中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合練習(xí)題及答案解析

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合練習(xí)題及答案解析一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45。，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求/BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).備用數(shù)據(jù)：?jiǎn)?；,【答案】(1)/BPQ=30；(2)該電線桿PQ的高度約為9m.【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設(shè)PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE,根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程

2、求得x的值，再在直角4BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解.試題解析：延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,ABE(1)/BPQ=90-60=30°(2)設(shè)PE=x米.在直角APE中，/A=45,貝UAE=PE=W/PBE=60°/BPE=30°在直角4BPE中，BE=Y3PE=Y3x米,33,.AB=AE-BE=6米，則x-ix=6,解得：x=9+3則BE=(3點(diǎn)+3)米.在直角4BEQ中，QE=BeX!(3/3+3)=(3+73)米.33,.PQ=PE-QE=9+3/3-(3+73)=6+2Q=9(米).答：電線桿PQ的高度約9米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)

3、用-仰角俯角問(wèn)題.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，力工平分4M°1,交"于點(diǎn)'"平分”所，交仞于點(diǎn)F,4斤與"交于點(diǎn)P,連接EFPD.(1)求證：四邊形WBEF是菱形；若犯=，叩=6。"=60口求tan"DP的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得AF=AB=BE從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過(guò)點(diǎn)P作PHI±AD于H,即可得到PH、DH的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：

4、(1).AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1.AD/BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.AB=BEAB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF為平行四邊形又AB=BE.ABEF為菱形(2)作PH，AD于HJT由/ABC=60而已(1)可知/PAF=60,PA=2,貝有PH=/J,AH=1,.DH=AD-AH=5tan/ADP="考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)3.如圖，在4ABC中，/ABC=/ACB,以AC為直徑的。分別交ARBC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,且/CA

5、B=2/BCP(1)求證：直線CP是。的切線.5(2)(3)若BC=#,sin/BCP=S,求點(diǎn)B到AC的距離.在第（2）的條件下，求ACP的周長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4（3）20【解析】試題分析：（1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，2/CAN=/CAB,/CAB=2/BCP判斷出/ACP=90即可；（2）利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可.試題解析：（1）ZABC=ZACB,.AB=AC,.AC為。O的直徑，/ANC=90； /CAN+/ACN=90；2/BAN=2/CAN=ZCAB, /CAB=2/BCP, /BCP玄CAN,/ACP=ZACN+ZBCP之ACN+ZCAN=90；點(diǎn)D

6、在OO上，直線CP是OO的切線;(2)如圖,作BFXAC.AB=AC,ZANC=90,11.CN，CBA，悍ZBCP玄CAN,sinZBCP=5,迎sinZCAN=-1,pv明AC.AC=5,".AB=AC=5,設(shè)AF=x,則CF=5-x,在RtABF中，BF£=abF-AF5=25-x2,在RtCBF中，BF=BC?C聲=20(5-x)-25-)=20-(5-x)2,x=3,.BF2=25-32=16,BF=4,即點(diǎn)B到AC的距離為4.考點(diǎn)：切線的判定4.在矩形ABCD中，AD>AB,點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)(不含C,D兩端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作PF/BC,交對(duì)角線BD于點(diǎn)

7、F.（si）（圖2）【圖3）（智用圖）（1）如圖1,將4PDF沿對(duì)角線BD翻折得到QDF,QF交AD于點(diǎn)E.求證：4DEF是等腰三角形；（2）如圖2,將4PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到P'DF',連接P'C,F'B,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°<av180°）. 若0°VaV/BDC,即DF在/BDC的內(nèi)部時(shí)，求證：DP'8DF'B. 如圖3,若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，DF'B能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)tan/DBF的值,如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；1或Y3.23【解析】

8、【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知/DFQ=/ADF,所以DEF是等腰三角形；（2）由于PF/BC,所以DPFDCB,從而易證ADP的DCB;由于DF'B是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）由翻折可知：/DFP1DFQ,1. PF/BC,/DFP=ZADF,/DFQ=ZADF,.DEF是等腰三角形；（2）若0°Vav/BDC,即DF'在/BDC的內(nèi)部時(shí)， ./P'DFfPDF, ./P'DFZF'DC#DF-/F'DC ./P'DC=F'DB由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

9、知：4DP國(guó)DPF,1.PF/BC,.DPDDCB.DP'c-FADCB.DC2PJDBDF''.-.DP'CADF'B；當(dāng)/F'DB=9K,如圖所示, .DF，=DF=BD,2DF'1 ，BD2當(dāng)/DBF=90；此時(shí)DF'是斜邊，即DF>DB,不符合題意;當(dāng)/DFB=90寸，如圖所示，,1 .DF=DF=BD,2 /DBF'=30【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)以及判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、運(yùn)用分類思想進(jìn)行討論是解題的

10、關(guān)鍵.5.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)M作MNLAC于點(diǎn)N,/EMF=135將/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM(2)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖，圖的位置時(shí)，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(1)和(2)的條件下，tan/BEM=/,AN=jP+1,貝UBM=,CF=.【解析】【分析】(1)由等腰ABC中，ZB=90°,AM是ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)M作MNXAC于點(diǎn)N,可得BM=MN,/BMN

11、=135,又/EMF=135°,可證明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；(2)如圖時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得BE-CF=BM,如圖時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得CF-BE=BM;在RtAABM和RtAANM中，,'蜩=AM可得RtAABMRtAANM,后分別求出AB、ACCN、BM、BE的長(zhǎng)，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論對(duì)圖進(jìn)行討論可得CF的長(zhǎng).【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45； .AM是/BAC的平分線，MNLAC,.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=360-90-90-45=135°,/

12、ENF=135,°,/BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.NC=NM=BM,.CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)針對(duì)圖2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°,.NC=NM=BM, NC=NF-CF, .BE-CF=BM;針對(duì)圖3,同（1）的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM,.NC=CF-NF,.CF-BE=BM；"

13、;pV（3）在RtAABM和RtAANM中，（一，RtAABMRtAANM（HL.）,.AB=AN=/2+1,在RtAABC中，AC=AB=<+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+2-（V2+D=1,在RtCMN中，CM=/2CN=/2，.BM=BC-CM=+1-=1,在RtABME中，tan/BEM瞿e=行DEDEBE壽，.由（1）知，如圖1,BE+CF=BM.CF=BM-BE=1當(dāng)由（2）知，如圖2,由tan/BEM=J5,，此種情況不成立；由（2）知，如圖3,CF-BE=BM,c43.CF=BM+BE=1+,故答案為1,1+*或1-【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形

14、全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解.6 .如圖，濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái)且、月、C.已知4=1物0米，川c=1如。米，5點(diǎn)位于幺點(diǎn)的南偏西°方向，。點(diǎn)位于且點(diǎn)的南偏東6百-1”方向.求且的面積；（2）景區(qū)規(guī)劃在線段取的中點(diǎn)口處修建一個(gè)湖心亭，并修建觀景棧道血.試求.、D間的距離.（結(jié)果精確到11米）（參考數(shù)據(jù)：加5里2'-。£。，,而觸一7°右0即，85加丁書(shū)0一49,5in66.r0.5l,co&6（5.10.41,A.1T:、止<51.414）心二1萬(wàn)一【答案】（1）560000（2）565.6【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作C

15、E_艮4交互巨的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,然后根據(jù)直角三角形的內(nèi)角和求出/CAE,再根據(jù)正弦的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，從而得到4ABC的面積；（2）連接，過(guò)點(diǎn)刀作力尸且3,垂足為尸點(diǎn)，則.然后根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和余弦值求出BE、AE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求解即可.試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)C作第血交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,在RtZUEC中，/C4ETMJ607-661°=53T,所以CE=AC-sin53.2»1000*米.所以工但二SqF二:mUMm時(shí)口二5的電0。（平方米）.22（2）連接皿，過(guò)點(diǎn)口作力F4,垂足為F點(diǎn)，則DF/CE.因?yàn)榭谑撬乐悬c(diǎn)，所以DF=；CE=4M米，且F為期中點(diǎn)，花=dC-8茸53

16、f6M米，所以+花=140。一6。0=20。米.所以乂F=；加-/豈=400米，由勾股定理得，.必=JjF'DF：=J4。；+網(wǎng)0:=其6=5隈6米.答：且、口間的距離為565一6米.考點(diǎn)：解直角三角形7 .問(wèn)題探究：（一）新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對(duì)角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個(gè)圓上）.（二）問(wèn)題解決：已知。的半徑為2,AB,CD是。的直徑.P是標(biāo)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB,CD的垂線，垂足分別為N,M.（1）若直徑AB±CD,對(duì)于標(biāo)上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一

17、），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長(zhǎng)；（2）若直徑AB±CD,在點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程匯總，證明MN的長(zhǎng)為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120°角.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到前的中點(diǎn)Pi時(shí)（如圖二），求MN的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中（如圖三），證明MN的長(zhǎng)為定值.（4）試問(wèn)當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長(zhǎng)取最大值，并寫(xiě)出其最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，直徑OP=2;（2）證明見(jiàn)解析，MN的長(zhǎng)為定值，該定值為2；（3）MN=/；證明見(jiàn)解析；（4） MN取得最大值2.【解析】試題分析：（1）如圖一，易證/PM

18、O+/PNO=180,從而可得四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；（2）如圖一，易證四邊形PMON是矩形，則有MN=OP=2,問(wèn)題得以解決；（3）如圖二，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得ZCOR=ZBOPi=60°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得/MP1N=60°.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得P1M=P1N,從而得到P1MN是等邊三角形，則有MN=P1M.然后在RtAP1MO運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題；設(shè)四邊形PMON的外接圓為00;連接NO并延長(zhǎng)，交。0'于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，根據(jù)圓周角定理可得/QMN=90,ZMQN=ZMPN=60,在RtAQMN中運(yùn)用三角函數(shù)可得：

19、MN=QN?sin/MQN,從而可得MN=OP?sin/MQN,由此即可解決問(wèn)題；（4）由（3）中已得結(jié)論MN=OP?sin/MQN可知，當(dāng)/MQN=90時(shí)，MN最大，問(wèn)題得以解決.試題解析：（1）如圖一，.PMXOC,PN±OB,ZPMO=ZPNO=90,°./PMO+/PNO=180四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2;圜一(2)如圖一，.ABXOC,即/BOC=90,°/BOC=ZPMO=ZPNO=90四邊形PMON是矩形,.MN=OP=2,MN的長(zhǎng)為定值，該定值為2；(3)如圖二，圖二Pi是前的中點(diǎn)，ZBOC=12O°,ZCOP=ZBOPi=60

20、°,ZMPiN=60°,/PiM±OC,PiNXOB,PiM=PiN,.RMN是等邊三角形，MN=PiM.PiM=OPi?sin/MOPi=2Xsin60=用,MN=7j；設(shè)四邊形PMON的外接圓為00;連接NO并延長(zhǎng),交。O'于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，P圖二則有/QMN=90,/MQN=ZMPN=60,MV在RtQMN中，sinZMQN=,.MN=QN?sin/MQN,.MN是定值.QN，MN=OP?sin/MQN=2Xsin60=2(4)由(3)得MN=OP?sinZMQN=2sinZMQN.當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時(shí)，/MQN=i80

21、-90=90°,MN取得最大值2.考點(diǎn)：圓的綜合題.8.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).圖圉(1)試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(-4,0),Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3 23一【答案】(1)y-x-x3；(2)5PA+4PC的最小值為18；(3)直線l的解析式84、,3.3一為yx3或y-x3.4 4【解析】【分析】(1)設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AGBC,過(guò)點(diǎn)A作A

22、E，BC于點(diǎn)E,過(guò)PCPD4點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D,易證CD/COB,得到比例式，得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面積法求出AE=18,即最小值為18(3)取AB中點(diǎn)F,5以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90?；?ABQ=90°,即/AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿

23、足/AQB=90。的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QGi±x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點(diǎn)為A(-2,0)、B(4,0)-y=a(x+2)(x-4)把點(diǎn)C(0,3)代入得：-8a=33a=8拋物線解析式為y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+3884(2)連接ACBC,過(guò)點(diǎn)A作AE，BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD±BC于點(diǎn)D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.-.CDFACOBPCPDBCOB,.B(4,0),C(0,3).OB=4,OC=3,

24、BC=、OB2OC2=54-.PD=-PC5,-，5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PQ5當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BCSaabc=-AB?OC=BC?AE6318ABnOCAE=BC-5AE=185PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸,只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90或/ABQ=90°/AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q當(dāng)Q在。F

25、上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合)，/AQB=90°直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB=90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG±x軸于點(diǎn)G/FQ90°.F為A(2,0)、B(4,0)的中點(diǎn).F(1,0),FQ=FA=3,.T(4,0)一一FQTF=5cos/QFT=TFRtAFGQ中,cos/QFT=FGFQ-3FG=-FQ=5,9XQ=15QG=,FQ2FG2132912若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q(設(shè)直線l解析式為：y=kx+b4kb0,k4 12解得：kb5 5b3直線l：y-x34若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q(.3一，直線l：y-x34綜上所述，直線l的解析式為y

26、12一54-53-43口一54-5y或3X3-4【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問(wèn)能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論9.如圖，在RtABC中，ZC=90。，ZA=30°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PD)±AC于點(diǎn)D(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),作/DPQ=60°,邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示線段DC的長(zhǎng)：；(2)當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；(3)當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)

27、4ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.II351【答案】(1)2M3一玉；(2)1；(3)t的值為不或不或【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出AD,即可得出結(jié)論；(2)利用AQ=AQ即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】(1) AP=2£,AB=4,/A=30°.AC=,AD=CD=2*-平1；(2) AQ=2AD=2y&當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合即=.t=1；(3)如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò)AB的中點(diǎn)F時(shí)，111111/PGF=90；PG=jPQ=:AP=t,AF=AB=2./A=/AQP=30；，/FPG=60；，/PFG

28、=30；.PF=2PG=2t,11.AP+PF=2t+2t=2,.1.t=LJ如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò)AC的中點(diǎn)N時(shí),1II1./QMN=90：AN=#C=5,QM=5PQ=21AP=t.六人MQN.在RtANMQ中，NQ=cos30$-r3.AN+NQ=AQ,.,7+=J.t=3,4.BF=BC=1,jt/ABC=60；在RtAPEH中,如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò)BC的中點(diǎn)F時(shí),11PE=-PQ=t,/H=30：/BFH=30=/H,BH=BF=1.54.PH=2PE=2t.AH=AP+PH=AB+BH,/.2t+2t=5,/.t=即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為萬(wàn)或

29、a或彳【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關(guān)鍵.10.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60。方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45。方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）.D【答案】攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500V2）米.【解析】試題分析：過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E;過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交

30、于點(diǎn)F,則/E=ZF=90。，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF解RtBCE求出BE=-BC=-X1000=50冰；解RtACDF7,求出CF±gcD=5000米，則DA=BE+CF=（500+500百）米.試題解析：如圖，過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E;過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F,則ZE=ZF=90。，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF在RtBCE中，./E=90°,/CBE=60,/BCE=30,°11“，BE=BC=X1000=50米；在RtCDF中，ZF=90°,/DCF=45,CD=BC=10

31、00米,.CF=CD=500立米,.DA=BE+CF=（500+500及）米,故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500尤）米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.3311.如圖，直線產(chǎn)二於+。與上軸交于點(diǎn)似由。），與y軸交于點(diǎn)療，拋物線y二不工+"卜c經(jīng)過(guò)點(diǎn)艮點(diǎn)M（附°）為1軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于#軸的直線分別交直線丹日及拋物線于點(diǎn)P,（1）填空：點(diǎn)目的坐標(biāo)為,拋物線的解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)A4在線段CM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)q,口重合），當(dāng)m為何值時(shí)，線段|PN最大值，并求出|PN的最大值；求出使4BPN為直角三角形時(shí)m的值；（3）若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線從8的距

32、離是丸，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)由點(diǎn)q,|H,N,P構(gòu)成的四邊形的面積.【答案】（1）y=（2）當(dāng)小=2時(shí)，PN有最大值是3；使BPN為直角三角形時(shí)機(jī)的值為3或4;(3)點(diǎn)U,U,W/P構(gòu)成的四邊形的面積為：6或8+62或打，2一6.【解析】【分析】3(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y(tǒng)=/+n,求出a=-3,把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；339(2)設(shè)：點(diǎn)P(m,-m-3),N(m,嚴(yán)工-彳一？)求出PN值的表達(dá)式，即可求解；分/BNP=90°、/NBP=90°、ZBPN=90°三種情況，求解即可；(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,則只能出

33、現(xiàn)：在AB直線下方拋物線與過(guò)點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè)，分別求解即可.【詳解】丁解：(1)把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y(tǒng)二/4口，3解得：口二-3,則：直線表達(dá)式為：y二不x3,令則：|y=-3?則點(diǎn)B坐標(biāo)為(0.-3),將點(diǎn)"的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：c=,3把點(diǎn)八的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：Tx16+-3=0,4解得：b439故：拋物線的解析式為：>二不”一不工-3,故：答案為：-3),y二#-十-?；;MO陽(yáng)在線段。力上，且M.NU式軸，3I3-9.點(diǎn)人犯嚴(yán)一“可葭/一嚴(yán)3393PN=-rn-3-(-rn2-m-3)二-丁-2)工+3.4444

34、，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)m=2時(shí)，|PN有最大值是3,當(dāng)上抑VP=90=時(shí)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-3,39把¥:一3代入拋物線的表達(dá)式得：一3二彳??？一，加一3,解得：制=3或0(舍去m=0),當(dāng)修1VHp=9邛時(shí)，:BN1陽(yáng),兩直線垂直，其K值相乘為-1,設(shè)：直線的表達(dá)式為：y=-.x+n,4把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，解得：口=-3,則：直線斤N的表達(dá)式為：y=_x-311將上式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立并解得：m=可或0(舍去m=0),當(dāng)士RPN=9。°|時(shí)，不合題意舍去，11故：使口PN為直角三角形時(shí)m的值為3或??；(3)0A=4,0B=3,在中，tana=3二二S，Q-.軸，IZBPN=AABO=a若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)|M到直線納的距離是，則只能出現(xiàn)：在河口直線下方拋物線與過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線上方的交點(diǎn)有兩個(gè).當(dāng)過(guò)點(diǎn)|N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)M點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)：點(diǎn)N