小學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)故事∶幾何原本與分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1、小學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)故事：幾何原本與分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算（08數(shù)教（2）班34號張露）在人教版五年級的課程中，我們將會學(xué)到一些簡單的幾何學(xué)、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)及其加減、簡易方程、多邊形的面積等等。下面將介紹該課程中部分知識的有關(guān)歷史。幾何原本課程的第三單元是講對長方體和正方體的認(rèn)識及計(jì)算它們的表面積。這是有關(guān)幾何學(xué)的范疇。幾何學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，它主要研究空間圖形的有關(guān)問題。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作幾何原本在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著深遠(yuǎn)的影響。該書從17世紀(jì)初開始傳入我國。歐幾里得著有幾何原本（以下簡稱原本）一書，該書共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用幾何方法講述比例和算術(shù)理論以外，其他各卷都是論述幾

2、何問題的。這部書成為傳播幾何知識的教科書達(dá)2000年之久，現(xiàn)代初等幾何學(xué)（即平面幾何和立體幾何）的內(nèi)容基本全包括在此書內(nèi)。中國最早的譯本是明代萬歷年間（1607）由大學(xué)士徐光啟與意大利天主教傳教士利瑪竇合譯的幾何原本前6卷。原本之所以具有價(jià)值，不僅因?yàn)闅W幾里得非常詳盡地搜集了當(dāng)時(shí)所知道的一切幾何資料，而更重要的是把那些分散的知識用邏輯推理的方法編排成一個(gè)有系統(tǒng)的演繹的幾何學(xué)體系。他是歷史上第一個(gè)創(chuàng)造了一個(gè)比較完整的數(shù)學(xué)理論的人。歐幾里得的幾何原本共有23個(gè)定義，5條公設(shè)，5條公理，他力圖把幾何學(xué)建立在這些原始的定義、公理和公設(shè)的基礎(chǔ)上，然后以這些顯然的假設(shè)為依據(jù)推證出體系里的一切定理。由于歐幾

3、里得所處的時(shí)代是人類文明的初期，受時(shí)代的局限，原本的邏輯系統(tǒng)不可能完美無缺，在許多地方出現(xiàn)了漏洞。例如：常常使用未經(jīng)定義過的概念來解釋一個(gè)新的概念；用了既不是公理，又不是公設(shè)，也沒有證明過的結(jié)論作為論證命題的依據(jù)；等等。正因?yàn)槿绱?，在原本問世?000年中，一方面原本作為用邏輯來敘述科學(xué)的典范，對數(shù)學(xué)其他分支甚至整個(gè)科學(xué)發(fā)展起著深遠(yuǎn)的影響；另一方面，對于原本在邏輯上的欠缺進(jìn)行修改、補(bǔ)充和研究工作從未停止過，對于原本中的定義、公理、公設(shè)的研究成了歷代數(shù)學(xué)家的重要課題。尤其對于原本中的第五公設(shè)，許多數(shù)學(xué)家對它產(chǎn)生了懷疑，最終導(dǎo)致非歐幾何的創(chuàng)建（見非歐幾里得幾何學(xué)）。分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算課程的第四、五單元

4、主要是了解分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)及其加減法。在我國古代，九章算術(shù)對分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則就有著詳細(xì)論述。九章算術(shù)中的分?jǐn)?shù)知識(包括約分、通分和加減乘除法則)已是當(dāng)時(shí)世界上最系統(tǒng)、最完備的分?jǐn)?shù)理論。在方田章中已有明確的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，其它各章還有很多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。 1.分?jǐn)?shù)加減法分?jǐn)?shù)加法稱為合分；分?jǐn)?shù)減法稱為減分。其法則為：以分?jǐn)?shù)分子、分母交叉相乘，乘積相加減后的結(jié)果作為"實(shí)"，以分母相乘作為"法"，"實(shí)如法而一"，用今天的符號表示就是。如方田章第8題。這里用到了通分，但沒有用到最小公分母，而是相加減后再約分，顯得比較繁瑣。少廣章則進(jìn)了一步，其程序可以

5、求出較小的公倍數(shù)，有的甚至就是最小公倍數(shù)。2.分?jǐn)?shù)乘除法分?jǐn)?shù)乘法稱為乘分，其法則是：以分母的乘積為分母，以分子的乘積為分子，同今天方法一樣。分?jǐn)?shù)除法稱為經(jīng)分，其法則是把實(shí)和法通分，然后讓分子相除；后來劉徽又補(bǔ)充了一個(gè)更為簡便的法則：將法的分母、分子顛倒，與實(shí)相乘；這就是今天小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的顛倒相乘。3.分?jǐn)?shù)約分法則先進(jìn)行觀察，若分子、分母都是偶數(shù)，則先除以2，否則將分子、分母"以少減多，更相減損"，最后得到"等數(shù)"，此為原分子、分母的最大公約數(shù)。用等數(shù)約之，即把數(shù)化簡了。這種求等數(shù)的方法與歐幾里得求最大公約數(shù)的方法是一致的，現(xiàn)代算術(shù)教科書中的輾轉(zhuǎn)相除法即

6、由此而來。應(yīng)該指出，古人的計(jì)算方式是籌算而不是上述的現(xiàn)代筆算，例如，方田章第6問約簡，先用籌算求得"等數(shù)"7，以7除分子、分母，得最簡分?jǐn)?shù)。以上是世界上最早的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則。大約15世紀(jì)歐洲才通行分?jǐn)?shù)算法，印度到七世紀(jì)才有與中國相同的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。了解我國古代的分?jǐn)?shù)理論及其成就，教師可以從中吸取營養(yǎng)，來豐富自己的教學(xué)是很有益的，特別是分?jǐn)?shù)乘法和除法法則的理由對今天小學(xué)教學(xué)仍有重要的指導(dǎo)意義。歷史上的分?jǐn)?shù)概念及其運(yùn)算的產(chǎn)生都先于小數(shù)，中外一理。而在教學(xué)順序上則小數(shù)先于分?jǐn)?shù)，這是由于小數(shù)運(yùn)算接近整數(shù)，較分?jǐn)?shù)方便。安排教學(xué)程序則以可接受性優(yōu)先，教師應(yīng)心中有數(shù)。三角形的面積計(jì)算三

7、角形面積計(jì)算："圭田術(shù)曰，半廣以乘正從"。三角形的田，古稱"圭田"，"正從"是指垂直于底的那個(gè)高，所以三角形的面積等于底乘高的一半。梯形面積的計(jì)算：梯形的田稱"箕田"，同樣給出其面積等于上、下底相加與高相乘的一半。九章算術(shù)及其劉注中關(guān)于三角形、梯形面積公式借助于傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理作出的。所謂出入相補(bǔ)，劉徽稱之為以盈補(bǔ)虛，按現(xiàn)代的說法，即：一個(gè)平面圖形移動(dòng)前后，面積不變；一個(gè)平面圖形割成若干塊，各塊面積之和等于原圖形面積(立體也同樣)。三角形和梯形面積的公式都可根據(jù)長方形面積公式，利用出入相補(bǔ)原理而得到如： 三角形面積=1/2×底×高 梯形面積=1/2×(上底+下底)