線性代數知識點全面總結

1、 矩陣矩陣 矩陣是線性代數的核心，矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始終，對矩陣的理解與掌握要扎實深入。 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，正確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運算。必須會解矩陣方程?？倧土暱倧土暩拍钐厥饩仃?mn個數a

2、ij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 構成的數表單位矩陣: 主對角線元素都是1,其余元素都是零的 n 階方陣 E對角矩陣:主對角元素是 其余元素都是零的n階方陣 對稱矩陣:一、矩陣主要知識網絡圖一、矩陣主要知識網絡圖12n, ，AT = A反對稱矩陣: AT = A矩陣運算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij )AB = C 其中其中A與B同型的第 i 行是 A 的第 i 列.|A|= detA , A必須是方陣.伴隨矩陣 n 階行列式的 |A|所有元素的代數余子式構成的矩陣1nijikkj ,mssnmnkcabA, B,C AT: AT1121112222

3、12nnnnnnAAAAAAAAA A 逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆， B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A| 0 , A可逆 .|A| = 0 , A不可逆 .AB = E , A與B互逆.反證法.11AAA 1110000AABB 1110000ABBA 二、重要定理二、重要定理1、設A、B是n階矩陣，則|AB|=|A|B|。2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。3、n階矩陣A可逆 |A| 0 R(A)=n A為滿秩矩陣。 4、若AB = E( 或BA =E ), 則B = A-1 。5、若A為對稱矩陣，則AT A 。6、若A為反對稱矩陣，則ATA 。三、重要

4、公式、法則三、重要公式、法則。1、矩陣的加法與數乘 A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。2、矩陣的乘法(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.3、矩陣的轉置(AT

5、)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT;(3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.4、矩陣的逆(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ;(3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .5、伴隨矩陣 AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ;(3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .6、n階方陣的行列式|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ;(3) |AB| = |A|B| ; (4) |A

6、-1| = |A|-1 ;(5) |A*| = |A|n-1 .四、典型例題四、典型例題1、方陣的冪運算2、求逆矩陣3、解矩陣方程4、A*題 方陣的行列式方陣的行列式 行列式是一個重要的數學工具，在代數學中有較多的應用。 應當在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質的基礎上，熟練地計算3階、4階行列式，也要會計算簡單的n階行列式。還要會運用行列式求解n個方程n個未知數的n元一次線性方程組。 計算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通過降階來實現，但在展開之前往往先運用行列式的性質，對行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡化計算。要熟練運用計算行列式的典型的計算方法和計算技巧。一

7、、行列式主要知識點網絡圖一、行列式主要知識點網絡圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項是不同行不同列元素乘積的代數和. D = DT互換行列式的兩行(列)，行列式變號。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識點性質nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211) 1(展開計算行展開列展開10nkikjkDija Aij10nikjkkDija Aij定義法遞推法加邊法數學歸納法公式法拆項法乘積法齊次線性方程組有非零解的充要條件克

8、拉默法則應用二、主要定理二、主要定理1、行列式的展開定理。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n )= a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj2、行列式展開定理的推論。 ai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 ( i j ) a1jA1k+ a2jA2k + + anjAnk = 0 ( j k ) 3、非齊次線性方程組克拉默法則。11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb a xa xa xb其中D

9、j ( j = 1,2,n )是把系數行列式D 中的第j 列的元素用方程組的常數項替換后得到的n階行列式。1212,nnDDDxx x = .DDD的系數行列式D 0 ， 原方程組有惟一解11 1122121 122221 1220,0,00,nnnnnnnnna xa xa xa xa xa x a xa xa xD的系數行列式則方程組沒有非零解。4、齊次線性方程組的克拉默法則。 若齊次線性方程組有非零解，則它的系數行列式必為零。三、重要公式三、重要公式121 21;、對角行列式nn D= 1(1)221 2( 1).n nnn D= 111211122221221211222000000.

10、nnnnnnnnnn aaaaaaaa D=aaaa = a aa、上、下三角行列式。1111212122122111(1)21211000000( 1).nnnnnnnnnnn nnnnaaaaaaaa D=aaaa = a aa300ABAA BBm n D=、設 是階方陣， 是 階方陣，則；0( 1)0AA BB mn D=。12222121111124111()nnijn ijn-n-n-n xxx xxxxxxxx 、范德蒙得行列式。四、典型例題四、典型例題1、34階的行列式2、簡單的n階行列式3、用公式 可逆矩陣與初等變換可逆矩陣與初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算

11、，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中都起到了十分重要的作用。 熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和等價矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。矩陣的初等變換與線性方程組 矩陣的初等變換初 等 方 陣矩 陣 的 秩線 性 方 程 組概 念1.對換矩陣的i, j兩行（列）.2.用k0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對應元素上去.性 質1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對A經過有

12、限次初等變換得到B，則A等價B. 用 途求逆， 11AEEAAEEA列行求矩陣A的秩、最簡型、標準形.求線性方程組的解.性 質初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對Amn矩陣實施一次行初等變換，相當于對A左乘一個相應的 m 階初等方陣；對A實施一次列初等變換，相當于對A右乘一個相應的 n 階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個初等方陣的乘積.概 念對單位矩陣實施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對應三種初等方陣. 概 念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數. 性 質零矩陣的秩為零.r(A)=r(AT)若B可逆，則r(AB)=r(A).r(A+B) r(A)+r(B

13、)r(AB) minr(A), r(B)r(AB) r(A)+r(B)n若AB=0, 則r(A)+r(B) nAxOAx O 有非零解 r(A)n.求 解1.化系數矩陣為最簡形.2.找等價的方程組.3.寫通解.bAx bAx 有解 r(A)=r(B).求 解1.把增廣矩陣B化為最簡形.2. 找等價的方程組.3.寫通解.二、重要定理二、重要定理1、若A 與B等價，則r(A) = r(B). 2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結果就相當于對A作相應的初等行（列）變換。 3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。 4、若A 與B等價，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ = B.5、若A可逆，則存在有限

14、個初等方陣P1,P2,Pl,使 A P1P2Pl 。 6、n 元齊次線性方程組Amnx = 0 有非零解的充分必要條件是系數矩陣的秩r(A) n 。 7、n 元非齊次線性方程組Amnx = b 有解的充分必要條件是系數矩陣的秩r(A) 等于增廣矩陣r(A，b) 的秩。三、重要公式三、重要公式1、矩陣的秩 r(A) = r(AT) ; r(A+B) r(A) + r(B) r(AB) min r(A) r(B) 若P、 Q可逆，則r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A) r(A), k 0 , (5) r(kA) = 0 , k = 0; A 0(6) r = r(A) + r(

15、B)。(1) 0 B2、用初等變換求逆1()AEEA行變換（）3、用初等行變換求A-1B1AB EA B行變換1AEEA列變換1AECCA列變換四、典型例題四、典型例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解線性方程組。3、用初等變換求A-1B。 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 向量組的線性相關性是代數學中一個十分重要的概念，對討論線性方程組解的存在性和解的結構起到了至關重要的作用。 本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關、線性無關的定義，會用向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。了解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組和秩

16、。了解向量組等價的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關系。了解n 維向量空間、子空間、基、維數、坐標等概念。掌握線性方程組解的性質和結構，正確理解非齊次線性方程組和它所對應的齊次線性方程組的解之間的關系，深刻理解齊次線性方程組的基礎解系、通解、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解。一、向量組的線性相關性主要知識網絡圖一、向量組的線性相關性主要知識網絡圖向量組的線性相關性n維向量運算線性表示概念判定線性相關概念判定線性無關概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無關組概念求法向量空間概念向量空間的基線性方程組Ax = 0初 等行變換階梯形有解判定總 有 解r(A)r(B)無解 r(A)=r(B

17、)有解r(A)=n僅有零解r(A) 0 （2）用順序主子式全大于零； （3）用n個特征值全大于零； （4）用正慣性指數p = n； （5）存在可逆矩陣C，使A = CTC 。三、典型例題三、典型例題1、求方陣的特征值、特征向量。2、方陣對角化。3、化二次型為標準形。4、二次型及矩陣正定性的判定。 線性空間線性空間 線性空間是線性代數中比較抽象的部分。概念的抽象性、理論的概括性固然增加了學習的難度，但是，只要掌握了抽象思維與論證的規(guī)律，我們就可以在更高的視點上觀察并解決某些理論與實際方面的問題。 它研究的內容包括數及其運算、多項式及其運算、矩陣（向量）及其運算等。研究的方法是針對每一種具體對象探

18、索它們運算所滿足的各種性質，并用以解決本系統內的相應問題。線性空間線性空間基本性質基本性質子空間子空間一、主要知識網絡圖一、主要知識網絡圖集合、數域、運算律集合、數域、運算律常用結論常用結論基底基底維數維數基向量的個數基向量的個數基不惟一基不惟一n維空間維空間中任意中任意n個線性無個線性無關向量。關向量。L(1 1，2 2，, ,s)=1siiik 定義定義坐標與坐標變換坐標與坐標變換坐標定義坐標定義向量與其坐標向量與其坐標過渡矩陣過渡矩陣坐標變換公式坐標變換公式1212( ,)( ,) .Ann A保持加法數乘關系保持加法數乘關系保持線性相關保持線性相關（或無關）的一致性（或無關）的一致性

19、設V是一個非空集合,F是一個數域.如果能定義一種V的元素間的運算,叫做加法加法:對于V中任意兩個元素, ,都有V中惟一的元素 之對應; 稱為 與 的和和,記為 = + .另外,還能定義一種數域F的數與集合V的元素間的運算,叫做數乘數乘: :對于數域F中任一數k及集合V中任一元素 ,都有V中惟一的元素與之對應; 稱為k與的數積數積,記為= k.并且,集合V在以上兩種運算下具有如下性質:對于任意, , V 及 k,l F,1) + = + ; 2)( + )+ = +( + );3)V中存在零元素零元素,通常記為0,對于任何,恒有 +0= ;4) 對于V,都有的負元素負元素V,使+ =0; 5) l = ;6) k(l)=(kl ) (式中是通常的數的乘法) ; 7)(k + l) = k + l (式中是通常的數的乘法) ;8) k( + )= k + k ;則稱V為數域F上的一個線性空間線性空間.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 線性空間的基本性質線性空間的基本性質性質性質1 線性空間的零元素惟一。 性質性質2 線性空間中任一元素的負元素惟一。 性質性質3 設V是數域F上的線性空間，則對任何 V及k F ，總有：（i）0 =0； （ii） k0 =0； (iii)當k0且 0時，定有k 0 . 性質性質4 設V 數域F上的線性空間，則對任何kF及V， 總有()()(). kk