第6章高頻考點(diǎn)專訓(xùn)

1、專項(xiàng)訓(xùn)練一：巧用線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算名師點(diǎn)金：利用線段的中點(diǎn)可以得到線段相等或有倍數(shù)關(guān)系的等式來(lái)輔助計(jì) 算，由相等的線段去判斷中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)必須在線段上才能成立.線段中點(diǎn)問(wèn)題類型1與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算1已知A, B, C三點(diǎn)在同一直線上，M , N分別是線段AB, BC的中點(diǎn).(1) 若線段AB= 20 cm,線段BC= 8 cm,求線段MN的長(zhǎng)；(2根據(jù)(1)中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè) AB = a, BC= b,且a>b,其他條件都不 變，你能猜出MN的長(zhǎng)度嗎？(直接寫出結(jié)果)類型2:與線段中點(diǎn)有關(guān)的說(shuō)明題2畫線段MN = 3 cm,在線段MN上取一點(diǎn)Q，使MQ = NQ ;延長(zhǎng)線段1MN到點(diǎn)

2、A，使AN = 2MN ;延長(zhǎng)線段 NM到點(diǎn)B,使BN = 3BM.(1) 求線段BM的長(zhǎng)；(2) 求線段AN的長(zhǎng);（3試說(shuō)明點(diǎn)Q是哪些線段的中點(diǎn).線段分點(diǎn)問(wèn)題類型1與線段分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算（設(shè)參法）3.如圖，B, C兩點(diǎn)把線段AD分成2 : 4 ：3三部分，M是AD的中點(diǎn)，CD =6 cm,求線段MC的長(zhǎng).盂人門游樂(lè)場(chǎng)（第 3題）類型2:線段分點(diǎn)與方程的結(jié)合（數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想）4. A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，0為原點(diǎn)，現(xiàn)A、B兩點(diǎn)分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng).（1）幾秒后，原點(diǎn)恰好在兩點(diǎn)正中間？（2）幾秒后，恰好有OA： OB= 1 : 2?

3、A 0 -3 Q1? （第 4 題）專項(xiàng)訓(xùn)練二：巧用角平分線的有關(guān)計(jì)算名師點(diǎn)金：角平分線的定義是進(jìn)行角度計(jì)算常見的重要依據(jù)，因此解這類題要從角平分線找角的數(shù)量關(guān)系，利用圖形中相等的角的位置關(guān)系，結(jié)合角的和、 差關(guān)系求解.角平分線間的夾角問(wèn)題（分類討論思想）1. 已知/ AO吐 100。，/ BOO 60 °, OM 平分/ AOB, ON 平分/ BOQ 求/ MON的度數(shù).期縫鬼度劉利用角平分線解決折疊問(wèn)題（折疊法）2如圖，將一張長(zhǎng)方形紙斜折過(guò)去，使頂點(diǎn) A落在A處，BC為折痕，然后把BE折過(guò)去，使之落在A'B所在直線上，折痕為BD，那么兩折痕BC與BD間的夾角是多少度?巧

4、用角平分線解決角的和、差、倍、分問(wèn)題（方程思想）3.如圖，已知/ CO吐2 / AOCOD平分/ AOB且/ CO* 19。，求/ AOB.3題）巧用角平分線解決角的推理證明問(wèn)題（轉(zhuǎn)化思想）4.如圖，已知 OD、OE、OF分別為/ AOB / AOC / BOCB平分線,/ DOE和/ COF有怎樣的關(guān)系？說(shuō)明理由.角平分線與線段中點(diǎn)的結(jié)合5如圖,（第5題）已知/ A0吐 90。，/ BOCC30°, OM 平分/ AOQ ON 平分/ BOC,求/ MON的度數(shù).(2)如果中/ A0吐a，其他條件不變，求/(3) 如果(1)中/ BOOB ( B< 90 ° )，其

5、他條件不變，求/ 的度數(shù)ON(4) 從(1)(2)(3的結(jié)果中能得到什么樣的規(guī)律？(5線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒解法,請(qǐng)你模仿(1)(4),設(shè)計(jì)一道以線段為背景的計(jì)算題，給出解答，并寫出其中的規(guī) 律.專項(xiàng)訓(xùn)練三：巧解時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題名師點(diǎn)金：時(shí)鐘時(shí)針、分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的問(wèn)題，注意指針轉(zhuǎn)動(dòng)一大格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為周角的十二分之一，即30 ° .每一個(gè)大格又分為5個(gè)小格，指針轉(zhuǎn)動(dòng)一小 格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為6° .注意時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度之比是1 : 12，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 30。，分針轉(zhuǎn)動(dòng)360 ° .分針與秒針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度之比是1 ： 60分針

6、轉(zhuǎn)動(dòng)6 ° （個(gè)小格），秒針轉(zhuǎn)動(dòng)360 ° （ 一周.利用時(shí)間求角度類型I按固定時(shí)間求角度1. 從上午11時(shí)到下午1時(shí)30分，這期間時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了 下午1:30,時(shí)針、分針的夾角是.（2）3點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？類型2:按動(dòng)態(tài)時(shí)間求角度（方程思想）2. 小華是個(gè)數(shù)學(xué)迷，最近他在研究鐘面角（時(shí)針與分針組成的角）問(wèn)題，他想和大家一起來(lái)討論相關(guān)冋題.(第2題)(1) 分針每分鐘轉(zhuǎn)6度，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn) ;(2) 你能指出各個(gè)圖中時(shí)針與分針之間夾角的大小嗎？圖的鐘面角為，圖的鐘面角為.(3) 12 00整，時(shí)針和分針重合，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間會(huì)再次出現(xiàn)時(shí)針和分針重合的現(xiàn)象？此時(shí)

7、，時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度？出躍逸您爲(wèi)利用角度求時(shí)間(方程思想)3. 如圖，觀察時(shí)鐘，解答下列問(wèn)題：(1) 在 2時(shí)和3時(shí)之間什么時(shí)刻，時(shí)針和分針的夾角為直角?(2) 小明下午五點(diǎn)多有事外出時(shí)，看到墻上鐘面的時(shí)針和分針的夾角為110下午不到六點(diǎn)回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針的夾角又為110。，那么小明外出用了多長(zhǎng)時(shí)間？專項(xiàng)訓(xùn)練四思想方法薈萃名師點(diǎn)金：本章涉及的思想方法主要有轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想 等.轉(zhuǎn)化思想1 如圖，C, D , E將線段AB分成2 : 3 : 4 :四部分，M, P, Q, N分別是AC, CD, DE , EB的中點(diǎn)，且 MN = 21,求線段PQ的長(zhǎng)度.M尸 D 總

8、EN上©躍鬼£Z：分類討論思想2. 已知線段AB = 12 cm,直線AB上有一點(diǎn)C,且BC= 6 cm, M是線段AC的中點(diǎn)，求線段AM的長(zhǎng).方程思想3如圖所示，OM ,0B ,0N是/ AOC內(nèi)的三條射線，OM ,0N分別是/ AOB,/ BOC 的平分線，/ NOC 是/ AOM 的 3 倍，/ BON 比/ MOB大 30。，求/ AOC 的度數(shù).（第3題）4. 兩人開車從A市到B市要走一天，計(jì)劃上午比下午多走 100 km到C市 吃飯，由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過(guò)了小鎮(zhèn) 汽車趕了 400 km，傍晚才停下休息，一人說(shuō)，再走從 C市到這

9、里路程的二分之一就到達(dá)目的地了，A，B兩市相距多少千米?答案專項(xiàng)訓(xùn)練一1解：(1)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖，因?yàn)?M為AB1 1 1的中點(diǎn)，所以MB = 2AB = 2X 20 =10Cm),因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以BN =尹C1=2X 8H(cm),所以 MN = MB BN = 10 4 = 6(cm);當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB 的延1 1長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，因?yàn)?M為AB的中點(diǎn)，所以MB = qAB = 2X 20 =10(cm),因1 1為 N 為 BC 的中點(diǎn)，所以 BN = qBC= QX 8一4(cm)，所以 MN = MB + BN = 10+ 4=14(sm)IIll

10、iAM C N BI IB _| |- -(第 1 題)1 1(2)MN = 2(a+ b)或 MN = Q(a b).2解：如圖.b 用空利，寸(第2題)2因?yàn)锽N = 3BM，所以MN = -BN.331即 BN = 2MN.因?yàn)?MN = 3 cm,所以 BN = 4.5 cm,所以 BM =-BN = 1.5cm.231(2) 因?yàn)?AN = 2MN , MN = 3 cm.所以 AN = 1.5 cm.(3) 因?yàn)?MN = 3 cm, MQ = NQ ,所以 MQ = NQ = 1.5cm.所以 BQ = BM + MQ = 1.5+ 1.5= 3(cm),AQ = AN + NQ

11、 = 3 cm.所以 BQ = QA，又 MQ = QN ,所以Q是MN的中點(diǎn)，也是AB的中點(diǎn).3. 解：設(shè) AB = 2k cm,貝U BC = 4k cm, CD = 3k cm,所以 AD = 2k+ 4k+ 3k=9k cm.因?yàn)?CD = 6 cm所以 3k= 6,所以 k= 2,則 AD = 9k= 18又因?yàn)?M 是 AD1 1的中點(diǎn)，所以 MD = 2AD = 2X 18 =9(cm).所以 MC= MD CD = 9-6= 3(cm).4. 解：(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，x+ 3= 12 4x, x = 1.8.答：1.8秒后，原點(diǎn)恰好在兩點(diǎn)正中間.(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.B

12、與 A 相遇前：12 4t= 2(t+ 3), t = 1B 與 A 相遇后：4t 12= 2(t+ 3), t = 9.答：1秒或9秒后，恰好有OA： OB= 1 : 2.專項(xiàng)訓(xùn)練二1 解：如圖，當(dāng)OC落在/ AOB的內(nèi)部時(shí),因?yàn)镺M平分/ AOB, ON平分/ BOC,1 1所以/ AOM= 2/ AO吐 2X 100 °= 50 ° ,11/ BON= 2/:BOO 2X 60 °= 30 ° ,所以/ MON=Z AOB-/ AOM-Z BON= 100 ° - 50 ° - 30 °= 20（第1題）(2)如圖(2

13、),當(dāng)OC落在Z AOB的外部時(shí)，因?yàn)镺M平分Z AOB ON平分Z BOC,1 1所以Z BOM= ?Z AO吐 50 ° ,Z BON = ?Z BOO 30所以/ MONkZ BOW/ BON= 50 ° + 30 °= 80 ° .綜上可知，/ MO的度數(shù)為20?；?0 ° .點(diǎn)撥：本題沒有圖，作圖時(shí)應(yīng)考慮 OC落在/ AOB的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況， 體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用.2. 解：由折疊可知/CBA=Z CBA ,/ EBD-Z A BD.因?yàn)? ABC+Z A BC+Z A BD+Z EBD- 2( / A BC+Z A BD)=

14、1180 °，所以Z CBD-Z CBA'+Z A BD< 180 °= 90 ° ,即兩折痕BC與BD間的夾角為90 ° .點(diǎn)撥：本題可運(yùn)用折疊法動(dòng)手折疊，體驗(yàn)“重合”“折痕”的具體含義， 便 于尋找角與角之間的關(guān)系.3. 解：設(shè)Z AOO x。，貝UZ CO吐 2x°.113因?yàn)?OD 平分Z AOB 所以Z AOD-2Z AO吐 2( Z AOC+Z BOC)* ° .3又Z DOC*Z AOCKZ AOC，即 19 °=2乂 ° - x。，解得x ° * 38 ° .所以Z

15、 AO吐 3x°* 3 X 38 ° * 114 ° .點(diǎn)撥：根據(jù)圖形巧設(shè)未知數(shù)，用角與角之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建關(guān)于未知數(shù)的方 程求出角的度數(shù)，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用.4. 解：Z DOE=Z COF.理由如下：1因?yàn)镺D平分Z AOB 所以Z DOB=?Z AOB.因?yàn)镺F平分Z BOC，所以1 1 1 1Z BOF* 2Z BOC，所以Z DOBZ BOF*?Z AOB+ Z BOC* Z AOC，即1 1/ DOF=/ AOC.又因?yàn)?0E 平分/ AOC,所以/ EOG/ AOC,所以/ DOF =/ EOC.又因?yàn)? DOF=Z DOEZ EOF, / EOO

16、Z COF+Z EOF,所以 / DOE=Z COF.點(diǎn)撥：欲找出ZDO與Z COF的關(guān)系，只要找到ZDOFZ COE的關(guān)系即可.而OD、OF分別是Z AOB Z BOC勺角平分線，那么由此可得到ZDOF與Z AOC的關(guān)系，而且又有ZAOO 2 Z COE即轉(zhuǎn)化為尋找Z與OF COE的關(guān)系.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.5. 解：因?yàn)镺M平分Z AOC, ON平分Z BOC,1 1所以Z MOG2, AOC, Z NOG= 2, BOC.1 1 1所以Z MON=Z MOG-Z NOG=AOC- §Z BOO §( Z AOB+Z BOC)11-;ZB OC = -Z AOB= 4

17、5 ° .2 21a(2) Z MON=2Z AOB= 21(3) Z MON=2Z AOB= 45 ° .(4) 從(1)(2)(3的結(jié)果中可看出：ZMON大小總等于Z AO的 一半，而與Z BOC的大小變化無(wú)關(guān).(5) 可設(shè)計(jì)的問(wèn)題為：如圖，線段 AB= a,延長(zhǎng)AB到C使BC= b,點(diǎn)M、N 分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng). (第 5 題)1 1解：因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，所以MC = qAC, NC =qBC.1 1 1所以 MN = MC-NC = 2(AC BC)=qAB =規(guī)律：線段MN的長(zhǎng)度總等于線段AB長(zhǎng)度的一半，而與線段BC的

18、長(zhǎng)度變化無(wú)關(guān).專項(xiàng)訓(xùn)練三1. 解：(1)75 ° ;135 ° ;(2) 時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30。，分針每分鐘轉(zhuǎn)6 ° .時(shí)針從指向12開始轉(zhuǎn)過(guò)的角度：133X 30 ° = 100。分針從指向12開始轉(zhuǎn)過(guò)的角度：20 X 6 ° = 120 ° 120 ° 100=20。，即3點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是20 ° .2. 解:(1)0.5; (2)30; 22.5;(3) 設(shè)x分鐘后分針與時(shí)針再次重合，則 6x 0.5x= 360,720720解得x=，即經(jīng)過(guò)需分鐘會(huì)再次出現(xiàn)時(shí)針與分針重合的現(xiàn)象.111172011X

19、 0.536011720432011答：時(shí)針轉(zhuǎn)了360,分針轉(zhuǎn)了43203. 解：(1)設(shè)從2時(shí)經(jīng)過(guò)x分，分針與時(shí)針的夾角為直角，依題意，有6x60- 0.5x= 90,解得 x=30011 .答：在2時(shí)31分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為直角.(2)設(shè)小明外出用了 y分鐘，則時(shí)針走了 0.5y度，分針走了 6y度.根據(jù)題意，列方程為6y= 110+ 0.5y+ 110,解得y= 40.答：小明外出用了 40分.點(diǎn)撥：在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每分轉(zhuǎn)動(dòng)6時(shí)針每分轉(zhuǎn)動(dòng)0.5。，并且結(jié)合起點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的數(shù)量關(guān)系.專項(xiàng)訓(xùn)練四1. 解：設(shè) AC = 2x，貝U CD

20、= 3x，DE = 4x，EB= 5x,由 M， N 分別是 AC,EB 的中點(diǎn)，得 MC = x，EN = 2.5x.由題意，得 MN = MC+ CD + DE + EN =x+ 3x+ 4x+ 2.5x= 21,即 10.5x= 21,所以x= 2,1 1J則 PQ= 2CD + 2DE = 3.5x= 7.點(diǎn)撥：解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，禾U用線段長(zhǎng)度的比及中點(diǎn)建立方程, 求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求解.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.2. 解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖.A M（第2題）1 因?yàn)镸是線段AC的中點(diǎn)，所以AM = qAC.又因?yàn)锳C= AB BC,AB = 12 cm,

21、1 1 BC= 6 cm,所以 AM = 2(AB BC)=(12 )= 3(cm).(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.3 X(第 2 題(2)1因?yàn)镸是線段AC的中點(diǎn)，所以AM = ?AC.1 1又因?yàn)?AC = AB + BC, AB = 12 cm, BC = 6 cm,所以 AM =?AC = -(AB + BC)1二只(12 +)= 9(cm).所以線段AM的長(zhǎng)為3 cm或9 cm.3. 解：設(shè)/ AOMx，則/ NOC= 3x.因?yàn)镺M , ON分別是/ AOBZ BOC的平分線，所以/ MOB=Z AOM= x, / BON=Z NOC= 3x.依題意得3x-x= 30 ° .解得 x= 15。，