北京市西城區(qū)-學(xué)度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)(理科)

1、北京市西城區(qū)2022 2022學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)理科第I卷選擇題共40分一、選擇題：本大題共 8小題，每題5分，共40分在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求 的一項(xiàng).1 集合 A x R |0 x 1 , B x R|(2x 1)(x 1)0，那么 AU B A(0,1) B( 1,1)21c( , 1)U(2， )D( ，1)U(0,)5i2 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 旦的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于2 iA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,)，那么過點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是6A sin 1Bsin 3Ccos 1Dcos 一 34 執(zhí)行如以下圖的程序框圖假設(shè)輸出

2、S 15,那么框圖中處可以填入Ak 2Bk 3Ck 4Dk 55函數(shù)f(x) x bcosx，其中b為常數(shù).那么“ b 0是“f(x)為奇函數(shù)的A充分而不必要條件C充分必要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件b2的取值范圍是4B(4,16)C(1,16)D(半,4)57某四面體的三視圖如以下圖該四面體的六條棱的長(zhǎng)度中，最大的是A2,5B26C2.7D4.2&將正整數(shù)1,2,3,4,5,6,7隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個(gè)數(shù)，那么兩組中各數(shù)之和相等的概率是A221B-C-D63212636a,b是正數(shù)，且滿足 2 a 2b 4 那么a2第n卷非選擇題共no分、填空題：本大題共

3、6小題，每題5分，共30 分.9.向量a (1,3), b ( 2,1), c (3,2).假設(shè)向量c與向量ka b共線，那么實(shí)數(shù)k 10.如圖，Rt ABC 中， ACB90 , AC 3 ,BC4 以AC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D，那么BDCD.11.設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn .假設(shè)a1a34Sk 63，那么 k 12.橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1 , F2，點(diǎn)P在該橢圓上假設(shè)| PR | | PF2 | 2，那么PFE的面積是nn13函數(shù)f(x) sin(2x )，其中x ,a 當(dāng)a 時(shí)，f(x)的值域是6631的值域是,1，那么a的取值范圍是 .2;假設(shè)f (x)14函數(shù)f

4、 (x)的定義域?yàn)镽 假設(shè) 常數(shù)c 0,對(duì) xR，有 f (x c)f (x c)，那么稱函數(shù)f (x)具有性質(zhì)P .給定以下三個(gè)函數(shù): f (x) 2x ； f (x) sinx ; f (x) x3 x .其中，具有性質(zhì) P的函數(shù)的序號(hào)是 三、解答題：本大題共 6小題，共80分解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15. 本小題總分值13分在厶 ABC 中，、3sin 2B 1 cos2B .I求角B的值;n假設(shè)BC 2 , A ,求厶ABC的面積.416. 本小題總分值14分如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為正方形，PA PD , PA 平面PDC ,E為棱PD的中點(diǎn)

5、.I求證：PB /平面EAC ;n求證：平面 PAD 平面ABCD ；川求二面角 E AC B的余弦值.17. 本小題總分值13分生產(chǎn)A, B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296I試分別估計(jì)元件 A元件B為正品的概率；n生產(chǎn)一件元件 A,假設(shè)是正品可盈利 40元，假設(shè)是次品那么虧損 5元；生產(chǎn)一件元件 B,假設(shè)是正品可盈利50元，假設(shè)是次品那么虧損 10元.在I的前提下，i記X為生產(chǎn)1件

6、元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望;ii求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于 140元的概率.18. 本小題總分值13分函數(shù)f (x) ，其中b R .x bI求f(x)的單調(diào)區(qū)間；13n設(shè)b 0 .假設(shè) x 一，一，使f(x) 1，求b的取值范圍.4 4如圖，拋物線 y219. 本小題總分值14分4x的焦點(diǎn)為F 過點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于 A(X1,yJ ,B(X2,y2)兩點(diǎn)，直線AF ,BF分別與拋物線交于點(diǎn)I求y-iy2的值;n記直線MN的斜率為k ,直線AB的斜率為k2.證明:%為定值.k2Cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令嗎1%*%*1-4氣】%十

7、%20. 本小題總分值13分如圖，設(shè)A是由n n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aij (i, j 1,2,3，n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù)，且aj 1, 1.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于A S(n, n)，記ri (A)為A的第i行各數(shù)之積,nnl(A) A(A)Cj(A).i 1j 1I請(qǐng)寫出一個(gè) A S(4, 4)，使得l(A) 0 ;n是否存在 A S(9, 9)，使得l(A) 0 ?說明理由;川給定正整數(shù) n,對(duì)于所有的 A S(n, n),求l(A)的取值集合.北京市西城區(qū)2022 2022學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)理科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題：本大題共8小題

8、，每題5分，共40分.9.12.注:1016 125 '513.,11114.6 ;.10、13題第一問2分，第二問3分;14題結(jié)論完全正確才給分1. D;2.B;3.A；4.C;5. C;6. 1B;7. C;8.B.二、填空題:本大題共6小題，每題5分，共30分.三、解答題：本大題共 6小題，共80分假設(shè)考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給 分.15.本小題總分值13分I解法一：因?yàn)?,3sin 2B 1 cos2B ,所以 2 3sinBcosB 2sin2B . 3 分因?yàn)? B ，所以sin B 0,從而tan B 73 , 5 分n所以B - . 6分3解法二：

9、依題意得3si n2B cos2B 1 ,所以 2sin(2 B )1 ,61即 sin(2 B ). 3 分6 213因?yàn)? B ，所以一2B 6 6 6所以2B5所以b n6分解法一、：因?yàn)锳 ,B 二43AC根據(jù)正弦定理得ACBC7分sin Bsin A所以ACBC sin B.6.8分sin A因?yàn)镃A B59分12所以sin C.5 sin -sin/ _-、6 . 211分sin124 64，所以 ABC的面積-AC BCsinC213分解法二：因?yàn)锳 -,4冗B -,3根據(jù)正弦定理得ACBC7分sin Bsin A所以 AC BC sin B6 .8分sin A根據(jù)余弦定理得AC

10、22AB BC2 2ABBC cos B ,9分化簡(jiǎn)為AB22AB 20 ,解得AB 13.11分所以 ABC的面積-AB BCsinB 33213分16.本小題總分值14分n證明：因?yàn)?PA 平面PDC，所以PA CD .5分因?yàn)樗倪呅?ABCD為正方形，所以 AD CD ,所以CD 平面PAD .所以平面PAD平面ABCD .川解法在平面 PAD內(nèi)過D作直線Dz AD .因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，所以Dz 平面ABCD .由Dz, DA, DC兩兩垂直，建立如以下圖的空間直角坐標(biāo)系D xyz .設(shè) AB 4，貝y D(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,0), C(0,4,0

11、), P(2,0,2), E(1,0,1).所以 EA (3,0, 1) , AC ( 4,4,0).設(shè)平面EAC的法向量為n二(x,y,z)，那么有n EAn AC0,0.所以3x z 0,4x 4y 0.1，得 n(1,1,3).11分易知平面ABCD的法向量為v (0,0,1).12分13分所以 |cosn,v>由圖可知二面角 E AC B的平面角是鈍角,所以二面角E AC B的余弦值為3、111114分9分由MP,MA,MN兩兩垂直，建立如以下圖的空間直角坐標(biāo)系 M xyz.解法二：取AD中點(diǎn)M , BC中點(diǎn)N，連結(jié)PM , MN .因?yàn)锳BCD為正方形，所以 MN /CD .由

12、n可得MN 平面PAD .因?yàn)镻A PD，所以PM AD .設(shè) AB 4，那么 A(2,0,0), B(2,4,0), C( 2,4,0), D( 2,0,0), P(0,0,2), E( 1,0,1).所以 EA (3,0, 1) , AC ( 4,4,0).設(shè)平面EAC的法向量為n二(x, y,z)，那么有n EA 0,n AC 0.所以3x z 0, 4x 4y 0.1，得 n(1,1,3).11分易知平面ABCD的法向量為v (0,0,1).12分13分所以 |cosn,v> | |n v 1 3>j11 .|n |v|11由圖可知二面角 E AC B的平面角是鈍角,所以二

13、面角E AC B的余弦值為3.111114分4032 810040 29 610017.本小題總分值13分I解：元件A為正品的概率約為元件B為正品的概率約為43 31 3P(X90)-;P(X45) 54 55 4P(X430)-1 1;P(X15)1 154 55 4所以，隨機(jī)變量X的分布列為X904530153311P520520EX90 3 45 301(15)166.520520n解：i隨機(jī)變量 X的所有取值為90,45,30,15 .312020，ii設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有n件，那么次品有5 n件. 學(xué)習(xí)文檔僅供參考依題意，得 50n 10(5 n) 140,解得n196所以n

14、4，或n 5.設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于 140元為事件 A ,那么 P(A) C；(3)4 1 (3)54448112813分18.本小題總分值13分1I解：當(dāng)b 0時(shí)，f (x)丄.x故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,0) , (0,);無(wú)單調(diào)增區(qū)間.當(dāng)b 0時(shí)，f (x)b x2(x2 b)2'令 f (x) 0 ,得 x . b , x2b .f (x)和f (x)的情況如下:x(,7b) 血(亦,Jb)趴；品f (x)00f(x)/故f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(，-、b),)；單調(diào)增區(qū)間為(,b.b).5分當(dāng)b 0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)镈 x R|xb.因?yàn)閒 (x)0在D

15、上恒成立,)；無(wú)單調(diào)增區(qū)間.故f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(，b) , ( J b), C b,1 3n解：因?yàn)?b 0 , x 一，,4 411分13分1分4分5分13分14分所以f(x) 1等價(jià)于bX2 x，其中x -,-.4 4-311設(shè)g(x) x2 x , g(x)在區(qū)間-,上的最大值為g(-)4 4241 3-那么"x ,，使得bx2 x 等價(jià)于b -.4 44一 1所以，b的取值范圍是(0,.419.本小題總分值14分I解：依題意，設(shè)直線 AB的方程為x my 2 .將其代入y2 4x，消去x，整理得 y2 4my 8 0 .從而 y-i y28 .n證明：設(shè) M(xa,y

16、3), Ngy).2 2%y2那么34xX2y3 y444wy?k2x3x4y1y2亙亙yy2y3討4T 4設(shè)直線AM的方程為x ny 1，將其代入y2 4x，消去x ,整理得y2 4ny 40. 9分所以 y1y34. 10分同理可得 y2y44. 11分故&如y如yy yk2V3V4AA 4y1y2由得k2，為定值.20.本小題總分值13分I解：答案不唯一，如以下圖數(shù)表符合要求.11111111111111113分解：不存在 A S(9, 9)，使得1(A)0 . 4分證明如下：假設(shè)存在A S(9, 9)，使得l(A) 0 .因?yàn)?r(A) 1, 1 , Cj(A) 1, 1 (1

17、 i 9,1 j 9),所以 n(A), d(A) , d(A) , g(A) , C2(A)，C9(A)這 18個(gè)數(shù)中有 9個(gè) 1, 9 個(gè) 1 .令M n(A) r2(A)r9(A) g(A) c2(A)c9(A).一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1, 9個(gè)1，從而M ( 1)91另一方面，a(A) D(A)b(A)表示數(shù)表中所有元素之積記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為 m丨；2G(A) C2(A)Cg(A)也表示m, 從而M m 1.、相矛盾，從而不存在A S(9, 9)，使得l(A) 0 . 8分川解：記這 n2個(gè)實(shí)數(shù)之積為 p .一方面，從"行的角度看，有p ri(A) r2(A)rn (A)；另一方面，從“列的角度看，有p g(A) c2(A)cn(A).從而有 »(A) g(A)rn(A) g(A) C2(A)Cn(A). 10 分注意到 ri(A) 1, 1 , Cj(A) 1, 1 (1 i n,1 j n).下面考慮 n(A) , d(A)，-，rn(A) , g(A) , C2(A)，-，q(A)中 1 的個(gè)數(shù)：由知，上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中，1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為2k (0 k n)；那么1的個(gè)數(shù)為2n 2k,所以 l (A)( 1) 2k 1 (2n 2k)2(n2k) . 12