一 曲線的參數(shù)方程

1、2021/3/91第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程一一 曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程2021/3/921、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 如圖如圖,一架救援飛機在離災區(qū)地面一架救援飛機在離災區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準為使投放救援物資準確落于災區(qū)指定的地面確落于災區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應如何飛行員應如何確定投放時時機呢？確定投放時時機呢？提示：提示：即求飛行員在離救援點的水平距離即求飛行員在離救援點的水平距離多遠時，開始投放物資？多遠時，開始投放物資？救援點救援點投放點投放點2021/3/931

2、、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念：xy500o物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/s的勻速直線運動；的勻速直線運動；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運動。反方向作自由落體運動。 如圖如圖,一架救援飛機在離災區(qū)地面一架救援飛機在離災區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準為使投放救援物資準確落于災區(qū)指定的地面確落于災區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應如何飛行員應如何確定投放時機呢？確定投放時機呢？2021/3/94xy500o

3、0,y 令10.10 .ts得100 ,1010 .xtxm代入得.1010 所m以，飛行員在離救援點的水平距離約為時投放物資，可以使其準確落在 指定位置 txy解：物資出艙后，設在時刻 ，水平位移為 ， 垂直高度為 ，所以2100 ,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 如圖如圖,一架救援飛機在離災區(qū)地面一架救援飛機在離災區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行. 為使投放救援物資準為使投放救援物資準確落于災區(qū)指定的地面確落于災區(qū)指定的地面(不記空氣阻力不記空氣阻力),飛行員應如何飛行員應如何確定投放時機呢？

4、確定投放時機呢？2021/3/95一、方程組有一、方程組有3個變量，其中的個變量，其中的x,y表示點的表示點的坐標，變量坐標，變量t叫做參變量，而且叫做參變量，而且x,y分別是分別是t的的函數(shù)。函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯唯一決定，從數(shù)學角度看，這就是點一決定，從數(shù)學角度看，這就是點M的坐標的坐標x,y由由t唯一確定，這樣當唯一確定，這樣當t在允許值范圍內連在允許值范圍內連續(xù)變化時，續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程

5、組三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序實數(shù)對（的有序實數(shù)對（x,y）之間有一一對應關系。）之間有一一對應關系。2021/3/96( ),( ).xf tyg t（2）并且對于并且對于t的每一個允許值的每一個允許值, 由方程組由方程組(2) 所確定的點所確定的點M(x,y)都在這條曲線上都在這條曲線上, 那么方程那么方程(2) 就叫做這條曲線的就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程, 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)叫做參變數(shù), 簡稱參數(shù)簡稱參數(shù). 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。關于參數(shù)

6、幾點說明：關于參數(shù)幾點說明： 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁的橋梁,參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義, 幾何意義幾何意義, 也可以沒有明顯意義。也可以沒有明顯意義。2.同一曲線選取參數(shù)不同同一曲線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣3.在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍1、參數(shù)方程的概念：、參數(shù)方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的如果曲線上任意一點的坐標坐標x, y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)2021/3/97例例1: 已知曲線已知曲線C

7、的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 （1）判斷點）判斷點M1(0, 1)，M2(5, 4)與曲線與曲線C的位置關系；的位置關系；（2）已知點）已知點M3(6, a)在曲線在曲線C上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt為參數(shù) 一架救援飛機以一架救援飛機以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行.在離在離災區(qū)指定目標災區(qū)指定目標1000m時投放救援物資（不計空氣阻力時投放救援物資（不計空氣阻力,重力加速重力加速 g=10m/s）問此時飛機的飛行高度約是多少？問此時飛機的飛行高度約是多少？（精確到（精確到1m）變式變式:2021/3/982、方程、方程 所表示的曲線上一點的坐標是所

8、表示的曲線上一點的坐標是（ ） 練習1sin,(cosxy為參數(shù)）A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1 2( , );3 31 1( , );2 21、曲線、曲線 與與x軸的交點坐標是軸的交點坐標是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、21,(43xttyt 為參數(shù)）25(,0);16(1, 3);25(,0);16B2021/3/99 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 點點M(5,4)在該在該 曲線上曲線上. （1）求常數(shù)）求常數(shù)a; （2）求曲線）求曲線C的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 為參數(shù),aR解解:(1)由題意可知由題意可知

9、: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲線曲線C的方程為的方程為: x=1+2t y=t2由第一個方程得由第一個方程得: 12xt代入第二個方程得代入第二個方程得: 21() ,2xy2(1)4xy為所求.訓練2：2021/3/910思考題：思考題：動點動點M作等速直線運動作等速直線運動, 它在它在x軸和軸和y軸方向軸方向的速度分別為的速度分別為5和和12 , 運動開始時位于點運動開始時位于點P(1,2), 求點求點M的軌跡參數(shù)方程。的軌跡參數(shù)方程。解：設動點M (x,y) 運動時間為t，依題意，得tytx12251所以，點M的軌跡參數(shù)方

10、程為tytx12251參數(shù)方程求法參數(shù)方程求法: （1）建立直角坐標系）建立直角坐標系, 設曲線上任一點設曲線上任一點P坐標為坐標為(x,y) （2）選取適當?shù)膮?shù)）選取適當?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質, 物理意義物理意義, 建立點建立點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式坐標與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程2021/3/911小結：小結： 一般地，在平面直角坐標系中，一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù) ( ),( )

11、.xf tyg t（2）并且對于并且對于t的每一個允許值，由方程組（的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點）所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程（那么方程（2）就叫做這條曲線的）就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程， 系變數(shù)系變數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。2021/3/9122、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程2021/3/913yxorM(x,y)0M2021/3/914)()(sincossin,cos),(速圓周運動的時刻質點作勻有明確的物理意義程。其中參數(shù)的圓的參數(shù)方，半徑為這就是圓心在原點為參數(shù)即角函數(shù)的定義有：，那么由三，設

12、，那么，坐標是轉過的角度是，點如果在時刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt2021/3/915轉過的角度。的位置時，到逆時針旋轉繞點的幾何意義是其中參數(shù)的圓的參數(shù)方程，半徑為這也是圓心在原點為參數(shù)為參數(shù)，于是有，也可以取考慮到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt2021/3/916圓的參數(shù)方程的一般形式圓的參數(shù)方程的一般形式么樣的呢？的圓的參數(shù)方程又是怎半徑為那么，圓心在點普通方程是的參數(shù)方程，它對應的以上是圓心在原點的圓ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr對應的普通方程為為參數(shù)2021/3/917由于選取的參

13、數(shù)不同，圓有不同的參由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示不同的參數(shù)方程，它們表示 的曲線可的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。范圍。2021/3/918例、例、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程?；癁閰?/p>

14、數(shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標準方程，化為標準方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))2021/3/919例例2 如圖，圓如圖，圓O的半徑為的半徑為2，P是圓上的動點，是圓上的動點，Q(6,0)是是x軸上的定點，軸上的定點，M是是PQ的中點，當點的中點，當點P繞繞O作勻速圓周運動時，求點作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方的軌跡的參數(shù)方程。程。yoxPMQ2021/3/920)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,c

15、os2(,),(為參數(shù)的軌跡的參數(shù)方程是所以，點由中點坐標公式得：的坐標是則點，的坐標是解：設點yxMyxPxOPyxM2021/3/921徑，并化為普通方程。表示圓的圓心坐標、半所為參數(shù)、指出參數(shù)方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx2021/3/922_4)0(sin2cos3，則圓心坐標是是的直徑為參數(shù)，、圓rrryrrx（2，1）2021/3/923參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化 2021/3/924例3：把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？1sincos(1)().(2)()1 sin21 23cos(3)().sinxtxtyy

16、txy 為參數(shù)為參數(shù)為參數(shù)1.1.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。的類型。2.2.曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。3.3.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x x、y y的取的取值范圍保持一致。值范圍保持一致。代入代入( (消參數(shù)消參數(shù)) )法法恒等式恒等式( (消參數(shù)消參數(shù)) )法法2021/3/925曲線C的普通方程和參數(shù)方程是曲線C的兩種不同代數(shù)形式，以本質上講它們是互相聯(lián)系的，一般可以進行互化.通常使用代入消參，加減消參，使用

17、三角公式消參。曲線的參數(shù)方程曲線的普通方程.消去參數(shù)引入?yún)?shù)2021/3/926說明說明:把參數(shù)方程化為普通方程把參數(shù)方程化為普通方程,常用方法有常用方法有:(1)代入代入(消參數(shù)消參數(shù))法法(2)加減加減(消參數(shù)消參數(shù))法法(3)借用代數(shù)或三角恒等式借用代數(shù)或三角恒等式(消參數(shù)消參數(shù))法法常見的代數(shù)恒等式常見的代數(shù)恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()1tttttaattatataattata 在消參過程中注意在消參過程中注意變變量量x、y取值范圍的取值范圍的一致性一致性，必須根據(jù)參，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定數(shù)的取值范圍，確定f

18、(t)和和g(t)值域得值域得x、y的取值范圍。的取值范圍。2021/3/927如果知道變數(shù)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)中的一個與參數(shù)t的關系，的關系，例如例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一個變把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系數(shù)與參數(shù)的關系y=g(t)，那么，那么)()(tgytfx這就是曲線的參數(shù)方程。這就是曲線的參數(shù)方程。二、普通方程二、普通方程 參數(shù)方程參數(shù)方程例4 (1)設x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。2021/3/928)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1 (4, 149cos9cos312

19、222222為參數(shù)的參數(shù)方程是所以橢圓的任意性，可取由參數(shù)即所以代入橢圓方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例4 (1)設x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。還有其它還有其它方法嗎？方法嗎？2021/3/929例4 (1)設x=3cos ， 為參數(shù)；22194xy求 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32為參數(shù)法二：法二：2.tt(2)設y=， 為參數(shù)2021/3/930tytxttytxyxtxtxtxty213)(21314913),1 (9144922222222222和為參數(shù)的參數(shù)方程是所以，橢圓

20、于是代入橢圓方程，得）把（思考：為什么思考：為什么(2)中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？2.tt(2)設y=， 為參數(shù)分別對應了橢圓在分別對應了橢圓在y軸的右，左兩部分。軸的右，左兩部分。2021/3/931（1 1）判斷點）判斷點P P1 1（1 1，2 2），），P P2 2（0 0，1 1）與曲線）與曲線C C的位置關系的位置關系（2 2）點）點Q(2,a)Q(2,a)在曲線在曲線l l上，求上，求a a的值的值. .（3 3）化為普通方程，并作圖）化為普通方程，并作圖（4 4）若）若t0t0， 化為普通方程，并作圖化為普通方程，并作圖

21、. .補例補例1 1已知曲線已知曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為1322tytx（t t為參數(shù)）為參數(shù)）3321132212tttt分析與解答分析與解答: :（1）若點P在曲線上，則可以用參數(shù)t表示出x, y，即可以求出相應t值.所以，令t無解， 點P1不在曲線C上.0131202ttt同理，令 點P2在曲線C上.2021/3/932（2）Q在曲線C上，2221431ttaat2xt （3）將代入y=3t2+11432xy, ,如圖如圖. .（4）t0, x=2t0, y=3t2+11, 消去t，得：1432xy t0時，曲線C的普通方程為1432xy(x0, y1).2021/3/9331

22、432xy點評點評:在（4）中，曲線C的普通方程的范圍也可以只寫出x0, 但不能寫成y1，這是因為是以 x為自變量，y為因變量的函數(shù)，由x的范圍可以確定y的取值范圍，但反過來不行.即:所得曲線方程為y=f(x)或x=g(y)形式時，可以只寫出自變量的范圍，但對于非函數(shù)形式的方程，即F(x,y)=0，一般來說，x,y的范圍都應標注出來.2021/3/934（1）互化時，必須使坐標x, y的取值范圍在互化前后保持不變，否則，互化就是不等價的. 如曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（ ）2224sin.; .; .;sinxtxtxtxtABCDytytytyt分析分析:在y=x2中，xR, y0，在A、

23、B、C中，x,y的范圍都發(fā)生了變化，因而與y=x2不等價，而在D中，x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.（2）在求x,y 的取值范圍時，常常需用求函數(shù)值域的各種方法。如利用單調性求函數(shù)值域，二次函數(shù)在有限區(qū)間上求值域，三角函數(shù)求值域，判別式法求值域等。注意:2021/3/935解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2應選C.補補例例2 方程sincos2xy所表示的曲線一個點的坐標是( )(為參數(shù))1211.(2,7);.(,);.(,);.(1,0).3322ABCD補補例3.參數(shù)方程cos1sin

24、cos1cosyx（為參數(shù)） 化成普通方程為 .2021/3/936補補例例4： 下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是( )2cos.1cos 21cos 2cos1cos 21cos 2xtgtxtgtxtxtABCDttyyytyttt解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中222cos2sintyt=ctg2t=2211xttg即x2y=1，故排除C.應選D.補補例5.直線：3x-4y-9=0與圓：)(,sin2cos2為參數(shù)yx的位置關系是( ) A.相切 B.相離 C.直線過圓心 D.相交但直

25、線不過圓心2021/3/937A線段B雙曲線一支 C圓弧D射線答案：答案：A。分析分析 由ytty2211解得，將其代入xtxy323122得，整理得：xy350050252771242ttxy，得，故該曲線是直線xy350上的一條線段，故選A。補補例例6：曲線的參數(shù)方程為2232051xttyt ，則曲線是：2021/3/938補補例例7：參數(shù)方程xycossinsin2212102表示：B拋物線一部分，這部分過點112，C雙曲線一支，這支過點112，D拋物線一部分，這部分過點112，分析分析 因為x cossinsin222242225020 |sin| 102424424111 sins

26、incossin2222241022xyyxx又，即又因此，參數(shù)方程表示拋物線yx122的一部分，這部分過點112，故選，故選B。112，A雙曲線一支，這支過點2021/3/939補補例例8 8已知直線已知直線l l1 1: x-ky+k=0, : x-ky+k=0, l l2 2:kx-y-1=0. :kx-y-1=0. 其中其中k k為參數(shù)，求為參數(shù)，求l l1 1, , l l2 2交點的軌跡方程交點的軌跡方程. .解法解法1:1:求出兩直線的交點坐標，即解方程組:010ykxkkyx 當k21時，得到這就是所求軌跡的參數(shù)方程，但如果要求軌跡的普通方程，需消去參數(shù)k.1112222kky

27、kkx（k為參數(shù)）2021/3/940解法解法2 2： 由kx-y-1=0，當x0時，可得xyk1代入方程x-ky+k=0 得:012xyxyyx點評點評:解法2中，方程兩邊同除以x，會丟x=0的解；方程兩邊同乘以x，會增x=0的根，所以最后得到軌跡方程后應檢驗是否是同解變形同解變形.兩種方法得到軌跡的不同形式的方程，只要把參數(shù)方程中的參數(shù)消去，便可得到同樣的普通方程.（不妨試試，可利用加減消元法消去k，但應關注y1的限制條件。）去分母，化簡得:x2-y2+1=0(x0) 當x=0時，存在k=0，使得y=-1. 所以，所求軌跡的普通方程為:x2-y2+1=0(y1).2021/3/941補補例

28、例9: 在圓x2+y2-4x-2y-20=0上求兩點A和B，使它們到直線4x+3y+19=0的距離分別最短和最長.解： 將圓的方程化為參數(shù)方程：sin51cos52yx（為參數(shù)）則圓上點P坐標為(2+5cos ，1+5sin )，它到所給直線之距離22|20cos15sin30|4cos3sin6| |5cos()6|43d故當故當cos(-)=1，即，即=時時 ，d最長，這時，點最長，這時，點A坐標坐標為為(6，4)；當；當cos(-)=-1,即即-時，時，d最短，這時，最短，這時，點點B坐標為坐標為(-2，2).2021/3/942例例10：等腰直角三角形ABC，三頂點A、B、C按順時針方

29、向排列， A是直角，腰長為a，頂點A、B分別在x軸y軸上滑動，求頂點C的軌跡方程（要求把結果寫成直角坐標系的普通方程）分析分析 設點C的坐標為(x,y) ，不易直接建立x,y之間的關系，所以可考慮建立x,y之間的間接關系式. CAX完全確定了頂點C的位置，即頂點C的位置是CAX的函數(shù)，所以可選CAX為參數(shù)解：解：如圖所示，設CAX，則xOAADaaayDCasincossincossinC點的參數(shù)方程為：xayasincossin為參數(shù)消去參數(shù)，得普通方程為：xxyya2222小結：小結：與旋轉有關的軌跡問題，常選角為參數(shù)。2021/3/943補補例11：已知線段BB=4，直線l垂直平分BB=

30、于點O，在屬于l并且以O為起點的同一射線上取兩點P、P，使OP. .OP9 。求直線BP與直線BP，的交點M的軌跡方程。分析分析 以O為原點，l為x軸，BB為y軸建立一直角坐標系xoy，如右圖所示，則B(0,2),B(0,-2).如圖可知，當P點的位置一定時，P點的位置完全確定，從而完全確定了M點的位置，所以可選P點的坐標為參數(shù)。2021/3/944解：解：設P aa，00，則由OPOP 9，得Pa90，直線BP的方程為：xay21直線 B P的方程為：xay921兩直線方程化簡為：22029180 xayaaxy解和組成的方程組?？傻弥本€BP與 B P的交點坐標為：2221891829axa

31、aya消去參數(shù)a，得：4936022xyx2021/3/945本題也可將直線BP和 B P的方程變形為：xayaxy12912、兩式相乘，得xy22914小結：小結：本題第二種解法，即交軌法。它是求兩條曲線系交點軌跡的常用方法，這種方法不解方程組，而是直接由方程組消去參數(shù)而得交點的軌跡方程。所求點M的軌跡是長軸長為6，短軸長為4的橢圓，但不包含點B和B2021/3/946參數(shù)方程與普通方程互化2021/3/947sincosbyax例例1 、 將下列參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由式變形得：解：由式變形得： cos222axsin222by將兩式相加得：將兩式相加得：122

32、22byax由式變形得由式變形得：2021/3/94821sin,cos200gttvytvx例例2 、將下列參數(shù)方程化為普通方程、將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由得：解：由得：cos0vxt 代入，消去參數(shù)代入，消去參數(shù) t ，得普通方程，得普通方程xxvgycossincos222202021/3/949例例3 、 將直線的點斜式方程將直線的點斜式方程 y-y0=tg(x-x0) 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程解解:將直線的點斜式方程變形為將直線的點斜式方程變形為txxyycossin00是參數(shù)）ttyytxx(.sin,cos00即即2021/3/950例例4 、將下面參數(shù)方程化為普通方、將下面參數(shù)方程化為普通方程程為參數(shù)）(.tg,secbyax解：將參數(shù)方程變形為：解：將參數(shù)方程變形為：.tg,secbyax再將兩方程的兩邊平方后相減，得再將兩方程的兩邊平方后相減，得12222byax2021/3/951例