*/OAE,等量代換即可推出OE/AD,即可解題，(2)根據(jù)30。的三

17、角函數(shù)值分別在RtAABE中，AE=ABcos30；在RtAADE中，AD=cos301A即可解題.【詳解】證明：如圖，連接OE, .AE平分/DAC,/OAE=/DAE.,.OA=OE,/AEO=/OAE./AEO=/DAE. .OE/AD. .DCXAC, OEXDC./EAB=30；3在RtMBE中，AE=ABcos30=6X-=373，2在RtAADE中,/DAE=/BAE=30°,.AD=cos30X°AE=3X3V3=-.22【點睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示出所求線段是解題關鍵.6.如圖，拋物線y=ax2+b

18、x+c經(jīng)過點A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.V*V圄圉®(1)試求拋物線的解析式;(2)點P是y軸上的一個動點，連接PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過點T(-4,0),Q為直線l上的動點，當以A、B、Q為頂點所作的直角三角形有且僅有三個時，試求直線l的解析式.323.一.【答案】(1)yxx3;(2)5PA+4PC的最小值為18;(3)直線l的解析式84433c為y-x3或yx3.44【解析】【分析】(1)設出交點式，代入C點計算即可(2)連接AC、BC,過點A作AELBC于點E,過點P作PD,BC于點D,易證CDM4COB,得到比例式EC膽，

19、得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,當點A、P、D在同一直線上時，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面積法求出AE=18,即最小值為18(3)取AB中點F,5以F為圓心、FA的長為半徑畫圓，當/BAQ=90°或/ABQ=90°時，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使/BAQ=90°或/ABQ=90°,即/AQB=90時，只有一個滿足條件的點Q,，直線l與。F相切于點Q時，滿足/AQB=90°的點Q只有一個；此時，連接FQ,過點Q作QGi

20、7;x軸于點G,利用cos/QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點為A(-2,0)、B(4,0).y=a(x+2)(x4)把點C(0,3)代入得：-8a=33a=-8拋物線解析式為y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+3884(2)連接ACBC,過點A作AE±BC于點E,過點P作PD)±BC于點D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.CD。COBPCPDBCOB-B(4,0),C(0,3).OB=4,OC=3,BC=，OB2OC2=54 -.PD=PC5PA+4PC=5(PA+

21、4PC)=5(PA+PQ，當點A、P、D在同一直線上時，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BCSaabc=1AB?OC=1BC?AE22ABnOC6318AE=BC55 -5AE=18 5PA+4PC的最小值為18.（3）取AB中點F,以F為圓心、FA的長為半徑畫圓當/BAQ=90°或/ABQ=90°時，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使/BAQ=90或/ABQ=90/AQB=90時，只有一個滿足條件的點Q 當Q在。F上運動時（不與A、B重合），/AQB=90°，直線l與。F相切

22、于點Q時，滿足/AQB=90的點Q只有一個此時，連接FQ,過點Q作QGi±x軸于點G/FQ90.F為A(2,0)、B(4,0)的中點 .F(1,0),FQ=FA=3,.T(-4,0)FQ3 TF=5,cos/QFT=-TF5，/一FG3RtAFGQ中cos/QFT=-FQ5-3八FG=-FQ=5954，QG=JfQ2FG25412右點Q在x軸上方則Q()55設直線l解析式為：y=kx+b1254kb4k012解得:5一.3-，直線l：y4x3412、右點Q在x軸下萬，則Q（一，一）55，3八，直線l：y-x3433綜上所述，直線l的解析式為y3x3或y-x344【點睛】本題是二次函數(shù)

23、與圓的綜合題，同時涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識點，綜合度比較高，需要很強的綜合能力，第三問能夠找到滿足條件的Q點是關鍵，同時不要忘記需要分情況討論7.如圖，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.5方向上，距離5千米處是村莊M,在點A北偏東53.5方向上，距離10千米處是村莊N;要在公路AB旁修建一個土特產(chǎn)收購站P（取點P在AB上），使得M,N兩村莊到P站的距離之和最短，請在圖中作出P的位置（不寫作法）并計算：（1） M,N兩村莊之間的距離；（2） P到M、N距離之和的最小值.（參考數(shù)據(jù)：sin36.5=0.6,cos36.5=0.8,tan36.5=0.75計算結果保留根號.）【答案】（1）

24、M,N兩村莊之間的距離為J29千米;（2）村莊M、N到P站的最短距離和是5J5千米.【解析】【分析】(1)作N關于AB的對稱點N'與AB交于E,連結MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解決問題.(2)由題意可知，M、N至ijAB上點P的距離之和最短長度就是MN的長.解：作N關于AB的對稱點N'與AB交于E,連結MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站的位置.，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5,°=6AE=AN?cos/NAB=10?cos36.5°,=8過M作MCAB于點C,在RtMAC中，AM=5,/MA

25、B=53.5°，AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5,°=3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5°=4過點M作MD，NE于點D,在RtAMND中，MD=AE-AC=5,ND=NE-MC=2,MN=5222=.29,即m,n兩村莊之間的距離為729千米.(2)由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN'的長.DN'=10MD=5,在RtMDN中，由勾股定理，得MN，也2102=575(千米)村莊M、N到P站的最短距離和是5J5千米.【點睛】本題考查解直角三角形，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會

26、添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.8.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點O,AC±BC于點C,將4ABC沿AC翻折得到AEC,連接DE.(1)求證：四邊形ACED是矩形；【答案】(1)證明見解析(2)(2)若AC=4,BC=3,求sin/ABD的值.6、石65(1)根據(jù)？ABCD中，AC±BC,而AB84AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應邊的長度，即可求出ZABD的正弦值.【詳解】(1)證明：WAABC沿AC翻折得到aAEC,BC=CE,AC±CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/BC,AD=BC,

27、.AD=CE,AD/CE, 四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖1所示，過點A作AF±BD于點F,.BE=2BC=2Xk6,DE=AC=4,.二在RtBDE中，ZTT_11BDVBEDEV6422石3:SzXBDE=2xDE?AD-AF?BD，,，AF=4-32d36J1313 ,RABC中，AB=S342=5，RtAABF中，AF6136.13sin/ABF=sin/ABD=ab1365.5方法二、如圖2所示，過點。作OF,AB于點F,1.一同理可得，OB=BDJ13,21 1.Saaob=OFAB-OABC,22 3.OF=5

28、.在RtBOF中,/0Fsin/FBO=OB66,135、1365.sin/ABD=613.65【點睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質，矩形的判定和性質，平行四邊形的性質和解直角三角形求線段的長度，關鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計算公式求出sin/ABD.9 .超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速，如圖，觀測點設在到萬豐路(直線AO)的距離為120米的點P處.這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為5秒且/AP*60°,/BPO=45:(1)求A、B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了萬豐

29、路每小時65千米的限制速度？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：貶1.414,731.73).【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1)AB100(“1)*73.2(米).6分73(2)此車制速度v=18.3米/秒10 .如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點，連接CD,過點C作CEDB,交CD的延長線于點E,垂足為點E,直徑AB與CE的延長線相交于點F.(1)連接AC、AD,求證：DACACF180.(2)若ABD2BDC.求證：CF是eO的切線.一一一3，當BD6,tanF一時，求CF的長.4【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF23【解析】【分析】(1

30、)根據(jù)圓周角定理證得/ADB=90,即AD±BD,由CE!DB證彳導AD/CF,根據(jù)平行線的性質即可證得結論；(2)連接OC.先根據(jù)等邊對等角及三角形外角的性質得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/DB,再由CE!DB,得到OCCF,根據(jù)切線的判定即可證明CF為。O的切線；由CF/AD,證出ZBAD=ZF,得出tanZBAD=tanZF=-BD=-,求出AD=-BD=8,利AD43一OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=5,再由tanF=二一,即可求出CF.CF4解：（1）AB是eO的直徑，且D為eO上一點,ADB90,QCEDB,DEC90,CF/

31、AD,DACACF180.（2）如圖，連接OC.QOAOC,12.Q312,3 21.Q42BDC,BDC1,4 21,43,OC/DB.QCEDB,OCCF.又QOC為eO的半徑，CF為eO的切線.D由（1）知CF/AD,BADF,3tanBADtanF-,4BD3.AD4QBD64AD-BD8,3AB76"8F10，OBOC5.QOCCF,OCF90,OC3tanFCF4'220解得CF-0.3【點睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要運用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結果.11.如圖，半圓

32、O的直徑AB=20,弦CD）/AB,動點M在半徑OD上，射線BM與弦CD相交于點E（點E與點CD不重合），設OM=m.（1）求DE的長（用含m的代數(shù)式表示）；4（2）V弦CD所對的圓心角為a,且sin=.25若ADEM的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式，并求出m的取值范圍;(1)DE=10010mm(2)2o3m60m300S=，50“vm<10),13若動點N在CD上，且CN=OM,射線BM與射線ON相交于點F,當/OMF=90°時,求DE的長.5DE=-.2【解析】【分析】(1)由CD/AB知DEMsOBM,可得DEOBDM,據(jù)此可得;OM_._1.(2)連接OC、彳OPXCD.MQ±CD,由OC=OD、OP±CD知/DOP=/COD,據(jù)此2.43可得sin/DOP