線性代數(shù)公式總結(jié)匯總

1、線性代數(shù)公式1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有 n!項(xiàng)，可分解為2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aij的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj = （-1； jAijAj = （1, j Mij4. 設(shè)n行列式D :n （n V） 將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D,，則。勺=（_1） 2 D ；n （n） 將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90：，所得行列式為 D2，則D2 =（1）k D ； 將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為Da，則D3二

2、D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為 D4，則D4二D ；5. 行列式的重要公式： 、主對角行列式：主對角元素的乘積；n （n 1） 、副對角行列式：副對角元素的乘積（一1） 2、上、下三角行列式（、|）匚和丄：副對角元素的乘積:主對角元素的乘積;n (n _!)(-1L ；A O= (1)mn AIIB拉普拉斯展開式：A OC B范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積; 特征值；n6. 對于n階行列式A，恒有：,-1）kSk'2，其中Sk為k階主子式;k 土7. 證明A =0的方法： 、A =-A ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0，證明其有非零解； 、利用秩，證明r（A）

3、 : n ； 、證明0是其特征值；2、矩陣8. A是n階可逆矩陣：A -0 （是非奇異矩陣）；r （A）二n （是滿秩矩陣）=A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax =0有非零解；R , Ax =b總有唯一解;=A與E等價(jià)；=A可表示成若干個初等矩陣的乘積；=A的特征值全不為 0;=ata是正定矩陣；=A的行(列)向量組是 Rn的一組基；=A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；9. 對于n階矩陣A : AA二A* A = AE 無條件恒 成立；10. (A 丄)* =( A*) J(A丄)T =(At)丄(A*)T =(At)*(AB)T =BtAt(AB)* =:B* A*(AB)丄=:B -

4、A -11. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;12. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：若 A =A2 .，則：A 二 A A2III A| ；n、;(主對角分塊)；(副對角分塊)、b oA -I A-B丄CA丄B丄；(拉普拉斯)AOJ;(拉普拉斯)3、矩陣的初等變換與線性方程組13. 一個m漢n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F =(Er 0 |等價(jià)類：所有與 A等價(jià)的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣 A、B，若r(A) =r(B) ：= AL B ；14. 行最簡形矩陣： 、只能通

5、過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；15. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) 、若(A, E )(E , X)，則A可逆，且X =A；c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A，即：(A, B)、( E, A°B)；、求解線形方程組：對于rn個未知數(shù)n個方程Ax=b，如果(A, b)(E, x)，貝A可逆，且x =A 1b ；16. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;、二，左乘矩陣A ,“乘A的各行元素；

6、右乘， 乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號 E (i, j)，且 E ( i, jj = E ( i, ,j)例如：r1 、r 1 、1=1b<5、倍乘某行或某列，符號E (i (k)，且 E (i(k)- = E (i，例如:(心0)f1f117.、倍加某行或某列，符號E (ij(k)，且 E(ij(k) E(ij(-k)，如:(k = 0)；矩陣秩的基本性質(zhì):、0 <r(Am n)三min(m,n)r(At) =r(A)；若 AL B，則 r(A) =r(B)；若P、Q可逆，則r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩n!m

7、!( n m)!組合的性質(zhì)：c；二Cmmn 1 一5 Cm4n' Cr =2nrc；=nc；：;r £、max(r(A), r(B) < r (A, B) < r(A) r(B);(探) 、r(A B) < r(A) r(B);(探) 、r(AB) Zmin(r(A),r(B);(探) 、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB =0，則：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；n、r (A) r (B) _ n 、若A、B均為n階方陣，則r(AB)_ r(A) r(B) -n ;18. 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣

8、：一定可以分解為 列矩陣(向量)行矩陣(向量) 的形式，再采用結(jié)合律;'1 a c 、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；Q 0 bn二項(xiàng)展開式：(a+b)n =C：an -+C：anf1 +|l|+cmanJDbm 十山+C：a1bn丄+C：bn =遲外計(jì)m -0注：I、(a b)n展開后有n 1項(xiàng);m n(n -1)(n -m 1)n、Cn 亦 m 、禾u用特征值和相似對角化:19. 伴隨矩陣：inr （A） = n 、伴隨矩陣的秩：r（A*）二1r（A） = n _1 ;I 0r （A） :：: n -1 、伴隨矩陣的特征值：A （AX =AX , A* = A A丄二A* X

9、AX）;/u/u 、A* = A A丄、A*| = An丄20. 關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r（A） =n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0;（兩句話） 、r（A） :：: n， A中有n階子式全部為0; 、r（A） _n， A中有n階子式不全為0;21. 線性方程組：Ax =b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程； 、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax二b為n元方程；22. 線性方程組Ax =b的求解： 、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；23.由n個未知

10、數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:1 x 2 X2 III PnXn 二 b、a21 x a22X2 III a2nxn 二b2；am 1 x!am 2 xanmxn =bn、a12a 22IllIIIX1 x 2Ax =b （向量方程， A為m n矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）'x1、佝 ab III an )X2（全部按列分塊，其中p =b2)込n j4 .丿m1、24.m個n維列向量所組成的向量組m個n維行向量所組成的向量組1，2川1， m 構(gòu)成 n m 矩陣 A=（訂，2,111，m ）；丁，身,川，訃構(gòu)成m n矩陣B二IHax a?X2 i|i ax.=:（線性表出）有解的充

11、要條件：r（A） =r（A, '） n（ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng);25. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)二Ax二0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax =b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示=AX二B是否有解；（矩陣方程）26. 矩陣Am n 與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax= 0和Bx= 0同解；（R01例14）27. r（ AtA） = r（A） ； （ R01 例 15）28. n維向量線性相關(guān)的幾何意義:、:-線性相關(guān)二:=0 ；、:,-線性相關(guān):，樸坐標(biāo)成比例或共線（平仃）

12、；、:,',線性相關(guān):, -,共面；29.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若:s線性相關(guān)，貝U宀，：2川1, :-s,：、1必線性相關(guān)；若j,2，l|l，s線性無關(guān)，則：1,：2，|，s丄必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上 n_r個分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則 A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；30. 向量組A （個數(shù)為r ）能由向量組B （個數(shù)為s）線性表示，且 A線性無關(guān)，則r遼s（二版P74定理7）； 向量組A能由向量組B線性表示，則r（A） <

13、; r（B） ；（ P86定理3）向量組A能由向量組B線性表示AX二B有解；二 r （A） =r（A, B）（ P85 定理 2） 向量組A能由向量組B等價(jià)二r （A）=r（B） =. r （A, B）（ P85定理2推論）31. 方陣A可逆=存在有限個初等矩陣 Pi, P2,l|l, P，使A=RP2l|l Pi ；r 、矩陣行等價(jià)：AB：=PA=B （左乘，P可逆）：=Ax二0與Bx二0同解c 、矩陣列等價(jià)：ABu AQ =B （右乘，Q可逆）； 、矩陣等價(jià)：ABu PAQ =B （ P、Q可逆）；32. 對于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等； 、若A與B行

14、等價(jià)，則Ax二0與Bx二0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；33. 若 Am sBs n Cm n，則： 、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，A為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）34. 齊次方程組Bx= 0的解一定是 ABx=O的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx=O只有零解 = Bx=O只有零解； 、Bx =0 有非零解=ABx = 0 一定存在非零解；35. 設(shè)向量組BnX : b,b,lll,br可由向量組 片鴻：a,a2,III,線性表示

15、為：（P110題19結(jié)論）（b ,b2,m,br） =1,a2,|l|,as）K （ B =AK）其中K為s r，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)r（K） = r ；（ B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性 ）（必要性： 7r =r（B） =r（AK） < r（K）, r（K） < r” r（K） =r ;充分性：反證法）注：當(dāng)r=s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；36. 、對矩陣Am n，存在Qn m，AQ =Emr（A）二m、Q的列向量線性無關(guān)；（P87）、對矩陣Am n，存在Pnm，PA = E. 二r（A）= n、P的行向量線性無關(guān)；37. ：-1,、川I,s線性相關(guān)=存在一組不全

16、為 0的數(shù)k1,k2,1山ks ,使得k/1 k/ |l憶亠二0成立；（定義）二 0,0（2川1,企）X2 =0有非零解，即 Ax= 0有非零解；=r（1, >2,1山s） <s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；38. 設(shè)m n的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的秩為：r(S)二n_r ；39. 若*為Ax =b的一個解，1,2，川，和為Ax=O的一個基礎(chǔ)解系，則*, 1, 2|,線性無關(guān)；(Pw題33結(jié)論)5、相似矩陣和二次型40. 正交矩陣u AtA=E或A-=：AT (定義)，性質(zhì)：(1j - j 、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即a：aj(j, j =1,2,川n)；0j式j(luò) 、右 A為正父矩陣，則 A =A也為正交陣，且|A = 1 ； 、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化；41. 施密特正交化：®,a2， ,ar)b t ；-1 br 1br,br廠-42. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對于實(shí)對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；43. 、A與B等價(jià)A經(jīng)過初等變換得到 B ；PAQ 二 B , P、Q 可逆；=r (A) = r (B