彈性力學(xué)答案縮印匯編

1、2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q試證：丁弍了二q及Xy能滿足平衡微分方程、相容方程和 應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力 口和切應(yīng)力 劭的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 ，然 后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。證明：（1）將應(yīng)力分量C5和fx =fy 分別代入平衡微分方程、相容方程4嶋心口）二衛(wèi) j（占占）=ox ?x ?（b）顯然（a）、（ b）是滿足的（2）對于微小的三角

2、板A, dx, dy都為正值，斜邊上的方向余弦1 -Cos（n，x）, m -cos（n, y），將；：x -;：y =4，,y =° 代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式鈿 Tx）s =fx （S）屮 £y）s =fyG）©則有:：cos（n,x） _ _q cos（n, x） .：. © co s", y）二_q co sn ,y）所以二K，二"。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量；二=衛(wèi)及旳二0代入物理方程，得形變分量（）然后，將（d）的

3、變形分量代入幾何方程，得(e)解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為M（X）二-,橫截面對z軸仲性軸）的慣性矩為h312,根據(jù)材料力學(xué)公式,彎應(yīng)力M (x) y!Iz12F該截面上的剪力為Fs（x） =*，剪應(yīng)力”上竺（I_4i）=_6；（匚y2）_ 02 hh2h3 4；并取擠壓應(yīng)力、=0（2）經(jīng)驗證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程也能滿足相容方程再考察邊界條件：在 y = h/2的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:心人斗二0（亦）斗二0 ；,（<5 ）y/2（盂）y_h/2 仝 > 能滿足在次要邊界X=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:u丿卷qx卄（y）前而式的積

4、分得到EVt(x)(f)C 圭dy -Q(s)x±ydy=0(.xy)xy 二-F其中的fi和f2分別是y和x的待定函數(shù),可以通過幾何方程的第三式求出，將式滿足應(yīng)力邊界條件。（f）代入（e）的第三式得dfi(y)'"dy-_df2(x) 一 dx在次要邊界x d上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是 x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)3,于是有 dy, dx，積分以后得fi（ y）=-卻七° f2（x）卄。>代入（f）得位移分量u蘭蛻_好妞'血）v=qy 弋M -w滿足應(yīng)力邊界條件其中,%, 為表示剛體位

5、移量的常數(shù)，須由約束條件求得。從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分 量是正確的解答。因此，他們是該問題的解答。尸2 12FQxyL/2 討ydy 二°h/2 12F2(：x)xdyh/2 ly 一月(Gx 回二；：莘4 y2) 7(e)(f)(g)3-6如題3-6圖所示的墻，高度為 h，寬度為b, h?b, 在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用。試用應(yīng)力函數(shù)門-切、Bx2y求解應(yīng)力分量。詁負(fù)去占i門-2Cx -6Dy門二 _!：gy細(xì)二 _? Cy根據(jù)斜邊界的邊界條件，它的邊界線方程是y二xta“ .；在斜面上沒有任何面力, 即fx =fy二0,按照一般

6、的應(yīng)力邊界條件，有I (仃)y 蘭an0) y x tanGt*m (Qy ) y x tan( y ) y x tan -二0（2）應(yīng)力分量表達(dá)式將(e)、(f)、( g)代入得l (2Cx 亠6Dx tan -) -m( _2Cx tan -) _0m(_：gxtan -.)l(_2Cxtan -.) -0(h)(i)解（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)q代人相容方程Q=°中，其中由圖可見，l zzcos(n,x) _；cosm -cos n, y) cos-代入式（h）、（i）求解C和D,即得C 擄 cot：.則只有A=B=0），可用積分的應(yīng)力邊界條件代替b/2b/ 2 (爲(wèi))y 空X

7、 /（3）考察邊界條件：在主要邊界 x = b/2上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即（CX）x _12=，（韋人辛=2。在次要邊界y =°上, （；了）y ，而（yx）y 土二0的條件不可能精確滿足（否將這些系數(shù)代入式（b）、（ c）、（ d）得應(yīng)力分量的表達(dá)式I x = Qxcot_2 Mycot2 :.3 =-：gy刊-_：-gycot4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如題4-12圖所示.試求其應(yīng)力分量。（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得2q聖xy'bT yqx2部叫）H 11 fl3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為 式的應(yīng)力函數(shù)求解。二

8、試用純?nèi)谓猓?）應(yīng)力函數(shù)：= （Acos2 -Bsin2 C D），進(jìn)行求解由應(yīng)力函數(shù)-y：得應(yīng)力分量劈亠(Acos+B sin2d_C®_D) 盤聲爭=2 (A cos2 軒B sin 2® 4C 9+D)解（1）相容條件：設(shè)：.：=Ax3 -Bx2y Cxy2 亠Dy3不論上述中的系數(shù)取何值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。（2）體力分量fxfy =g由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式:二畀-6Ax 2By _©y(C)x：y2Bx 4Cy(d)（3）考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù)先考察主要邊界上y =°的邊界條件：（”-y）y±m

9、，（ yx ）y將應(yīng)力分量式（b）和式（c）代入，這些邊界條件要求=2 A sin 2：i_2 Bcos2：C（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得(；二)：-/2 =°(a)(.上/2 m(b)（二弓(c)(I p 爐=T(d)由式（a）得 2Acos：£f2Bsin：£C 2D =0(e)由式（b）得 2Asin /Bcos：勻(f)由式(© 得 2Acos-2Bsin -C：£2D =0(g)由式(d)得 NAsin ： JBcos, _C =. q(h)A q , B=0, Dcot（/式（e）、（ f）、（g）、（h）聯(lián)立求解，得2sin

10、a2將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得(6占慫 £，( xy)y±"Bx T 得 A=0，B=0 式（b）、（ c）、（ d）成為4 一 13設(shè)有內(nèi)半徑為r,外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力q,試求內(nèi)半徑和外半徑的改變， 并求圓筒厚度的改變。解本題為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力q的情 況下，取應(yīng)力分量表達(dá)式（B=0），內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求（.：.）芒=0，（.：.）芒（b0 住=T（CT0 倍=0由表達(dá)式可見，前兩個關(guān)于 -的條件是滿足的，而后兩個條件要求_尸；門）2 t =q由上式解得2 2qR r原來的間題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下

11、兩邊受均布壓力q,如圖所示。2C -0-(R2 _r2)2qrP(R2 r2)應(yīng)力分量T，二y二亠，丹二0代入坐標(biāo)變換式，得到外邊界上的邊界條件(a)把A,B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量,(二,>=qcos2 :( ；)：，主=_qsin 2 :2qr2u產(chǎn)昭-T2)(1屮屮也囂h cos CP* sin (pU：討' I sin -'K COS式（c）中的 J 取任何值等式都成立，所以個自由項的系數(shù)為零(c)H=|=K=0。所以，軸對稱問題的徑向位移式（b）為_ qr2u ：二E(R2 丿2)在扎邊，邊界條件是（口 莊=0（c）（）理（d）由邊界條件式（a）

12、、（b）、（c）、（d）可見，用辦逆解法是，可假設(shè) :” :為:.的某一 函數(shù)乘以cos2；-,而.為：.的另一函數(shù)乘以sin 2”。而而圓簡是屬于平面應(yīng)變問題，故上式中E 占7 %代替，則有因此可假設(shè):,/-f ( ：-)cos2 。(e)cosd4f (:) 2 d3f( <) 兀4d l9 df(J)此時內(nèi)徑改刪去因子cos2 以后，求解這個常微分方程，得其中 A,B,C,D 為待定常數(shù)，代入式（e ）, 得應(yīng)力函數(shù)qr(1.-t) 2Rr：E:,；J=cos2 -'(A!-4 M C圓環(huán)厚度的改變?yōu)橛蓱?yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式4-15在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點處,應(yīng).力分

13、最為匸=;二=°如該處有一小圓孔.試求孔邊的最大正應(yīng)力。-?-_cos2 (2B 彎烏):-cos2 (12A：2 2B 駕)2卑6AP +2B_曙將上式代入應(yīng)力邊界條件2B由式（a）得=-q6AR2 42B由式(b)得2C 6D(g)(h)(i)6Ar2舒上曹由式（d）得一 _rr聯(lián)立求解式（g）丄j），并令rt°，得,B -,C _qr2,Dqr4將各系數(shù)值代入應(yīng)力分量的去達(dá)式，得r2r2op=qcos_）（1 蟲予）r20（p衛(wèi) cosZCpI -P_p-）r2r21評52前2隼二p）（1朋）沿著扎邊f(xié)=r沿著孔邊壬，環(huán)向正應(yīng)力是：:.二創(chuàng)遇2最大環(huán)向正應(yīng)力為（=；）

14、max - q4-17在距表面為h的彈性地基中，挖一直徑為d的水平圓形孔道，設(shè) h» d,彈性地基的密度為 二彈性模量為 E,泊松比為,試求小圓孔附近的最大、最小應(yīng)噲警2 v 咻曲（1培）-網(wǎng)匸co岬州） 倂巒J韜學(xué)網(wǎng)Jp1珥）環(huán)向正應(yīng)力是2（1 _2）:ghcos 2-最大環(huán)向正應(yīng)力為力。8-1設(shè)有任意形狀的等截面桿，密度為，上端懸掛，下端自由。如題 8-1圖所示,試考察應(yīng)力分量 二-3，匚=：gZ，.yz =°，.zx =°，.xy =°是否能滿足滬4；所有一切條件。詁馬詢曲山“曲解 按應(yīng)力求解空間問題時，須要使得六個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡徽

15、分方程，滿足相容方程；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（I） J =fy =°匚=一:g很顯然應(yīng)力分量滿足如下平衡徽分方程解距地表為h處，無扎時的鉛直應(yīng)力；匚=-gh，由水平條件x = y m可得匚=.了 =2lgh 心-d 、_% 、一z =：gz，應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程x向為水平月形孔道的軸向，在橫向y , z平面的主應(yīng)力為：丁二一:血（2）原來的問題變?yōu)楣艿涝谧笥覂蛇吺芫級毫υ谏舷聝蛇吺芫級毫'h=1，在上下兩邊受均布壓力 一:gh，如圖（a）所示。可以將荷載分解為兩垃fgh=0（1小七=0f部分：第一部分是四邊的均布壓力22（1 ：-）如圖（b）所示，第二部

16、口卑 （1 M斷（1"命（1亠墜2 yz 0分是左右兩邊的匚；（127（12立力-R2c）所示。對于第一部 分荷載，可應(yīng)用解答2（1和上下兩邊的均布壓力（1 W xz0（3）考察應(yīng)力邊界條件：柱體的側(cè)面和下端面，fx =fy =fz =°。.在（x, y）平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界 （側(cè)面方向余弦分別為n T，1，"為任意的；在下端對于第二部分解答，可應(yīng)用解答，教材中式（4-18）將兩部分解答疊加，即得原面方向余弦分別為n 7，1=°）應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力荷載作用下的應(yīng)力分量（基爾斯的解答）。分量、方向余弦分別代入下式（1<1怖為

17、x $ ）s =fx筍 Ht百）s =fy5口；十蒞怖忑）s =fz直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足，因此，所給應(yīng)力分是是本問題的解8-2設(shè)有任意形狀的空間彈性體，在全部邊界上（包括在孔洞邊界上）受有均布壓力q,試證應(yīng)力分量 j =7 二=亠、.YZ二專二迪 蘭 能滿足一切條件，因而 就是正確的解答。其中"00, 分量分別表示位移和剛體轉(zhuǎn)動，與形變無關(guān)。多連體上各個點的位移分量都是x, y,z的線性函數(shù)，所以滿足位移單值條件。U =2*qx 亠f（y,z）,v =2*qy 亠f2（x,z）, 丫=2 E'qz 亠f3（x,y）.其中的辦，f2, f3分別是y,z和x,z和xy的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的后三 個式子求出。df3（x,y） _ df2（x,z）dy dzdf3（x,y） df（y,z）idx 二_ dzdf2（x,z） _ dgyz）d 二_ dy滿足上述三個等式，只可能每個等式的左右兩邊等于同一個常數(shù)二：。積分以后得代入位移分量表達(dá)式得2,1.u E x_. y ;話 U0解：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程，相容方程及