構(gòu)建函數(shù)模型_利用函數(shù)圖象_探索函數(shù)零點(diǎn)

1、構(gòu)建函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象，探索函數(shù)零點(diǎn)構(gòu)建函數(shù)與方程的橋梁，利用圖象求得一類問題解決，從中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和價(jià)值2011年高考數(shù)學(xué)山東卷在保持穩(wěn)定，充分體現(xiàn)新課程理念的基礎(chǔ)上，又呈現(xiàn)出許多亮點(diǎn),其中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查便是其中之一.1題目：已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a1)。當(dāng)2<a<3<b<4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n+1), nN*,則n=_.2.賞析亮點(diǎn)1：考查形式新穎，命題立意常規(guī)函數(shù)的零點(diǎn)是數(shù)學(xué)教材新增內(nèi)容之一.我們?cè)诮虒W(xué)中如何把握教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生理解概念和掌握解題方法是高考復(fù)習(xí)的熱點(diǎn)話題.題目中函數(shù)f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)和

2、一次函數(shù)的組合，含有兩個(gè)參變量.現(xiàn)在以人教A版數(shù)學(xué)教材88頁“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.”為依據(jù)，解法（一）如下：2<a<3,f(x)=logax+x-b為定義域上的單調(diào)函數(shù)，f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b. 2<a<3<b, lg2<lga<lg3, 又b>3,-b<-3,2-b<-1,loga2+2-b&

3、lt;0,即f(2)<0.3<b<4,-1<3-b<0, loga3+3-b>0, f(3)>0,即f(2)·f(3)<0.由x0 (n,n+1), nN*.知n=2. 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷定理的逆命題不成立.亮點(diǎn)2：考查解法迥異，解題殊途同歸 函數(shù)的零點(diǎn)是教材中出現(xiàn)的重要概念之一.我們通過

4、挖掘函數(shù)零點(diǎn)的內(nèi)涵，構(gòu)建函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象，探求函數(shù)零點(diǎn)的不同解法.以人教A版87頁“方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)”為出發(fā)點(diǎn)，從而把方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解. 解法（二）：觀察函數(shù)y=f1(x)=logax(2<a<3)和y=f2(x)=-x+b(3<b<4)的圖象在同一坐標(biāo)系中情形.當(dāng)x=2時(shí)，f1(2)=loga2<logaa=1,f2(2)=b-2>3-2=1,故f1(2)-f2(2)<0;當(dāng)x=3時(shí)，f1(3)=loga3>logaa=1,f2(3)=b-3<4-3=1

5、,故f1(3)-f2(3)>0。因此，存在x0 (2,3)，使得f1(xo)=f2(x0)，即n=2.推廣至更一般情形：函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在建立方程的根與函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系時(shí)，函數(shù)圖象起到了橋梁紐帶作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點(diǎn)之間的數(shù)形結(jié)合的關(guān)系.譬如2009年高考數(shù)學(xué)山東卷文理科第14題：若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析探究：分別令f1(x)=ax ，f2(x)=x+a.當(dāng)0<a<1時(shí)，兩

6、函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f1(x)=ax的圖象過點(diǎn)(0,1)，而直線f2(x)=x+a所過的點(diǎn)(0,a)一定在(1,0)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+).亮點(diǎn)3：考查內(nèi)容豐富，探索解題規(guī)律 函數(shù)的零點(diǎn)和圖象均是歷年高考命題考查的熱點(diǎn)，利用函數(shù)圖象，通過觀察估算解決一類函數(shù)零點(diǎn)的客觀題目，形成解題的模式.2009年高考數(shù)學(xué)遼寧卷第12題：若滿足2x+=5, 滿足2x+2(x1)=5, +（ ）. （A） (B)3 (C) (D)4. 解析:由2x=5-2x，令y1=2x,y2=5-2x.當(dāng)x=1時(shí),y1=2,y2=3, y1-y2&l

7、t;0.當(dāng)x=1.5時(shí)，y1=21.5>2,y2=2, y1-y2>0.所以必存在x1 (1,1.5)，使2x1=5-2x1.同理，可估算得知必存在x2 (2,2.5)，使2log2(x2-1)=5-2x2.因此x1+x2(3,4)，選 C.亮點(diǎn)4：考查要求恰當(dāng)，創(chuàng)新題目形式自從新課改數(shù)學(xué)教材添加函數(shù)零點(diǎn)的內(nèi)容以來，每年高考命題均加大對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考察力度，出現(xiàn)了一定量的考察函數(shù)零點(diǎn)的試題.如2011年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)卷文科第10題：在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）.（A）（-,0） (B)(0, ) (C)( ,) (D)( ,). 解析： f(x

8、)=ex+4x-3f(x)=ex+4>0, f(x)在定義域R上是遞增函數(shù). f(-)=e-4<0,f(0)=-2<0,f()=e0.25-2<0,f()=e0.5-1>0.選C.采取代入排除的方法求值并判斷函數(shù)值的正負(fù)，由零點(diǎn)存在定理得知選C，因此屬于容易題.山東卷第16題與它相比，考查多方面的知識(shí)，難度和深度恰當(dāng)，是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)考查方式的創(chuàng)新和突破.3教學(xué)啟示 在課堂教學(xué)中，不管是新授課還是復(fù)習(xí)課，探究函數(shù)零點(diǎn)這一高考熱點(diǎn)，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注重概念的理解和函數(shù)圖象的應(yīng)用，建立數(shù)學(xué)模型.函數(shù)零點(diǎn)問題是函數(shù)問題中一類比較特殊的問題，出現(xiàn)在必修一，屬于函數(shù)的應(yīng)用部分內(nèi)

9、容。針對(duì)這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)，應(yīng)該抓住書上提到的兩個(gè)原理，即零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化原理。掌握好這兩個(gè)原理，能夠幫助我們有效解決好有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的兩大類問題。例如：（2009年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第4題）設(shè)函數(shù)則A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn).B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn).C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).分析及解：f()= +10，f(1)= 0，f(e)= -10，故由零點(diǎn)存在定理，可知在區(qū)間(1，e)內(nèi)存在零點(diǎn)。但是在(，1)內(nèi)的零點(diǎn)狀況，無法從零點(diǎn)存在定理判斷，所以我們可以借助兩種方法判斷。方法一：給f(x)求導(dǎo)，討論單調(diào)性?？梢缘玫絝'(x)= -= ，由此可知f(x)在區(qū)間(0，3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3，+)上為增函數(shù)，在點(diǎn)x=3處有極小值1-ln30。從而可以判斷在區(qū)間( ，1)上函數(shù)f(x)單調(diào)，由端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，可知無零點(diǎn).方法二：利用零點(diǎn)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化原理，即函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。故分別作出y= x和y=lnx的圖象，考查其交點(diǎn)所在大致區(qū)間。如圖所示，故可以看出，交點(diǎn)共有兩個(gè)，即原函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，在區(qū)間(，1)內(nèi)無零點(diǎn). 在使用零點(diǎn)