中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)中的面積計算問題（課堂PPT）

1、1專題十四專題十四 二次函數(shù)中的面積計算問題二次函數(shù)中的面積計算問題杭十三中杭十三中 景余俊景余俊2如圖，二次函數(shù)如圖，二次函數(shù) 圖象與軸圖象與軸x x交于交于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn)(A(A在在B B的左邊的左邊) )，與，與 y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C C，頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為M M ， 為為直角三角形直角三角形, , 圖象的對稱軸為直線圖象的對稱軸為直線 ，P P點(diǎn)是點(diǎn)是拋物線上位于拋物線上位于A A、C C兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)，則則 的面積的最大值為（的面積的最大值為（ ） MABPACC2yxbxc2x3.827.211.427.DCBA（西湖區(qū)（西湖區(qū)20112011學(xué)年第一

2、學(xué)期期末測試）學(xué)年第一學(xué)期期末測試）3342xxy3 xyAC解析式為直線P-3-13Q)34,2pppP（設(shè))3,ppQ（則PPPPPPQ3)34(322PPPPS2923)3(3212282723maxSp時，當(dāng)4PQ342xxy3 xyAC解析式為直線bxyPQ解析式為直線bxyxxy3420332bxx430)3(49bb5二次函數(shù)中面積問題常見解決方法：二次函數(shù)中面積問題常見解決方法：一、運(yùn)用一、運(yùn)用2 2鉛鉛錘錘高高水水平平寬寬 S二、運(yùn)用二、運(yùn)用y四、運(yùn)用分割四、運(yùn)用分割三、運(yùn)用相似三、運(yùn)用相似6BC鉛垂高鉛垂高水平寬水平寬ha圖圖2AxCOyABD11圖圖189例例1 1：如圖

3、如圖1 1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C C(1(1，4)4)，交，交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A A(3(3，0)0)，交交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)B B。（1 1）求拋物線和直線）求拋物線和直線ABAB的解析式；的解析式；（2 2）求）求CABCAB的鉛垂高的鉛垂高CDCD及及S SCAB CAB ；（3 3）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)是否存在一點(diǎn)P P，使，使S SPABPABS SCABCAB ，若存在，求出若存在，求出P P點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由。若不存在，請說明理由。一、運(yùn)用一、運(yùn)用2

4、2鉛鉛錘錘高高水水平平寬寬 S7xCOyABD11圖2P（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h 32, 4)1(2121xxyxy即(1)拋物線解析式為.32xyAB 解析式為直線.2,41),4, 1(21yyxC，時當(dāng).224CDCAB 的鉛錘高32321CABSxxxxxyyh3) 3() 32(2221389)3(321,892xxSSCABPAB23x, 322xx1代入y4151y），（41523P8AxyBO練習(xí)練習(xí)1如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，0)，連結(jié)，連結(jié)OA，將線段將線段OA繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120，得到線

5、段，得到線段OB（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使，使BOC的的周長最小？若存在，求出點(diǎn)周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（4）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)P是（是（2）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在x軸的下方，軸的下方，那么那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時是否有最大面積？若有，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由的最大面積；若沒有，請說明理由9A

6、xyBO解：（解：（1 1）如圖）如圖1 1，過點(diǎn)，過點(diǎn)B B作作BMBMx x軸于軸于M M由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OBOBOAOA2 2AOBAOB120120，BOMBOM6060M33332代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為yx 2x C（3 3）存在）存在 33332直線直線ABAB的解析式為的解析式為yx x x1 1代入直線代入直線ABAB的解析式的解析式 點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (1 1， ) )33P 389)21(232xSPAB21839當(dāng)當(dāng)x x時，時，PABPAB的面積有最大值，最大值為的面積有最大值，最大值為)43,21(P323

7、260sin121260cos00OBBMOBOM，)3, 1 (B（2 2）設(shè)經(jīng)過）設(shè)經(jīng)過A A、O O、B B三點(diǎn)的拋物線的解析式為三點(diǎn)的拋物線的解析式為cbxaxy2102.2.如圖，拋物線如圖，拋物線y yx x 2 2bxbxc c與與x x軸交于軸交于A A(1(1，0)0)，B B( (3 3，0)0)兩點(diǎn)兩點(diǎn)（1 1）求該拋物線的解析式；）求該拋物線的解析式；（2 2）設(shè)（）設(shè)（1 1）中的拋物線交）中的拋物線交y y軸于軸于C C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q Q，使得使得QACQAC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)的周長最??？若存在，求出點(diǎn)

8、Q Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3 3）在（）在（1 1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P P，使，使PBCPBC的面積最大？的面積最大？若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)P P的坐標(biāo)及的坐標(biāo)及PBCPBC的面積最大值；若不存在，請說明理由的面積最大值；若不存在，請說明理由OBACyxQP)415,23( P32-2xxy(1)拋物線解析式為)2, 1(Q115ABMPONxyxmyx3如圖，已知拋物線yax 2bx4與直線yx交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為1和4。（1）求此拋物線的解析式。（2）若平行于y軸的直

9、線xm（0m1）與拋物線交于點(diǎn)M， （3）在（2）的條件下，連接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM 的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由。與直線yx交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長（用含m的代數(shù)式表示）。拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx 22x4 MNMPPNm 23m4 當(dāng)當(dāng)m1.5時，時，S S有最大值。有最大值。12例例2. 2. （貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，（貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A A（0 0，2 2），），O O（0 0，0 0），），B B（4 4，0 0），把），把AOB

10、AOB繞繞點(diǎn)點(diǎn)O O逆時針方向旋轉(zhuǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)9090得到得到CODCOD（點(diǎn)（點(diǎn)A A轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)C C的位置），的位置），拋物線拋物線yax 2bxc(a0)經(jīng)過經(jīng)過C C、D D、B B三點(diǎn)三點(diǎn)（1 1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2 2）若拋物線的頂點(diǎn)為）若拋物線的頂點(diǎn)為P P，求，求PABPAB的面積；的面積； （3 3）拋物線上是否存在點(diǎn)）拋物線上是否存在點(diǎn)M M，使，使MBCMBC的面積等于的面積等于PABPAB的面積？的面積？若存在，請求出點(diǎn)若存在，請求出點(diǎn)M M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由-3BAxyO2-1-112345-21345

11、二二. .運(yùn)用運(yùn)用y13-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)(1)拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過B B（4 4，0 0），），C C（2 2，0 0）可設(shè)拋物線的解析式為可設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)(x4)D D（0 0，4 4）代入上式）代入上式 21a)4)(2(21xxy解析式（2 2）SPABS四邊形四邊形PEOB SAOB SPEA6 （3 3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M M，其坐標(biāo)為，其坐標(biāo)為M M（x x，y y） 6621PABMBCSySy2 51, 229) 121-22xxy得（時，當(dāng)131, 229) 121-22xxy得（時，當(dāng))2,131 ()

12、,2,131 (),2 , 51 (),2 , 51 (4321MMMMEC14 132133練習(xí)練習(xí)1 1已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)yx 2axa2（1 1）求證：不論）求證：不論a a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x x軸總有兩個交點(diǎn)；軸總有兩個交點(diǎn)；（2 2）設(shè)）設(shè)a 0 0，當(dāng)此函數(shù)圖象與，當(dāng)此函數(shù)圖象與x x軸的兩個交點(diǎn)的距離為軸的兩個交點(diǎn)的距離為 時，求出此二次函數(shù)的解析式；時，求出此二次函數(shù)的解析式；（3 3）若此二次函數(shù)圖象與）若此二次函數(shù)圖象與x x軸交于軸交于A A、B B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P P，使得使得PABPAB的面積

13、為的面積為？若存在，求出若存在，求出P P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（1 1）a 24(a2)(a2)240不論不論a a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x x軸總有兩個交點(diǎn)軸總有兩個交點(diǎn)（2 2）設(shè)）設(shè)x1、x2是是x 2axa20的兩個根的兩個根則則x1x2a，x1x2a2此函數(shù)圖象與此函數(shù)圖象與x x軸的兩個交點(diǎn)的距離為軸的兩個交點(diǎn)的距離為13(x1x2)213即即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得整理得(a1)(a5)0，解得解得a1或或a5a 0，a1此二次函數(shù)的解析式為此二次函數(shù)的解析式為yx 2x3 （3 3）設(shè)點(diǎn)

14、）設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x，y y）213321yABSPAB|y|3，y3 再得再得x2或或x3；x0或或x1 P1（2，3），），P2（3，3），），P3（0，3）或）或P4（1，3）1532BAOQPxy2已知：已知：t1，t2是方程是方程t 22t240的兩個實(shí)數(shù)根，且的兩個實(shí)數(shù)根，且t1t2，拋物線拋物線yx 2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（t1，0），），B（0，t2）（3 3）在（）在（2 2）的條件下，當(dāng)）的條件下，當(dāng)OPAQOPAQ的面積為的面積為2424時，是否存在這樣的點(diǎn)時，是否存在這樣的點(diǎn)P P，使使OPAQOPAQ為正方形？若存在，求出為正方形？若存在

15、，求出P P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（1 1）求這個拋物線的解析式；）求這個拋物線的解析式；（2 2）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P P（x x，y y）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQOPAQ是以是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求為對角線的平行四邊形，求OPAQOPAQ的面積的面積S S與與x之間的函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量關(guān)系式，并寫出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；431432)1(2xxy)16(25)27(4)2(2xxs（3 3）當(dāng)）當(dāng)S S2424時時, , P P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（3 3，4 4

16、）、（）、（4 4，4 4）當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P為（為（3 3，4 4）時，滿足）時，滿足POPOPAPA，此時，此時，OPAQOPAQ是菱形是菱形當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P為（為（4 4，4 4）時，不滿足）時，不滿足POPOPAPA，此時，此時OPAQOPAQ不是菱形不是菱形要使要使OPAQOPAQ為正方形，那么，一定有為正方形，那么，一定有OAOAPQPQ，OAOAPQPQ，此時，此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 3，3 3），而（），而（3 3，3 3）不在拋物線上，故）不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)不存在這樣的點(diǎn)P P，使，使OPAQOPAQ為正方形為正方形 16例3:如圖，拋物線與x軸交于A（x1，

17、0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的兩個根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)CPE的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；BAyOPECx（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使QBC成為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（解：（1 1）解方程）解方程x22x80，得得x12，x24 AA（4 4，0 0），），B B（2 2，0 0）拋物線與拋物線與x x軸交于軸交于A A，B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解

18、析式為可設(shè)拋物線的解析式為y ya(x(x2)(x2)(x4)4)（a0a0） 又又拋物線與拋物線與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C C（0 0，4 4），），aa2 2( (4)4)4 4， 4212xxy21a三、運(yùn)用相似三、運(yùn)用相似17BAyOPECx（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EGx軸于點(diǎn)G，如圖A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC342,624,mEGmEGABBPCOEGSCPESCBPSBPE3) 1(31)3424)(2(2121212mmmEGBPCOBPSSsBPECBPCPE2m4，當(dāng)m1時，SCPE有最大值3此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）)

19、19(1,4Q),19(1,4Q),11(1,Q),11(1,Q(1,1),Q54321G18練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線yax 2bxc與與x軸交于軸交于A、B兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C其中點(diǎn)其中點(diǎn)A在在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在在y軸的負(fù)半軸上，線段軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長的長（OAOC）是方程是方程x 25x40的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x1（1 1）求）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2 2）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；yxBDOAEC（3 3）若點(diǎn)）若點(diǎn)D是線段是線段AB上的一個

20、動點(diǎn)（與點(diǎn)上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)不重合），過點(diǎn)D作作DEBC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E，連結(jié)，連結(jié)CD，設(shè)，設(shè)BD的長為的長為m，CDE的面積為的面積為S，求求S與與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍的取值范圍S是否存在最大值？是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時若存在，求出最大值并求此時D點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由A（1，0），B（3，0），C（0，4） 438342xxy)40(2)2(212mmS當(dāng)m2時，S有最大值2 D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0） 192 2如圖，在梯形如圖，在梯形ABCD中，中，DCAB，A90，AD

21、6厘米，厘米，DC4厘米，厘米，BC的坡度的坡度i3 : 4動點(diǎn)動點(diǎn)P從從A出發(fā)以出發(fā)以2 2厘米厘米/ /秒的速度沿秒的速度沿AB方向向點(diǎn)方向向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動，動點(diǎn)動點(diǎn)Q從點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)以出發(fā)以3 3厘米厘米/ /秒的速度沿秒的速度沿BCD方向向點(diǎn)方向向點(diǎn)D運(yùn)動，兩個動點(diǎn)運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒秒（1 1）求邊）求邊BC的長；的長；（2 2）當(dāng)）當(dāng)t為何值時，為何值時，PC與與BQ相互平分；相互平分；（3 3）連結(jié)）連結(jié)PQ ，設(shè)，設(shè)PBQ的面積為的面積

22、為y，探求，探求y與與t的函數(shù)關(guān)系式，的函數(shù)關(guān)系式，求求t t為何值時，為何值時，y y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？ CDABQPBC10522t=0 t 時 20CDABQPE EF F ./31001QFCEtBCQ時，上，在當(dāng).59,1036,tQFtQFBCBQCEQF即ttttQFPBSPBQ5545959)212(212125813581)3(59max2ytt時，21CDABQP163106366)212(2121314310)2(maxytttCEPBStCDQPBQ時，時，上，即在當(dāng)E E綜合，得 當(dāng)t3秒時，y有最大值為581厘米2 223. （11杭州

23、）（本小題滿分12分）圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，又關(guān)于直線AC，BD對稱，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線段AB上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h1和h2， OEF與OGH組成的圖形稱為蝶形。（1）求蝶形面積S的最大值；（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時，求h1與h2 滿足的關(guān)系式，并求h2的取值范圍。231565hEF2111166515255522OEFSSEFhhhh max152S解解：（：（1 1）由題意，得四邊形）由題意，得四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .，1655EFh即152h 所以當(dāng)時，./EFBD由由ABDAEF24yxBAO

24、C例4如圖，拋物線yx 22xk與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（圖2、圖3為解答備用圖）（1）k ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）設(shè)拋物線yx 22xk的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線yx 22xk上求點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形3 （1，0） （3，0） M（2）M的坐標(biāo)為（1，4） S四邊形ABMC SAOC SCOM SMOB9 四、運(yùn)用分割方法四、運(yùn)用分割方法25yxBAOCD（3）設(shè)D（m，m 22m3），連結(jié)O

25、D，如圖則0m3，m 22m30S四邊形ABDC SAOC SCOD SDOB875)23(2362923323213213121222mmmmmmS23m當(dāng)四邊形ABDC的面積最大 )415,23(D（4）Q1（2，5）和Q2（1，4）OCABxyM（圖）OCABxy（圖）練習(xí)練習(xí)1 1如圖如圖，已知拋物線，已知拋物線yax 2bx3（a0）與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A(1，0)和和點(diǎn)點(diǎn)B(3，0)，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C（1 1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2 2）設(shè)拋物線的對稱軸與）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；若不存在，請說明理由；（3 3）如圖）如圖，若點(diǎn)，若點(diǎn)E E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE， 求四邊形求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時面積