拋物線的幾何性質(zhì)二

1、2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握直線與拋物線位置關(guān)系的判斷.2.掌握直線與拋物線相交時與弦長相關(guān)的知識.3.掌握直線與拋物線相關(guān)的求值、證明問題自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知直線與拋物線的位置關(guān)系及判定位置關(guān)系公共點判定方法相交有兩個或一個公共點k0或聯(lián)立直線與拋物線方程，得到一個一元二次方程，記判別式為相切有且只有一個公共點0相離無公共點0基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)經(jīng)過拋物線上一點有且只有一條直線與拋物線有一個公共點()(2)過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點()(3)過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點的直線有三條()提示(1)&

2、#215;過拋物線上一點與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線有一個公共點(2)(3)2已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()AB1CDC由點A(2,3)在y22px的準(zhǔn)線x上得p4，F(xiàn)(2,0)，kAF，故選C.3過拋物線y24x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，則|AB|_. 【導(dǎo)學(xué)號：73122172】8|AB|22(31)8.合 作 探 究·攻 重 難直線與拋物線的位置關(guān)系已知拋物線的方程為y24x，直線l過定點P(2，1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y24x：只有一個公共點；有兩個公共點

3、；沒有公共點？解由題意，設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由方程組(*)可得ky24y4(2k1)0. (1)當(dāng)k0時，由方程得y1.把y1代入y24x，得x.這時，直線l與拋物線只有一個公共點.(2)當(dāng)k0時，方程的判別式為16(2k2k1)由0，即2k2k10，解得k1，或k.于是，當(dāng)k1，或k時，方程只有一個解，從而方程組(*)只有一個解這時，直線l與拋物線只有一個公共點由>0，得2k2k1<0，解得1<k<.于是，當(dāng)1<k，且k0時，方程有兩個解，從而方程組(*)有兩個解這時，直線l與拋物線有兩個公共點由<0，即2k2k1>0，解得k<1，或

4、k>.于是，當(dāng)k<1，或k>時，方程沒有實數(shù)解，從而方程組(*)沒有解這時，直線l與拋物線沒有公共點綜上，我們可得當(dāng)k1，或k，或k0時，直線l與拋物線只有一個公共點；當(dāng)1<k<，且k0時，直線l與拋物線有兩個公共點；當(dāng)k<1，或k>時，直線l與拋物線沒有公共點規(guī)律方法直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程、拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù).注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況.跟蹤訓(xùn)練1如圖2­3­5，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值圖

5、2­3­5證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4·xB，即xB.以k代換xB中的k，得xC，kBC.直線BC的斜率為定值.與拋物線有關(guān)的中點弦問題探究問題對比橢圓的“中點弦”問題，思考與拋物線有關(guān)的“中點弦”問題的解題策略有哪些？提示(1)點差法：將兩個交點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，作差由k求斜率，再由點斜式求解(2)傳統(tǒng)法：設(shè)直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的

6、一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點縱(或橫)坐標(biāo)的2倍，從而求斜率已知A，B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線AB的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：73122173】思路探究用“點差法”解(1)由E的焦點為(1,0)，可設(shè)拋物線方程為y22px，且1，p2，拋物線方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2,1)為線段AB的中點可知直線AB斜率存在且不為零，設(shè)直線AB斜率為k.由A，B為拋物線上不同兩點得得k2，直線AB方程為y12(x2)，即2xy30.母題探究：1.(變換條件

7、)若本例中條件“線段AB恰被M(2,1)所平分”改為“線段AB恰被M(1,1)所平分”，問這樣的直線AB是否存在？若存在，求出直線AB的方程，若不存在，說明理由解由拋物線的焦點為(1,0)，所以1，p2，故拋物線方程為y24x.假設(shè)AB斜率存在，即AB不垂直于x軸，故可設(shè)AB所在直線的方程為y1k(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得ky24y44k0，164k(44k)>0恒成立，又由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，根據(jù)M為AB的中點，所以2，k2，所以所求直線方程為y12(x1)，即2xy10.當(dāng)AB的斜率不存在時，顯然不符合題意. 2(變換條件、改變問法)若

8、動點P在拋物線E上移動，求線段PM中點的軌跡方程解設(shè)P(x0，y0)，PM中點的坐標(biāo)為(x，y)，由中點坐標(biāo)公式得即p在拋物線y24x上，PM中點的軌跡方程為(2y1)28(x1)規(guī)律方法解決中點弦問題的基本方法是點差法、根與系數(shù)關(guān)系的方法，直線方程與拋物線方程聯(lián)立時，消y有時更簡捷，此類問題還要注意斜率不存在的情況，避免漏解.一般地，已知拋物線y22px(p>0)上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中點P(x0，y0)，則kAB，直線AB的方程為yy0 (xx0).線段AB的垂直平分線的方程為yy0(xx0).提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解.拋物線的綜合運

9、用如圖2­3­6所示，已知直線l：y2x4交拋物線y24x于A，B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使PAB的面積最大，并求出這個最大面積 【導(dǎo)學(xué)號：73122174】圖2­3­6思路探究解決本題的關(guān)鍵是弦AB為定值，將點P到直線AB的距離的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解在應(yīng)用配方法求最值時，一定要注意自變量的取值范圍解由解得或由題圖可知A(4,4)，B(1，2)，則|AB|3.設(shè)P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點，d為點P到直線AB的距離，則：d|(y01)29|.2y04，(y01)290.d9(y01)2從而當(dāng)y01時，dmax，

10、Smax××3.因此，當(dāng)點P的坐標(biāo)為時，PAB的面積取得最大值，最大值為.規(guī)律方法應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便.(2)軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系.(3)在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.(4)圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運算找到定點、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點、定值.跟蹤訓(xùn)練3如圖2­3&

11、#173;7所示，已知拋物線C：x24y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標(biāo)原點)圖2­3­7(1)求證動點D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，求證|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值證明(1)依題意可設(shè)直線AB的方程為ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x28.直線AO的方程為yx，直線BD的方程為xx2.可得交點D的坐標(biāo)為，注意到x1x28及x4y1，則有y

12、2.因此D點在定直線y2(x0)上(2)依題意得切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化簡整理得ba2.故切線l的方程可寫為yaxa2.分別令y2，y2得N1，N2的坐標(biāo)為：N1，N2，則|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2為定值8.當(dāng) 堂 達 標(biāo)·固 雙 基1拋物線y212x截直線y2x1所得弦長等于()A.B2C.D15A令直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x28x10，x1x22，x1x2，|AB|.2已知直線l1：4x3y60和直

13、線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是() 【導(dǎo)學(xué)號：73122175】A2 B3 C. D.A直線l2：x1恰為拋物線y24x準(zhǔn)線，P到l2的距離d2|PF|(F(1,0)為拋物線焦點)，所以P到l1、l2距離之和最小值為F到l1距離2，故選A.3已知點A(4,0)，M是拋物線y26x上的動點，當(dāng)點M到A距離最小時，M點坐標(biāo)為_(1，±)設(shè)M，則|MA|2yyy16(y6)21515，當(dāng)且僅當(dāng)y6，即y1±，x11時，|MA|取最小值，此時M(1，±)4直線yxb交拋物線yx2于A、B兩點，O為拋物線的頂點，且OAOB，則b的值為_2由，得x22x2b0，(2)28b0，設(shè)直線與拋物線的兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x22，x1x22b，于是y1y2(x1x2)2b2，由OAOB知x1x2y1y20，故b22b0，解得b2或b0(不合題意，舍去)b2適合>0.5已知拋物線y2x與直線l：yk(x1)相交于A，B兩點(1)求證：OAOB；(2)當(dāng)OAB的面積等于時，求k的值【導(dǎo)學(xué)號：73122176】解(1)證明：聯(lián)立，消去x，得