抽象函數(shù)學(xué)案

1、抽象函數(shù)是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)，而未給出函數(shù)解析式的一類(lèi)函數(shù)，抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景，且構(gòu)思新穎，條件隱蔽，技巧性強(qiáng)，解法靈活。因此。，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中成為考查重點(diǎn)。一.求定義域例1.若函數(shù)y = f（x）的定義域是2，2，則函數(shù)y = f（x+1）+f（x1）的定義域?yàn)?例2.已知函數(shù)f（x-1）的定義域是-1，1，則函數(shù)f(x+1)的定義域是 。二、求函數(shù)解析式例3：是否存在這樣的函數(shù)f（x），使下面3個(gè)條件：（1）（2）（3）同時(shí)成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，說(shuō)明理由。二.周期性問(wèn)題與求函數(shù)值例4：.若f(x+2)=f(x)對(duì)一切x恒成立

2、，則周期為 4 變題1：若對(duì)一切x恒成立，則周期為 4 變題2：若,則f(x)的周期是 5 變題3：若,則f(x)的周期是 10 練習(xí)：設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足：f（x+2）=f（x），當(dāng)0x1時(shí) f(x)=x 則f（7.5）等于( )（A）0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5 例5： 設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意x1,x20，都有 （）（）證明是周期函數(shù)；三. 判斷函數(shù)奇偶性對(duì)稱(chēng)性例6：.已知函數(shù)y=f(x)，(xR)，若f(2+x)=f(2-x) 則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線 X=2 對(duì)稱(chēng)。變題1：若將條件f(2+x)=f

3、(2-x) 改成f (x)=f (4-x)呢？改成f (1+x)=f (3- x)呢？變題2： 已知函數(shù)y=f(x)，(xR)，則y=f(2+x)與 y=f(2-x) 的圖象關(guān)于直線 X=0 對(duì)稱(chēng)。 變題3：設(shè)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)對(duì)一切，都滿(mǎn)足 求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱(chēng)圖形xx3y2x1x2x4練習(xí)：函數(shù)y=f(x) 對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足f(4+x)=f(-x)，若方程f(x)=0恰好有4個(gè)不同的實(shí)根、則這些實(shí)根之和為 （ ）。（A）0； （B）2； （C）4； （D）8。 例8：設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） 且f（0）0.（1）求證f（0）=1；（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù)四單調(diào)性問(wèn)題例9已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足任意xR，f(x2)=f(x),又x4,6時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，試比較f(ln4)與f(ln2)的大小。例10設(shè)f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在0，1)上是增函數(shù)，又f(a-2) -f(4-a2) 0,求實(shí)數(shù)a的范圍。 例11.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a，b，