中考數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)有關(guān)的壓軸題附詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)有關(guān)的壓軸題附詳細(xì)答案一、旋轉(zhuǎn)1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C:y=ax2+bx+c與x軸相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D(0,4),AB=4及，設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線(xiàn)C'.(1)求拋物線(xiàn)C的函數(shù)表達(dá)式；(2)若拋物線(xiàn)C與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍.(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P',設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)

2、說(shuō)明理由.【答案】(1)y【解析】1x24；2(2)2<m<2衣；(3)m=6或m=7T7-3.22mx2m82一2一(42m802m02m280試題分析：(1)由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C(0,4),A(2J2,0),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為21yax4,把A(252，。)代入可得a=-,由此即可解決問(wèn)題；(2)由題意拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,-4),設(shè)拋物線(xiàn)C'的解析式為12/yx424,由2，消去y得到x2124y-xm42意，拋物線(xiàn)C與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有解不等式組即可解決問(wèn)題；(3)情形1,四邊形PMP'N能成為正方形.作P已x軸于E,MHx軸

3、于H.由題意易知P(2,2),當(dāng)4PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形，推出PF=FM,/PFM=90；易證PFEFMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,可得M(m+2,m-2),理由待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；情形2,如圖，四邊形PMP'N是正方形，同法可得M(m-2,2-m),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.試題解析:1)由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C(0,4),A(2J2,0)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為yax24,把A(2/2，。)代入可得a=12/yx4.2(2)由題意拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,-1一,拋物線(xiàn)C的函數(shù)表達(dá)式為24),設(shè)拋物線(xiàn)C'的解析式為1x22

4、2(x4,消去y得到x22mx2m284拋物線(xiàn)C與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有(242m2802m0,解得2m2802vm2j2，滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為2Vmv2五(3)結(jié)論：四邊形PMP'N能成為正方形.理由：1情形1,如圖，作P已x軸于E,MHx軸于H.由題意易知P(2,2),當(dāng)4PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形,.PF=FM,/PFM=90；易證APF*FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,.M(m+2,-1212m-2),.點(diǎn)M在y-x4上，m2-m24,解得m=V173或22-57-3(舍棄)，m=J17-3時(shí)，四邊形PM

5、P'N是正方形.情形2,如圖，四邊形PMPN是正方形，同法可得M(m-2,2-m),把M(m-2,21 21一2-m)代入yx4中，2m-m24,解得m=6或0(舍棄)，m=62 2時(shí)，四邊形PMP'N是正方形.綜上所述：m=6或m=/17-3時(shí)，四邊形PMPN是正方形.2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,4）,B（4,4）,點(diǎn)M,N是射線(xiàn)OC上兩動(dòng)點(diǎn)（OMvON）,且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持/MAN=45。，小明用幾何畫(huà)板探究其中的線(xiàn)段關(guān)系.（1）探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M,N均在線(xiàn)段OB上時(shí)（如圖1）,有OM2+BN2=MN2.他的證明思路如下：第一步：將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90&#

6、176;得AAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.第二步：證明APMANM,得MP=MM.第一步：證明/POM=90°,得OM2+OP2=MP2.最后得到OM2+BN2=MN2.請(qǐng)你完成第二步三角形全等的證明.（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM2+BN2=MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）新題編制：若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分）.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO

7、,連結(jié)PM,則有BN=OP.證明APMAANM,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M,N在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)結(jié)論仍然成立.證明方法類(lèi)似（1）;（3）如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).利用（2）中結(jié)論，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.3 /NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,4 .MA=MA,AN=AP,.MANAMAP(SAS).(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.P理由：如圖2中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得aAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.5 /

8、NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,6 .MA=MA,AN=AP,7 .MANAMAP(SAS),.MN=PM,8 /ABN=ZAOP=135；/AOB=45；/MOP=90°,.PM2=OM2+OP2,.-.om2+bn2=mn2；(3)如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).設(shè)MN=2x,貝UBM=BN=x,-，OA=AB=4,/OAB=90；.OB=4應(yīng)，OM=4拒-x,.OM2+BN2=MN2.(422-x)2+x2=(2x)2,解得x=-2J2+2J6或-242-2J6(舍棄)MN=-42+46Q.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜

9、合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.3.如圖1,在RtABC中，/ACB=90°,AC=BC.點(diǎn)D、E分別在A(yíng)CBC邊上，DC=EC連接DE、AE、BD.點(diǎn)M、N、P分別是AE、BD>AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN.圖1S2曾用圉(1)PM與BE的數(shù)量關(guān)系是,BE與MN的數(shù)量關(guān)系是.(2)將ADEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若CB=6.CE=2,在

10、將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周白過(guò)程中，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，求MN的長(zhǎng)度.【答案】(1)PM-BE,BEJ2MN;(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)MN=Ji7-21或而"+1【解析】【分析】(1)如圖1中，只要證明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立，連接AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H.由VECBVDCA,推出BEAD,DACEBC,即可推出BHAD,由M、N、p分別AE、1 1BD、AB的中點(diǎn)，推出PM/BE,PM-BE,PN/AD,PN-AD,推出2 22-PMPN,MPN90,可得BE2PM2MNV2MN;2

11、(3)有兩種情形分別求解即可【詳解】(1)如圖1中，.BN=DN,AP=PB,1 .PN/AD,PNAD,2,.AC=BC,CD=CE.AD=BE,.PM=PN, /ACB=90°,.-.AC±BC, .PM/BC,PN/AC, PMXPN,PMN的等腰直角三角形，MN72PM，MNJ21BE,2BEV2MN，1故答案為PM-BE,BEJ2MN2(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.CB圖2理由：連接AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H. ABC和CDE是等腰直角三角形，.CD=CE,CA=CB,/ACB=/DC三90°, /ACB-/ACE=/DCE-/ACE/ACD=/ECB.

12、,.ECBADCAs.BE=AD,/DAC=/EBC ZAHB=180-(/HAB+/ABH)=180°-(45+ZHAC+ZABH)=/180°-(45°+/HBG/ABH)=180°-90°=90°, BHXAD, M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，11 .PM/BE,PMBE,PN/AD,PNAD,22.PM=PN,/MPN=90；,2 BE2PM2MN，2MN.2(3)如圖3中，作CGLBD于G,則CGGEDGJ2,當(dāng)D、E、B共線(xiàn)時(shí)，在RtABCG中，bGJBC2CG2，62J22癡,BEBGGE.34.2,MN-BE

13、后1.2如圖4中，作CG±BD于G,則CGGEDGJ2，A4當(dāng)D、EB共線(xiàn)時(shí)，在RtABCG中，bg，BC2CG2后>.BC-CE-IL曼珊-MCE(1)請(qǐng)參考小明的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CD,CF,AC之間的數(shù)量關(guān)系：(理解運(yùn)用)商，BEBGGE扃近, MNBE1771.2綜上所述，MN=歷-1或JT7+1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.4.(探索發(fā)現(xiàn))如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將ACD

14、繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AEF,連接CE.小明在探索這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是菱形.小明是這樣想的：等邊三常時(shí)RFCI>心7。=K將aSD繞點(diǎn)T逆時(shí)鼾應(yīng)鑄的:得«=>到如圖，在A(yíng)BC中，ADBC于點(diǎn)DMABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AEF,延長(zhǎng)FE與BC,交于點(diǎn)G.(3)判斷四邊形ADGF的形狀，并說(shuō)明理由；(拓展遷移)(4)在(3)的前提下，如圖，將AFE沿AE折疊得到AME，連接MB,若AD6,BD2,求MB的長(zhǎng).BDCS口CBDCG圖1圖2圖3【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)CDCFAC;(3)四邊形ADGF是正方形；(4)213【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：

15、4ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE則四邊形ABCE是菱形；(2)先證明C、F、E在同一直線(xiàn)上，再證明BADCAF(SAS,則/ADB=/AFC,BD=CF可得AC=CF+CD(3)先根據(jù)/ADC=/DAF=ZF=90。，證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；(4)證明BAM0EAD(SAS,卞據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論.【詳解】(1)證明：ABC是等邊三角形，ABBCAC.ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AEF,CAE60,ACAE.ACE是等邊三角形.ACAECE.ABBCCEAE.四邊形ABCE是菱形.(2)線(xiàn)段DC,CF,AC之間的數(shù)量關(guān)系：

16、CDCFAC.(3)四邊形ADGF是正方形.理由如下： RtABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AEF, AFAD,DAF90.ADBC,ADCDAFF90.四邊形ADGF是矩形. AFAD,四邊形ADGF是正方形.（4）如圖，連接DE.四邊形ADGF是正方形,DGFGADAF6.ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AEF,BADEAF,BDEF2,EGFGEF624.;將AFE沿AE折疊得到AME,MAEFAE,AFAM. BADEAM. BADDAMEAMDAM,即BAMDAE. AFAD,AMAD.AMAD在BAM和EAD中，BAMDAE,ABAE .BAMEADSAS.1BMDE.EG2DG2.4

17、2622,13.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.5.在等邊4AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2,OC=OD=1,固定等邊4AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段ACBD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.（0<360。（1）當(dāng)OC/AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角“=度；發(fā)現(xiàn)：（2）線(xiàn)段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖2給出證明.應(yīng)用：（3）當(dāng)A、CD三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求B

18、D的長(zhǎng).拓展：（4）P是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段PC的最大值與最小值.【答案】(1)60或240;(2)AC=BD理由見(jiàn)解析；(3)A+1或/1；(4)PC的22最大值=3,PC的最小值=J3-1.【解析】分析：(1)如圖1中，易知當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AD和線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OC/AB,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=60或240°.(2)結(jié)論：AC=BD,只要證明AO84BOD即可.(3)在圖3、圖4中，分別求解即可.(4)如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OHLAB于H,直線(xiàn)OH交。于C'、C，線(xiàn)段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線(xiàn)段

19、CH的長(zhǎng)即為PC的最小值.易知PC的最大值二3,PC的最小值=73-1.詳解：(1)如圖1中，,4ABC是等邊三角形，ZAOB=ZCOD=60°,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AD和線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OC/AB,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=60<240°.故答案為60或240;(2)結(jié)論：AC=BD,理由如下：如圖2中，ZCOD=ZAOB=60°,./COA=/DOB.在A(yíng)AOC和ABOD中，OAOBCOADOB,.AOCBOD,.1.AC=BD;COOD(3)如圖3中，當(dāng)A、CD共線(xiàn)時(shí)，作OHAC于H.在RtACOH中，-.OC=1,ZCOH=30°,，CH=HD=；,OH

20、=3.在RtAOH中,AH=J0A20H2=姮，BD=AC=CH+AH=1A22131易知AC=BD=AH-CH=-2綜上所述：當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BD的長(zhǎng)為而1或而1;22(4)如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以。為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作OHXABTH,直線(xiàn)0H交。于C'、C，線(xiàn)段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線(xiàn)段CH的長(zhǎng)即為PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=J3-1.點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形

21、解決問(wèn)題，利用輔助圓解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.6.兩塊等腰直角三角板ABC和DEC如圖擺放，其中/ACB=/DCE=90°,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在A(yíng)C、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，通過(guò)觀(guān)察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線(xiàn)上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明.【答案】（1）相等，垂直.D（2）成立，

22、證明見(jiàn)解析；（3）成立，結(jié)論是FH=FG,FHXFG.1FG=BE,2【解析】試題分析：（1）證AD=BE根據(jù)三角形的中位線(xiàn)推出FH=1AD,FH/AD,2FG/BE,即可推出答案；（2）證AC*BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可推出答案；（3）連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可推出答案.試題解析：(1)解：CE=CDAC=BC/ECA=/DCB=90,BE=AD,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn),.FH=1AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22.FH=FG.ADXBE,FHXFG,故答案為相等，垂直.(2)答：成立，證明

23、：CE=CD/ECD=ZACD=90,AC=BC.ACDABCE.AD=BE,由(1)知：FH=1AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22.FH=FGFHI±FG,，（1）中的猜想還成立.E(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG,FHLFG.連接AD,BE,兩線(xiàn)交于Z,AD交BC于X,同(1)可證1 .FH=-AD,FH/AD,FG=-BE,FG/BE,222 三角形ECDACB是等腰直角三角形，3 .CE=CDAC=BC/ECD叱ACB=90；/ACD=ZBCE在A(yíng)CD和ABCE中AC=BCACD=BCE,CE=CD4 .ACDABCE.AD=BE,/EBC4DAC,5 /DAC

24、+-ZCXA=90,°/CXA=ZDXB,6 /DXB+-ZEBC=90,°/EZA=180°90=90；即AD±BE,1. FH/AD,FG/BE,FHXFG,即FH=FGFHI±FG,結(jié)論是FH=FGFHXFG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線(xiàn)定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.7.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AF,連接EF,交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)G,連接AG.(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖

25、形；(2)判定AG與EF的位置關(guān)系并證明；(3)當(dāng)AB=3,BE=2時(shí)，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)"5.2【解析】【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；(2)先判斷出ADFABE,進(jìn)而判斷出點(diǎn)C,D,F共線(xiàn)，即可判斷出DF8HEG,得出FG=EG即可得出結(jié)論；(3)先求出正方形的對(duì)角線(xiàn)BD,再求出BH,進(jìn)而求出DH,即可得出HG,求和即可得出結(jié)論.【詳解】(2)連接DF,由旋轉(zhuǎn)知，AE=AF,/EAF=90, 四邊形ABCD是正方形，AB/CD,AD=AB,/ABC=ZADC=BAD=90,/DAF=ZBAE, .ADFAABE(SAS, .DF=BE/

26、ADF=/ABC=90,° /ADF+/ADC=180,° 點(diǎn)C,D,F共線(xiàn)， .CF/AB,過(guò)點(diǎn)E作EH/BC交BD于H,/BEH=ZBCD=90,°DF/EH,/DFG=ZHEG,BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，/CBD=45；.BE=EH/DGF=ZHGE,.DFGAHEG(AAS),，F(xiàn)G=EG.AE=AF,AGXEF;（3）BD是正方形的對(duì)角線(xiàn)， .BD=72AB=3應(yīng),由（2）知，在RtBEH中，BH=V2bE=2衣, .DG=BD-BH=2由（2）知，ADFGAHEG,.DG=HG, .HG=1DH=.BG=BH+HG=2.,2+2_52+22【點(diǎn)睛】

27、此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵.8.如圖(1)所示，將一個(gè)腰長(zhǎng)為2等腰直角BCD和直角邊長(zhǎng)為2、寬為1的直角4CED拼在一起.現(xiàn)將CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CED'旋轉(zhuǎn)角為a.(1)如圖(2),旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，點(diǎn)D'到CD邊的距離DA=.求證：四邊形ACED'為矩形；(2)如圖(1),4CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，在BC上如何取點(diǎn)G,使得GD=E'p并說(shuō)明理由.(3)4CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，/CE=90°時(shí)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角a的值.【答案

28、】1【解析】分析：(1)過(guò)D作DNLCD于N.由30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可得結(jié)論.由D'A/CE且D'A=CE=1,得到四邊形ACED為平行四邊形.根據(jù)有一個(gè)角為90。的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；(2)取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G,連接GD'.易證DCE'D'CG,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論.(3)分兩種情況討論即可.詳解：(1)D'A=1.理由如下:過(guò)D作DNLCD于N.,一-1一nNNCD=30CDCD=2,.ND=CD=12由已知，D'A/CE,且D'A=CE=1,四邊形ACED為平行四邊形.又/DC

29、E=90°,四邊形ACED為矩形；(2)如圖，取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G,連接GD'./DCE=/D'CE'=90°/DCE£D'CG.又.D'C=DC,CG=CE',.DC三D'CG,.GD'E'D.(3)分兩種情況討論：如圖1./CED=90；CD=2,CE'=1.-./CDE=30:/ECD=60:./ECB=30；.旋轉(zhuǎn)角=/ECE=180°+30°=210°如圖2,同理可得/E'CE=30°,旋轉(zhuǎn)角=360°30=330

30、76;.點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.9.已知：在A(yíng)BC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問(wèn)題：(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線(xiàn)AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且/ACB=60,則CDj；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線(xiàn)AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且/ACB=90,則CD=;(3)如圖3,當(dāng)/ACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線(xiàn)AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的/ACB的度數(shù).【答案】(1)3尸；(2)馥6-3：2；(3)當(dāng)/ACB=120時(shí)，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1

31、) a=b=3,且/ACB=60,AABC是等邊三角形，且CD是等邊三角形的高線(xiàn)的2倍，據(jù)此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90,AABC是等腰直角三角形，且CD是邊長(zhǎng)是6的等邊三角形的高長(zhǎng)與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；(3)以點(diǎn)D為中心，將4DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接AE,CE,當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線(xiàn)上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b【詳解】(1),.a=b=3,且/ACB=60,.ABC是等邊三角形，2.OC=L3.CD=3;3k抵-3旦；(3)以點(diǎn)D為中心，將4DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E,連接AE,C

32、E,El.CD=ED,/CDE=60,°AE=CB=a.CDE為等邊三角形，.CE=CD當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線(xiàn)上時(shí)，有CD=CE<AE+AC=a+b當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線(xiàn)上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b只有當(dāng)/ACB=120時(shí)，/CAE=180,即A、C、E在一條直線(xiàn)上，此時(shí)AE最大./ACB=120,°B因此當(dāng)/ACB=120時(shí)，CD有最大值是a+b.DCD有最大值的條件,本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確理解是解題的關(guān)鍵.10.我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的等

33、底”。(1)概念理解：如圖1,在A(yíng)BC中，AC6,BC3.ACB30,試判斷ABC是否是等高底”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)問(wèn)題探究：如圖2,ABC是等高底”三角形，BC是等底”，作ABC關(guān)于BC所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形得AC到ABC,連結(jié)AA交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是43ai,z212i的重心，求一匕的值.BC(3)應(yīng)用拓展：如圖3,已知I1/I2J1與12之間的距離為2.等高底”ABC的等底”BC在直線(xiàn)11上點(diǎn)A在直線(xiàn)12上,有一邊的長(zhǎng)是BC的屈倍.將ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到ABC,AC所在直線(xiàn)交12于點(diǎn)D.求CD的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）JACBC呼（3）CD的值為|J1

34、0,2J2,2【解析】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作ADL直線(xiàn)CB于點(diǎn)D,可以得到AD=BC=3,即可得到結(jié)論;（2）根據(jù)MBC是等高底”三角形，BC是等底”，得到AD=BC,再由MBC與MBC關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，得至ij/ADC=90°,由重心的性質(zhì)，得至ijBC=2BD.設(shè)BD=x,貝UAD=BC=2x,CD=3x,由勾股定理得AC=Ji3x,即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：當(dāng)AB=J2BC時(shí)，再分兩種情況討論;當(dāng)AC=J2BC時(shí)，再分兩種情況討論即可.詳解：（1）是.理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)A作ADL直線(xiàn)CB于點(diǎn)D,MDC為直角三角形，ZADC=90:ZACB=30°,AC

35、=6,AD=-AC=3,AD=BC=3,即MBC是等高底”三角形.（2）如圖2,公BC是等高底”三角形，BC是等底"，AD=BC,ABC與MBC關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，/ADO90:點(diǎn)B是MAC的重心，BO2BD.設(shè)BD=x,貝UAD=BC=2x,.CD=3x,，由勾股定理得AC=，3x,AC13x13BC2x(3)當(dāng)AB=&BC時(shí)，I.如圖3,作AE，h于點(diǎn)E,DF，AC于點(diǎn)F.等高底”ABC的等底”為BC,li12,11與12之間的距離為2,ab=J2bc,.BC=AE=2,AB=272， .BE=2,即EC=4,AC=2M.1112,ZACE=ZDAF,DFAEAFCE一,即

36、AF=2x.2ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到M'B'C,/CDF=45：設(shè)DF=CF=x.22 .AC=3x=2/5可得x=-J5,.CD=2x=-j7T0.33n.如圖4,此時(shí)MBC是等腰直角三角形，ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到M'B'C,ACD是等腰直角三角形，CD=V2AC=2V2-當(dāng)AC=&BC時(shí)，I.如圖5,此時(shí)4ABC是等腰直角三角形.ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到M'B'C,A'CL1i,.,.CD=AB=BC=2.如圖6,作AE，1i于點(diǎn)E,則AE=BC,1AC=V2bC=V2AE,/ACE=4

37、5°,.MBC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到M'B'C時(shí),點(diǎn)A'在直線(xiàn)li上,.AC/12,即直線(xiàn)A'C與12無(wú)交點(diǎn).用6綜上所述：CD的值為2田0,2J2,2.3點(diǎn)睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題.考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)新概念等高底”三角形的理解.11.(1)發(fā)現(xiàn)如圖，點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BCa,ABb.填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為(用含a,b的式子表示)(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC3,AB1.如圖所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE

38、,連接CD,BE.找出圖中與BE相等的線(xiàn)段，并說(shuō)明理由；如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)b的坐標(biāo)為5,0，點(diǎn)p為線(xiàn)段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA2,PMPB,BPM90,求線(xiàn)段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo).【答案】(1)CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，a+b;(2)DC=BE,理由見(jiàn)解析；BE的最大值是4;(3)AM的最大值是3+2J2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-J2，J2)【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,推出CADEAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE由于線(xiàn)段BE長(zhǎng)的

39、最大值二線(xiàn)段CD的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；(3)連接BM,將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至iJPBN,連接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段BN取得最大值，即可得到最大值為2J2+3；如圖2,過(guò)P作PE±x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1);點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b,，當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b故答案為CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，a+b;(2)CD=BE,理由：4ABD與4A

40、CE是等邊三角形，.AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,°ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即/CAD=ZEAB,在A(yíng)CAD與EAB中，AD=ABCAD=EAB,AC=AEACADIAEAB,.CD=BE二線(xiàn)段BE長(zhǎng)的最大值二線(xiàn)段CD的最大值，由(1)知，當(dāng)線(xiàn)段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，.最大值為BD+BC=AB+BC=4(3)二.將APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至iJPBN,連接AN,則APN是等腰直角三角形，N卻，PN=PA=2,BN=AM,.A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),.OA=2,OB=5,.AB=3, 線(xiàn)段AM

41、長(zhǎng)的最大值二線(xiàn)段BN長(zhǎng)的最大值， 當(dāng)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段BN取得最大值,最大值=AB+AN,.AN=72AP=272，最大值為22+3;如圖2,過(guò)P作P已x軸于E,0AB也圖2 APN是等腰直角三角形，PE=AE=&, .OE=BO-AB-AE=5-3-、,2=2-,2， .P(2-.2,、2).【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.12.正方形ABCD和正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為2和2/5，點(diǎn)B在邊AG上，點(diǎn)D在線(xiàn)段EA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BE.(1)如圖1,求證：DG,BE;(2)如圖2,

42、將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線(xiàn)段DG上時(shí)，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng).圖1圖2【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)J2J6.【解析】【分析】(1)由題意可證ADG24ABE,可得/AGD=/AEB,由/ADG+/AGD=90°,可得/ADG+ZAEB=90;即DG±BE；(2)過(guò)點(diǎn)A作AMLBD,垂足為M,根據(jù)勾股定理可求MG的長(zhǎng)度，即可求DG的長(zhǎng)度,由題意可證DA84BAE,可得BE=DG.【詳解】(1)如圖，延長(zhǎng)EB交GD于H圉1 四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形 -ad=ab,ag=ae,/dag=/bae=90 .ADGAABE(SAS/AGD=/A

43、EB /ADG+ZAGD=90° /ADG+ZAEB=90° DGXBE(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AMBD,垂足為MGF郡 ,正方形ABCD和正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為2和2J2, .AM=DM=72，/DAB=/GAE=90°mg=Jag2ma2=廄，/dag=/bae .DG=DM+MG=72+76,由旋轉(zhuǎn)可得：AD=AB,AG=AE,且/DAG=/BAEDA8BAE(SAS，BE=DG=2.6【點(diǎn)睛】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.13.已知ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊AB在射線(xiàn)OM上，且

44、OA=6,點(diǎn)D是射線(xiàn)OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60彳導(dǎo)到4BCE連接de.(1)如圖1,求證：4CDE是等邊三角形.(2)設(shè)OD=t, 當(dāng)6vt10時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出4BDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 求t為何值時(shí)，DEB是直角三角形(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).【答案】見(jiàn)解析；(2)他解析；t=2或14.【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DCE=60,DC=EC即可得到結(jié)論；(2)當(dāng)6<t<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得

45、至UDE=CD由垂線(xiàn)段最短得至U當(dāng)CD)±AB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論；存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形；當(dāng)0W6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得至IJ/ABE=60,/BDEv60°,求得/BED=90,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/DEB=60,求得/CEB=30,求得OD=OA-DA=6-4=2=t；當(dāng)6vtv10時(shí)，此時(shí)不存在；當(dāng)t>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DBE=60,求得/BDE>60°,于是得到t=14.【詳解】(1)二將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到4BCE/DCE=60；DC=EC, .CDE是等邊三角

46、形；(2)存在，當(dāng)6<t<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，be=ad, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知，acde是等邊三角形，.DE=CD, 1Cadbe=CD+4,由垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)CD）±AB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD=2向 .BDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2J3+4;存在，二.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；當(dāng)0W6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，/ABE=60°,/BDEv60°,/BED=90；由（1）可知，4CDE是等邊三角形，/DEB=60；/CEB=30；/CEB=/CDA,/CDA=30；/CAB=60；/ACD=/ADC=30°,.damcam4,.OD=OA-DA=6-4=2,，t=2;當(dāng)6vtv10時(shí)，由/DBE=120°>90°,，此時(shí)不存在；當(dāng)t>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZDBE=60°,又由（1）知ZCDE=60°,/BDE=/CDE+ZBDC=60+/BDC,而/BDC>0°,/BDE>60；只能/BDE=90;從而/BCD=3