換元法求不定積分

1、也不屬于有錢人也不屬于有錢人, ,而是屬于有心人而是屬于有心人. .這個(gè)世界這個(gè)世界, ,不屬于有權(quán)人不屬于有權(quán)人, ,第一節(jié)、不定積分概念與基本積分公式第一節(jié)、不定積分概念與基本積分公式 第三節(jié)、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第三節(jié)、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：第二節(jié)、第二節(jié)、換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法不定積分二、第二類換元法二、第二類換元法一、第一類換元法一、第一類換元法換元積分法與分部積分法 第8章 三、分部積分法三、分部積分法第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo),

2、xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有定理定理1.,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱配元法配元法即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 當(dāng)1m時(shí)bxaxdCbxaaln122)(1d1axxa.d22xax解解:22dxax,axu 令則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21d

3、uuCu arctan)(ax).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似Caxaxaln21.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( dxbxafd)() 1 (

4、 )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例

5、8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結(jié)果一樣xxsin11sin1121.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansecxxdsecxxdse

6、cxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC)2cos2cos21 (241xx .dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxx

7、xdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321Cxxexex111xexexxxdd xexxd) 1(.d)1 (1xexxxx解

8、解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析分析: .d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf常用簡(jiǎn)化技巧:(1) 分項(xiàng)積分:(2) 降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2co

9、s1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用積化和差; 分式分項(xiàng);利用倍角公式 , 如1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dxxxxd) 1(110.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(10

10、10 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分xxxfd)()(易求,則得第二類換元積分法 .難求，uufd)(CxF)()()()(ttft)(tx是可導(dǎo)函數(shù) , 且,0)( t)()(ttf具有原函數(shù) ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函數(shù)是其中txxt證證:的原函數(shù)為設(shè))()(ttf, )(t令 )()(1xxF則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf

11、則有換元公式. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C. )0(d22aaxx解解:,時(shí)當(dāng)

12、ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,時(shí)當(dāng)ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時(shí)ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln原式21) 1(22ta221a.d422xxxa解解: 令,1tx 則txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0時(shí)當(dāng)x42112tta Cata

13、2223) 1(23當(dāng) x 0 時(shí), 類似可得同樣結(jié)果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsecxxdtan)14(xxdcot)15(xxdsec)16(xxdcsc)17(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln(7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代

14、換倒代換 ,d)()6(xafx令xat xxad1)18(22xxad1)20(22xaxd1)21(22xaxd1)19(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)22(22Caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例例21. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例23. 求.1d2xex解解: 原式xxee21dCexarcsin.d222

15、 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222ttttd)1(12132.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin221. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 兩邊求導(dǎo), 得)(5xfx,12x

16、x則1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin5求不定積分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用湊微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222ttd)11

17、1 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得分子分母同除以求不定積分解解:.d1)1 (122xxx令,sintx ,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1 (cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計(jì)算 .:)d(的

18、原則或及選取vvu三、三、 分部積分法分部積分法.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 則, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 則原式xx cos2xxxdcos2.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 則,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 則,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arcta

19、n212Cxx)arctan(21.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 則,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 則,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21說明說明: 也可設(shè)veux,為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型必須一致 . :的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 則,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21x

20、xarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反: 反三角函數(shù)對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù).dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 則,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxxtan. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v則,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xax

21、d22.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v則,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得遞推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22遞推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI2222

22、1212)(21)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )3) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 .)(xf的一個(gè)原函數(shù)是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2說明

23、說明: 此題若先求出)(xf 再求積分反而復(fù)雜.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2.dxex解解: 令, tx則,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令.d xI23)1 (2x解法解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctanxeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctanvu分部積分公式xvuvuxvudd1. 使用原則 :xvuvd易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn) : “反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” , 前 u 后v3. 題目類型 :分部化簡(jiǎn) ;循環(huán)解出;遞推公式4. 計(jì)算格式 :vuxxId)ln(s