初一數(shù)學(xué)下冊(cè)因式分解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹：一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法：在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為

2、因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：（3）立方和公式：（4）立方差公式： 例.已知是的三邊，且， 則的形狀是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形解： 三、分組分解法：（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四

3、項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）四、十字相乘法：（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5

4、。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2 解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5

5、（-6）+（-5）= -11解：=練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個(gè)整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）

6、（8）（9） （10）思考：分解因式：五、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1） （2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =練習(xí)14、（1）（2）六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)。 解法2添項(xiàng)

7、。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=練習(xí)15、分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6）七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)= 則=比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=（2）分析：是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解：設(shè)= 則=

8、解得，=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4） 為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的_的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 . 6、若，則=_，=_。二、選擇題7、多項(xiàng)式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )A、 B、C、

9、D、10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各個(gè)分解因式中正確的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式，那么k應(yīng)為（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：

10、 14、 15、16、 17、 18、 19、； 五、解答題20、如圖，在一塊邊長(zhǎng)=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng)=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長(zhǎng)。利用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)dD22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫(xiě)出第(5)個(gè)等式。經(jīng)典二：因式分解小結(jié)知識(shí)總結(jié)歸納 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。 1

11、. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成冪的形式； 6. 題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆

12、項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法； 下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。 1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過(guò)變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)

13、，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說(shuō)明：利用等式化繁為易題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解： 說(shuō)明：代數(shù)證明問(wèn)題在初二是較為困難的問(wèn)題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于

14、零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說(shuō)明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算。實(shí)戰(zhàn)模擬1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。 4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)） 5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_。2、則=_=_3、與的公因式是4、若=，則m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=

15、_。7、8、已知?jiǎng)t9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，則k=_。12、若的值為0，則的值是_。13、若則=_。14、若則_。15、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項(xiàng)式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，則m，k的值分別是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1個(gè)，B、2個(gè)，C、3個(gè)，D、4個(gè)4、計(jì)算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、 7、 8、 9 、 10、四、代數(shù)式求值（15分）1、

16、已知，求 的值。2、 若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值3、 已知，求的值五、計(jì)算： （15）（1） 0.75 （2） （3）六、試說(shuō)明：（8分）1、對(duì)于任意自然數(shù)n，都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)算（8分）1、一種光盤(pán)的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤(pán)的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述：甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式 乙：三

17、次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式 ?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四： 因式分解一、 選擇題1、代數(shù)式a3b2a2b3, a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(xy)10b·(xy)，提出的公因式應(yīng)當(dāng)為（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx3、把8m312m24m分解因式，結(jié)果是（ ）A、4m(2m23m) B、4m(2m23m1) C、4m(2m

18、23m1) D、2m(4m26m2)4、把多項(xiàng)式2x44x2分解因式，其結(jié)果是（ ）A、2(x42x2) B、2(x42x2) C、x2(2x24) D、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）A、21998 B、21998 C、21999 D、219996、把16x4分解因式，其結(jié)果是（ ）A、(2x)4 B、(4x2)( 4x2) C、(4x2)(2x)(2x) D、(2x)3(2x)7、把a(bǔ)42a2b2b4分解因式，結(jié)果是（ ）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)28、把多項(xiàng)式2x22x分解因式，其結(jié)果是（ ）A、(2

19、x)2 B、2(x)2 C、(x)2 D、 (x1)2 9、若9a26(k3)a1是完全平方式，則 k的值是（ ）A、±4 B、±2 C、3 D、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果（ ）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多項(xiàng)式x23x54分解因式為（ ）A、(x6)(x9) B、(x6)(x9) C、(x6)(x9) D、 (x6)(x9)二、填空題1、2x24xy2x = _(x2y1) 2、4a3b210a2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1) 4、m(mn)2(nm)2 =(_

20、)(_)5、x2(_)16y2=( )2 6、x2(_)2=(x5y)( x5y)7、a24(ab)2=(_)·(_) 8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)= (xyz)·(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)·(_) 10、(ab)3(ab)=(ab)·(_)·(_)11、x23x2=(_)(_) 12、已知x2px12=(x2)(x6)，則p=_.三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x22x3 (2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2 (4)(x2)2x2(5)25m210mnn2 (6)12a2b(xy)4

21、ab(yx)(7) (x1)2(3x2)(23x) (8)a25a6 (9)x211x24 (10)y212y28 (11)x24x5 (12)y43y328y22、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。（1）9992999 （2）2022542256×352 (3) 3、已知：xy=,xy=1.求x3y2x2y2xy3的值。四、探究創(chuàng)新樂(lè)園1、 若ab=2,ac=,求(bc)23(bc)的值。 2、求證：11111110119=119×109經(jīng)典五： 因式分解練習(xí)題一、填空題： 2(a3)(32a)=_(3a)(32a)；4若m23m2=(ma)(mb)，則a=_，b=_；5當(dāng)m=_時(shí)，x22

22、(m3)x25是完全平方式二、選擇題：1下列各式的因式分解結(jié)果中，正確的是 Aa2b7abbb(a27a) B3x2y3xy6y=3y(x2)(x1)C8xyz6x2y22xyz(43xy) D2a24ab6ac2a(a2b3c)2多項(xiàng)式m(n2)m2(2n)分解因式等于 A(n2)(mm2) B(n2)(mm2) Cm(n2)(m1) Dm(n2)(m1)3在下列等式中，屬于因式分解的是 Aa(xy)b(mn)axbmaybn Ba22abb21=(ab)21C4a29b2(2a3b)(2a3b) Dx27x8=x(x7)84下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 Aa2b2 Ba2b2 C

23、a2b2 D(a2)b25若9x2mxy16y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是 A12 B±24 C12 D±126把多項(xiàng)式an+4an+1分解得 Aan(a4a) Ban-1(a31) Can+1(a1)(a2a1) Dan+1(a1)(a2a1)7若a2a1，則a42a33a24a3的值為 A8 B7 C10 D128已知x2y22x6y10=0，那么x，y的值分別為 Ax=1，y=3 Bx=1，y=3 Cx=1，y=3 Dx=1，y=39把(m23m)48(m23m)216分解因式得 A(m1)4(m2)2 B(m1)2(m2)2(m23m2)C(m4)2(m1)2

24、D(m1)2(m2)2(m23m2)210把x27x60分解因式，得 A(x10)(x6) B(x5)(x12) C(x3)(x20) D(x5)(x12)11把3x22xy8y2分解因式，得 A(3x4)(x2)B(3x4)(x2) C(3x4y)(x2y) D(3x4y)(x2y)12把a(bǔ)28ab33b2分解因式，得 A(a11)(a3) B(a11b)(a3b) C(a11b)(a3b) D(a11b)(a3b)13把x43x22分解因式，得 A(x22)(x21) B(x22)(x1)(x1) C(x22)(x21)D.(x22)(x1)(x1)14多項(xiàng)式x2axbxab可分解因式為 A(xa)(xb) B(xa)(xb) C(xa)(xb) D(xa)(xb)15一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，其x2項(xiàng)的系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是12，且能分解因式，這樣的二次三項(xiàng)式是 Ax211x12或x211x12 Bx2x12或x2x12Cx24x12或x24x12 D以上都可以16下列各式x3x2x1，x2yxyx，x22xy21，(x23x)2(2x1)2中，不含有(x1)因式的有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)17把9x212xy36y2分解因式為 A(x6y3)(x6x3) B(x6y3)(x6y3)C(x6y3)(x6y3) D(x6y3)(x6y3)18下列因式