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文檔簡介
1、中考數(shù)學圓的綜合的綜合專項訓練及詳細答案一、圓的綜合1.如圖,。是4ABC的外接圓,點E為4ABC內(nèi)切圓的圓心,連接AE的延長線交BC于點F,交。O于點D;連接BD,過點D作直線DM,使/BDM=/DAC.(1)求證:直線DM是。O的切線;【答案】(1)證明見解析(2)2J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,進而彳#到ODLDM,據(jù)此可得直線DM是。的切線;(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理,得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到DB2=DF?DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖
2、所示,連接OD.點E是4ABC的內(nèi)心,ZBAD=ZCAD,BdCd,OD±BC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD為。O半徑,.直線DM是。的切線.(2)連接BE.E為內(nèi)心,/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB(公共角),.DBFsDAB,.正里即DB2=DF?DADBDA'.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6,.DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.【
3、點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心,圓周角定理以及垂徑定理的綜合應用,解題時注意:平分弦所對一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條?。蝗切蔚膬?nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.2.如圖,點A、B、C分別是。上的點,CD是。的直徑,P是CD延長線上的一點,AP=AC(1)若/B=60°,求證:AP是。的切線;(2)若點B是弧CD的中點,AB交CD于點E,CD=4,求BEAB的值.【答案】(1)證明見解析;(2)8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù),求出/P、/ACQ/OAC度數(shù),求出/OAP=90,根據(jù)切線判定推出即可;(2)求出BD
4、長,求出4DBE和4ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.CD是直徑,/DAC=90;/ACO=180-90-6030; .AP=AC,OA=OC/OAC=ZACD=30;/P=ZACD=30,°/OAP=180-30-30-3090;即OALAP, .OA為半徑, .AP是。切線.(2)連接AD,BD,.CD是直徑,/DBC=90;.CD=4,B為弧CD中點,一人"BD=BC=e,/BDC=ZBCD=45,°/DAB=ZDCB=45;即/BDE=/DAB,/DBE=ZDBA,.,.DBEAABD,BDAB.至工前.,.BE?AB=BD?BD=V2X2G=8考
5、點:1.切線的判定;2.相似三角形的判定與性質(zhì).3.如圖1,直角梯形OABC中,BC/OA,OA=6,BC=2,/BAO=45°.(2)D是OA上一點,以BD為直徑作OM,OM交AB于點Q.當OM與y軸相切時,sin/BOQ=;(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度,從點O沿線段OA向點A運動;同時動點D以相同的速度,從點B沿折線B-C-。向點O運動.當點P到達點A時,兩點同時停止運動.過點P作直線PE/OC,與折線O-B-A交于點E.設(shè)點P運動的時間為t(秒).求當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標.【答案】(1)4;(2);(3)點E的坐標為(1,2)、(,
6、)>(4,2).533分析:(1)過點B作BHOA于H,如圖1(1),易證四邊形OCBH是矩形,從而有OC=BH,只需在4AHB中運用三角函數(shù)求出BH即可.(2)過點B作BHLOA于H,過點G作GF,OA于F,過點B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2),則有OH=2,BH=4,MNLOC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.在BHD中運用勾股定理可求出r=2,從而得到點D與點H重合.易證AFGAADB,從而可求出AF、GF、OF、OSOB、AB>BG.設(shè)OR=x,利用BR2=OB2-OR2=BG2-RG2可求出x,進而可求出BR在RORB中運用三角函數(shù)就可解
7、決問題.(3)由于4BDE的直角不確定,故需分情況討論,可分三種情況(ZBDE=90°,ZBED=90°,ZDBE=90°)討論,然后運用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立關(guān)于t的方程就可解決問題.詳解:(1)過點B作BHLOA于H,如圖1(1),則有/BHA=90°=/COA,OC/BH. BC/OA,.四邊形OCBH是矩形,.OOBH,BC=OH. OA=6,BC=2,AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4. ZBHA=90°,ZBAO=45°,tan/BAH=BH-=1,BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案為4.(2)
8、過點B作BHOA于H,過點G作GF±OA于F,過點B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2).由(1)得:OH=2,BH=4.OC與。M相切于N,MN±OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.BC±OC,OA±OC,BC/MN/OA.一一一一1, BM=DM,CN=ON,,MN=(BGOD),.OD=2r-2,2.DH=ODOH在RtABHD中,=2r4.解得:r=2,DH=0,BD是。M的直徑,GF±OA,BDXOA,AFGFAG1AD-BD"AB"2ZBHD=90°,BD2=BH2+DH2
9、,(2r)2=42+(2r-4)2.即點D與點H重合,BDX0A,BD=AD./BGD=90°,即DGXAB,BG=AG.GF/BD,AAFGAADB,AF=1AD=2,GF=1BD=2,,OF=4,22-og=Jof2_gf2=V42?=2而.一一1一同理可得:OB=2而,AB=472,-BG=-AB=272-2設(shè)OR=x,則RG=2J5x.BR±OG,ZBRO=ZBRG=90°,BR2=OB2-OR2=BG2-RG2,(2而)2-x2=(272)2-(2石x)2.解得:x=M,,BF2=OB2-OR2=(2Q)2-(逃)2=36,,BR=_6/5.5555在R
10、tAORB中,BRsin/BOR=2;5OB3故答案為一.5(3)當/BDE=90°時,點D在直線PE上,如圖2.此時DP=OC=4,BD+OP=BD+CD=BC=2,BD=t,0PM.則有2t=2.解得:t=1.則OP=CD=DB=1.DE/OC,ABDEABCO,/.DE=-BD=1,.DE=2,.EP=2,OCBC2點E的坐標為(1,2).當/BED=90°時,如圖3./DBE=OBC,ZDEB=ZBCO=90°,DBEAOBC,BEDBBEt、5=,=-產(chǎn),-BE=1.BCOB22.55PE/OC,ZOEP=ZBOC.ZOPE=ZBCO=90°,
11、AOPEABCO,OEOPOEt八=,=,,OE=v5t.OBBC2.52OE+BE=OB=2、5,5解得:t=5,.OP=5,t+爭=2芯.OE=竽,喑丘2op2=£,,_一510、.點E的坐標為(一,)4.33當/DBE=90°時,如圖此時PE=PA=6t,OD=OC+BC-t=6-t.貝U有OD=PE,EA=7pE1_PA2-=V2(6t)=6我一72>,.BE=BA-EA=472-(65/2-72t)=t-272-PE/OD,OD=PE,ZDOP=90°,,四邊形ODEP是矩形,.DE=OP=t,DE/OP,/BED=ZBAO=45:,BE2在RtA
12、DBE中,cosZBED=-=-,-DE=J2BE,t=歷質(zhì)t-2折)=2t-4.解得:t=4,.0P=4,PE=6-4=2,,點E的坐標為(4,2).綜上所述:當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標為(1,2)、(4,2)點睛:本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定®1(2)義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,還考查了分類討論的數(shù)學思想,有一定的綜合性.4.如圖,在銳角4ABC中,AC是最短邊.以AC為直徑的。O,交BC于D,過O作OE/BC,交OD于E,連接ADAE、CE(1)求證:/ACE玄DCE;(2)若/B
13、=45,/BAE=15,求/EAO的度數(shù);【答案】(1)證明見解析,【解析】2)60。;(3)433【分析】(1)易證/OEG/OCE/OEG/ECD從而可知ZOCE=ZECD,即/ACE=/DCE;(2)延長AE交BC于點G,易證ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/BC,所以/AEO=/AGC=60;所以/EAO=/AEO=60-SVCOE1,一SVCDF2.、,SVCDF1(3)易證VC°-由于資D工所以三空=,由圓周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE3/AEO/FDO90;從而可證明CDQ4CEA利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】(1) OC
14、=OE,ZOEC=ZOCE1.OE/BC,./OEG/ECD/OCE=/ECD即/ACE=/DCE(2)延長AE交BC于點G./AGC是ABG的外角,ZAGC=ZB+ZBAG=60:1. OE/BC,/AEO=ZAGC=60:.OA=OE,/EAO=ZAEO=60:(3):。是AC中點,SVC沮SVCAE2SVCDFQSVCOESVCDF1=SVCAE3.AC是直徑,/AEO/FDO90:/ACE=/FCD,ACDFACEA,碧=3'-CF=CA=43【點睛】本題考查了圓的綜合問題,涉及平行線的性質(zhì),三角形的外角的性質(zhì),三角形中線的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,需要學
15、生靈活運用所學知識.5.已知AB,CD都是eO的直徑,連接DB,過點C的切線交DB的延長線于點E.1如圖1,求證:AOD2E1800;2如圖2,過點A作AFEC交EC的延長線于點F,過點D作DGAB,垂足為點G,求證:DGCF;DG3八3如圖3,在2的條件下,當一時,在eO外取一點H,連接CH、DH分別交CE4eO于點M、N,且HDEHCE,點P在HD的延長線上,連接PO并延長交CM于點Q,若PD11,DN14,MQOB,求線段HM的長.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)8J37【解析】【分析】(1)由/D+/E=90°,可得2/D+2/E=180°,只要證明/
16、AOD=2/D即可;(2)如圖2中,作OR,AF于R.只要證明4AO宅ODG即可;(3)如圖3中,連接BGOM、ON、CN,彳BTLCL于T,作NK±CH于K,設(shè)CH交DE于W.解直角三角形分別求出KM,KH即可;【詳解】1證明:如圖1中,QeO與CE相切于點C,OCCE,OCE900,DE900,2D2E180°,QAODCOB,BOC2D,AOD2D,AOD2E18002證明:如圖2中,作ORAF于R.QOCFFORF90°,四邊形OCFR是矩形,AF/CD,CFOR,AAOD,在VAOR和VODG中,QAAOD,AROOGD90°,0ADO,VAO
17、RVODG,ORDG,DGCF,3解:如圖3中,連接BCOM、ON、CN,彳BTCL于T,作NKCH于K,設(shè)CH交DE于W.設(shè)DG3m,則CF3m,CE4m,QOCFFBTE900,AF/OC/BT,QOAOB,CTCF3m,ETm,QCD為直徑,CBDCND900CBE,E90°EBTCBT,tanEtanCBT,BTCT,ETBTBT3m,mBTBTJ3m(負根已經(jīng)舍棄),tan,3mmE60°,QCWDHDEH,HDEHCE,HE60°,MON2HCN600,QOMON,VOMN是等邊三角形,MNON,QQMOBOM,MOQMQO,QMOQPON180oMO
18、N120°,MQOP180oH1200,PONP,ONNP141125,CD2ON50,MNON25,在RtVCDN中,CNJCD2DN2癡214248,在RtVCHN中,tanH空出-73,HNHNHN16百,1&在RtVKNH中,KH-HN8<3,NKHN24,22在RtVNMK中,mKJMN2NK2,2522427,HMHKMK8后7.本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識,添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題的關(guān)鍵.6.如圖1,將長為10的線段OA繞點O旋轉(zhuǎn)90得到OB,點A的運動軌
19、跡為AB,P是半徑ob上一動點,q是Ab上的一動點,連接pq.發(fā)現(xiàn):ZPOQ=時,PQ有最大值,最大值為;思考:(1)如圖2,若P是OB中點,且QPLOB于點P,求?Q的長;(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊,使點B的對應點B'恰好落在OA的延長線上,求陰影部分面積;探究:如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊,使折疊后的弧QB恰好與半徑OA相切,切點為C,若OP=6,求點O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn):90°,10J2;思考:(1)-;(2)25兀-100/2+100;(3)點O到折痕PQ的距離為J30.【解析】分析:發(fā)現(xiàn):先判斷出當PQ取最大時,點Q與點A重合,點P與點B
20、重合,即可得出結(jié)論;思考:(1)先判斷出/POQ=60,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論;(2)先在RtAB'OP中,OP2+(10J2-10)2=(10-OP)2,解得OP=10j2-10,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究:先找點。關(guān)于PQ的對稱點O',連接OO'、O'BO'CO'R證明四邊形OCOB是矩形,由勾股定理求O'H從而求出OO的長,則OM=OC(/3q.2詳解:發(fā)現(xiàn)::p是半徑ob上一動點,q是ab上的一動點,當PQ取最大時,點Q與點A重合,點P與點B重合,此時,/POQ=90,PQ=7OA2OB2=1072;思考:(1)
21、如圖,連接OQ,()點P是OB的中點,1 1.OP=-OB=-OQ.,.QPXOB,/ OPQ=90°OP1在RtAOPQ中cos/QOP=一OQ2/ QOP=60;601010/ bq=-;(2)由折疊的性質(zhì)可得,BP=BP,在RtB'OP中,OP2+(10亞-10)2=解得OP=10j2-10,1803AB=AB=1072,-29010S陰影=S扇形aob-2Saaop=360(10-OP)21 10(10210)2 =25兀-100J2+100;探究:如圖2,找點O關(guān)于PQ的對稱點O',連接OO、O'RO'CO'R則OM=OM,OOPQ,
22、O'P=OP=3點O'是?Q所在圓的圓心,圖1圄? ,.O'C=OB=10;折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點, .O'dAO, O'(/OB, 四邊形OCO'庭矩形,在RtO'BPKO'B=62422V5,在.OBOK,OO=102(275)2=2而,1 1一.OM=OOX273q=J30,22即O到折痕PQ的距離為聞.點睛:本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定,熟練掌握弧長公式nR180(n為圓心角度數(shù),R為圓半徑),明確過圓的切線垂直于過切點的半徑,這是??嫉男再|(zhì);對稱點的連線被對稱軸垂直平分.
23、7.在。中,點C是AB上的一個動點(不與點A,B重合),/ACB=120,點I是/ABC的內(nèi)心,CI的延長線交。于點D,連結(jié)AD,BD.D(1)求證:AD=BD.(2)猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)若。的半徑為2,點E,5是AB的三等分點,當點C從點E運動到點F時,求點I隨之運動形成的路徑長.【答案】(1)證明見解析;2)AB=DI,理由見解析(【解析】分析:(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分/ACB,可得出角相等,再根據(jù)圓周角定理,可證得結(jié)論;(2)根據(jù)/ACB=120,/ACD=/BCD,可求出/BAD的度數(shù),再根據(jù)AD=BD,可證得ABD是等邊三角形,再根據(jù)內(nèi)心的定義及三
24、角形的外角性質(zhì),證明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論;(3)連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心,DIi為半徑的弧,根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形,可求出AD的長,再根據(jù)點E,F是弧AB?的三等分點,4ABD是等邊三角形,可證得ZDAIi=ZAIiD,然后利用弧長的公式可求出點I隨之運動形成的路徑長.詳解:(1)證明:二.點I是/ABC的內(nèi)心.CI平分/ACB/ACD=ZBCD,弧AD=MBD.AD=BD(2)AB=DI理由:./ACB=120,/ACD=/BCD/BCDX120=60°弧BD=MBD/DAB=ZBC
25、D=60°.AD=BD.ABD是等邊三角形,.AB=BD,/ABD=/C.I是4ABC的內(nèi)心BI平分/ABC/CBI=ZABIZBID=ZC+ZCBI,/IBD=/ABI+/ABD/BID=ZIBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解:如圖,連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓 ./ACB=120,°弧AD=MBD /AED/ACB=rX120=60°:圓的半徑為2,DE是直徑.DE=4,/EAD=90°,AD=sin/AEDXDE=X4=2 點E,F是弧AB?的三等分點,ABD是等邊三角形,/ADB=60°
26、弧AB的度數(shù)為120; 弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°/ADM=20=/FAB /DAIi=ZFAB+ZDAB=80° /AIiD=180°-ZADM-/DAIi=180-20-80=80° /DAIi=ZAIiD.AD=IiD=2 弧I1I2的長為:2g邛_1瓦130一9點睛:此題是一道圓的綜合題,有一定的難度,熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理,并對圓中的弦、弧、圓心角、圓周角等進行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵,注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透.8.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂,維修人員為更換管道,需要確定管道圓形截面的半徑.如圖,若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16
27、cm,水最深的地方的高度為4cm,求這個圓形截面的半徑.【答案】10cm【解析】分析:先過圓心O作半徑COLAB,交AB于點D設(shè)半彳仝為r,得出AD、OD的長,在RtAAOD中,根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑.詳解:解:過點。作OC,AB于D,交。于C,連接OB,.OCXAB.BD=-AB=-X16=8cm22由題意可知,CD=4cm二設(shè)半徑為xcm,則OD=(x-4)cm在RtABOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2(x4)2+82=x2解得:x=10.答:這個圓形截面的半徑為10cm.C點睛:此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理,關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,再根據(jù)勾股定理進行求解.9.如圖
28、,4ABC是。的內(nèi)接三角形,點D,E在。上,連接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+CBAE=180,°知CD-(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)求證:ABEDCE;(3)若/EAC=60,BC=8,求。的半徑.【答案】(1)BE=CE理由見解析;(2)證明見解析;(3)晅.3【解析】分析:(1)由A、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得:ZBCE-+ZBAE=180,貝U/BCE玄EAC,所以?E=CE,則弦相等;(2)根據(jù)SSS證明AB®4DCE;(3)作BC和BE兩弦的弦心距,證明RtAGB8RtAHBO(HL),則/OBH=30,設(shè)OH=x,則OB=2
29、x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值,可得半徑的長.本題解析:(1)解:BE=CE理由:ZEAC-17BAE=180,/BCE47BAE=180,3 /BCE玄EAC,l?E=Ce,.BE=CE(2)證明:,%bCd,AB=CD:?e=Ce,AeEd,-ae=ed由(1)得:BE=CE在ABE和ADCE中,AEDE.ABCD,BECE4 .ABEADCE(SSS;(3)解:如圖,二.過。作OGLBE于G,OHXBCH,BH=1BC=1X8=4BG=1BE,2225 BE=CE/EBC=ZEAC=60,°BEC是等邊三角形,BE=BCBH=BG,6 .OB=OB,RtAGBORtAHBO(
30、HL),“1,/OBH=ZGBO=-/EBC=30,2設(shè)OH=x,貝UOB=2x,由勾股定理得:(2x)2=/+42,x=4叵,3.OB=2x=83,3。的半徑為8.33點睛:本題是圓的綜合題,考查了四點共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30。的性質(zhì),難度適中,第一問還可以利用三角形全等得出對應邊相等的結(jié)論;第三問作輔助線,利用勾股定理列方程是關(guān)鍵10.已知:BD為。的直徑,O為圓心,點A為圓上一點,過點B作。的切線交DA的延長線于點F,點C為。上一點,且AB=AC,連接BC交AD于點E,連接AC.(1)如圖1,求證:/ABF=/ABC;(2)如圖2,點H為。內(nèi)部一點,連
31、接OH,CH若/OHC=/HCA=90°時,求證:CH=1DA;2在(2)的條件下,若OH=6,。的半徑為10,求CE的長.21見解析;(2)見解析;(3)一51由BD為eO的直徑,得到DABD90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到CABC,等量代換即可得到ACOCOH,根據(jù)等腰三角形ACBOCB,根據(jù)相似三角形FBAABD90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;2如圖2,連接OC,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到的性質(zhì)得到OBCOCB,ABCCBO的性質(zhì)即可得到結(jié)論;3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到妲里2,根據(jù)勾股定理得到OHOCADJBD2AB216,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BFBE,
32、AFAE,根據(jù)射影122-定理得到AF-9,根據(jù)相交弦定理即可得到結(jié)論.16【詳解】1QBD為eO的直徑,BAD900,DABD900,QFB是eO的切線,FBD90°,FBAABD900,FBAQABABFABC;2如圖2,連接OC,QOHCHCA90°,AC/OH,ACOCOHQOBOCOBCABC即ABDOCB,CBOACBOCB,ACO,ABCVABDCOH,BAD900,VHOC,ADCHBD一2,OCCH1-DA;23由2知,VABCsVHOC,ABBD八2,OHOCQOH6,eO的半徑為10,AB2OH12,BD20,ADJBD2AB216,在VABF與VAB
33、E中,ABFABEABABBAFBAE90oVABFVABE,BFBE,AFAE,QFBDBAD900,AB2AFAD,AF1221615,AEAF9,DE7,beJab2AE2QAD,BC交于E,AEDEBECE,“AEDE9721CE-BE155本題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),勾股定理,射影定理,相交弦定理,正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.11.定義:數(shù)學活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為智慧三角形”.理解:如圖1,已知式3是。上兩點,請在圓上找出滿足條件的點C,使工州C為智
34、慧三角形”(畫出點1c的位置,保留作圖痕跡);,-一、,-t-一一-1”,如圖2,在正方形ASCD中,石是,C的中點,F(xiàn)是CD上一點,且CF=-CD,試判斷Q4EF是否為智慧三角形”,并說明理由;運用:如圖3,在平面直角坐標系戈6中,O0的半徑為1,點2是直線y=3上的一點,若在。上存在一點P,使得3。尸。為智慧三角形”,當其面積取得最小值時,直接寫出此時點F的坐標.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)P的坐標(彥,1),(2匹,333【解析】試題分析:(1)連結(jié)AO并且延長交圓于C1,連結(jié)BO并且延長交圓于C2,即可求解;(2)設(shè)正方形的邊長為4a,表示出DF=CF以及EGBE的長
35、,然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得4AEF為智慧三角形”;(3)根據(jù)智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點P的橫坐標,再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標,從而求解.試題解析:(1)如圖1所示:er圖1(2) AAEF是否為智慧三角形”,理由如下:設(shè)正方形的邊長為4a, .E是DC的中點, .DE=CE=2a,.BC:FC=4:1, .FC=
36、a,BF=4a-a=3a,在RtADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtECF中,E盧=(2a)2+a2=5a2,在RtMBF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,.ae2+ef2=af2, .AEF是直角三角形, 斜邊AF上的中線等于AF的一半, .AEF為智慧三角形”;(3)如圖3所示:由智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得pq=JH=2點,PM=1X2+3=,3由勾股定理可求得OM=(紀/=;,故點P的坐標(-土,工),(士,-).3
37、333考點:圓的綜合題.12.如圖,線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線,點D為圓上一點,滿足BD=BC,且點C、D位于直徑AB的兩側(cè),連接CD交圓于點E點F是BD上一點,連接EF,分別交AB、BD于點G、H,且EF=BD.求證:EF/BC;(2)若EH=4,HF=2,求?E的長.2-【答案】(1)見解析;(2)23【解析】【分析】(1)根據(jù)EF=BD可得Ef=?d,進而得到BE=DF,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進而可證.(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”及平行線求出相等的角,利
38、用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進而求出/BDE的度數(shù),確定BE所對的圓心角的度數(shù),根據(jù)/DFH=90°確定DE為直徑,代入弧長公式即可求解.【詳解】;EF=BD,Ef=?DBe=Df/D=/DEF又BD=BC,/D=/C,/DEF=ZCEF/BC(2) .AB是直徑,BC為切線,ABXBC又EF/BC,ABLEF,弧BF=<BE,一_1一一GF=GE=5(HF+EH)=3,HG=1DB平分/EDF,又BF/CD,/FBD=/FDB=/BDE=/BFH.-.HB=HF=2HG1.cos/BHG=,/BHG=60.HB2/FDB=/BDE=30°,/DFH=90;DE為直徑
39、,DE=4石,且弧BE所對圓心角=60°.1 2,弧BE=-X4>/3=y363【點睛】本題是圓的綜合題,主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長公式等相關(guān)知識,掌握圓周角的有關(guān)定理,切線的性質(zhì),垂徑定理及弧長公式是解題關(guān)鍵13.如圖,等邊4ABC內(nèi)接于。O,P是弧AB上任一點(點P不與A、B重合),連AP,BP,過C作CM/BP交PA的延長線于點M,(1)求證:4PCM為等邊三角形;(2)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面積.【答案】(1)見解析;(2)15S4【解析】【分析】(1)利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角,進而判定4PCM為等邊三角形;(2)利用上題
40、中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等,進而利用PCM為等邊三角形,進而求得PH的長,利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可.【詳解】(1)證明:作PH,CM于H,.ABC是等邊三角形,/APC=ZABC=60,°/BAC=ZBPC=60,°.CM/BP, /BPC玄PCM=60; .PCM為等邊三角形;(2)解:4ABC是等邊三角形,4PCM為等邊三角形, /PCA+/ACM=ZBCP+/PCA, /BCP玄ACM,在BCPAACM中,BCACBCPACM,CPCM.,.BCFAACM(SAS),.PB=AM,CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+
41、2=3在RtAPMH中,/MPH=30,PH=,3,二.S梯形pbcmf(PB+CM)XPH=1x(2+3)4=1552224【點睛】本題考查圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計算方法,是一道比較復雜的幾何綜合題.14.已知四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形,/DAB=120°,BC=CD,AD=4,AC=7,求AB的長度.【分析】CCD,進而得到,_、.一,一ULU作DELAC,BFLAC,根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的關(guān)系,求得BC/DAC=/CAB=60;在RtAADE中,根據(jù)60銳角三角函數(shù)值,可求得DE=2J§,AE=2,再由RtADEC中,根據(jù)
42、勾股定理求出DC的長,在4BFC和4ABF中,利用60。角的銳角三角函數(shù)值及勾股定理求出AF的長,然后根據(jù)求出的兩個結(jié)果,由AB=2AF,分類討論求出AB的長即可.【詳解】作DELAC,BF±AC, BC=CD,ULUUUUBCCD, /CAB-/DAC, /DAB=120;/DAC=/CAB=60°1 .DEXAC,/DEA=/DEC=90°,2 .sin60=DE,cos60°=4.DE=2.3,AE=2,-AC=7,.CE=5,37,DC=.2x3252BC=-37,.BFXAC,/BF七/BFC=90°,BFtan60=,BF+cF=BC,.BF=,3AF,V327af2V372,_八_3.AF=2或AF=,2oAFcos60=,AB.AB=2AF,當AF=2時,AB=2AF=4,.AB=AD, .DC=BC,AC=AC, .ADCAABC(SSS,/ADC=/ABC, .ABCD是圓內(nèi)接四邊形, /ADC+ZABC=180; /ADC-/ABO9
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