2013高考真題分類匯編空間向量

1、立體幾何中的向量方法1.（2013·北京高考理科·17）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求證：AA1平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求的值.【解題指南】（1）利用面面垂直證明線面垂直.（2）建系，求出二面角對(duì)應(yīng)兩個(gè)面的法向量，利用法向量的夾角求二面角的余弦值.（3）設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量解題.【解析】（1）是正方形，。又，。（2），。分別以為建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系。則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量，?？?/p>

2、得可取。由圖可知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以余弦值為。（3）點(diǎn)D的豎軸坐標(biāo)為t(0<t<4)，在平面中作于E,根據(jù)比例關(guān)系可知， ，又，。2. （2013·遼寧高考理科·18）如圖， 是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點(diǎn)。求證：平面平面;若求二面角的余弦值?！窘忸}指南】利用條件證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直，由面面垂直的判定定理解決問(wèn)題；借助前面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值?！窘馕觥坑墒菆A的直徑，得；由垂直于圓所在的平面，得平面;又平面，得；又所以，又因?yàn)閾?jù)面面垂直判定定理，平面平面;過(guò)點(diǎn)作,由知平面.如圖所示，以點(diǎn)為坐

3、標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系。在直角三角形ABC中，所以又所以故設(shè)平面的法向量為則不妨令，則故設(shè)平面的法向量為，由同理可得于是結(jié)合圖形和題意，二面角的余弦值為第19題解答圖13. （2013·湖北高考理科·T19）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，直線PC平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn). 第19題圖（）記平面BEF與平面ABC的交線為，試判斷直線與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明。（）設(shè)（）中的直線與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足,記直線PQ與平面ABC所成的角為，異面直線異面直線PQ與EF所成的角為，二面角E-C的大小為，求證：

4、 【解題指南】（）利用線面平行的判定和性質(zhì)定理求解.（）用綜合法,利用三角函數(shù)證明或用向量法,利用法向量的夾角證明.【解析】（）直線平面，證明如下： 第19題解答圖1連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面. （）方法一：如圖1，連接，由（）可知交線即為直線，且.因?yàn)槭堑闹睆?，所以，于?已知平面，而平面，所以.而，所以平面.連接，因?yàn)槠矫妫?故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，從而四邊形是平行四邊形，.連接，因?yàn)槠矫?，所以是在平面?nèi)的射影，故就是直線與平面所成的角，即. 又平面，有

5、，知為銳角，故為異面直線與所成的角，即， 于是在，中，分別可得，從而，即. 第19題解答圖2方法二：如圖2，由，作，且.連接，由（）可知交線即為直線.以點(diǎn)為原點(diǎn)，向量所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有,. 于是，所以，從而. 又取平面的一個(gè)法向量為，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以由 可得 取.于是，從而. 故，即. 4. （2013·重慶高考理科·19）如圖，四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，（）求的長(zhǎng)；（）求二面角的正弦值【解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)可求出的長(zhǎng)，再通過(guò)求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.【解析】（）如圖,連接交于,

6、因?yàn)?即為等腰三角形,又平分,故,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則而,得.又故因底面，可設(shè),由為邊中點(diǎn), 又.因故即(舍去),所以（）由（）知設(shè)平面的法向量為平面的法向量為由得因此可取.由得因此可取從而法向量夾角的余弦值為故二面角的正弦值為5. （2013·新課標(biāo)高考理科·18）如圖，三棱柱中，.（）證明;（）若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.【解題指南】()取AB的中點(diǎn),利用線面垂直證明線線垂直.()利用面面垂直確定線面垂直,找出直線A1C與平面BB1C1C所成的角,或建立空間直角坐

7、標(biāo)系求解.【解析】（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)?，所?由于，故為等邊三角形，所以.因?yàn)椋悦?又平面，故.（）由（）知，又平面平面，交線為，所以平面，故，兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則有，,.則， ， .設(shè)平面的法向量為，則有，即，可取.故所以直線與平面所成角的正弦值為.6.（2013·大綱版全國(guó)卷高考理科·19）如圖，四棱錐都是等邊三角形.（I）證明：（II）求二面角【解析】（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則為正方形.過(guò)作平面，垂足為.連結(jié)，.由和都是等邊三角形知,所以，即點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，故，從而.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是

8、的中點(diǎn)，所以，因此.（II）解法一：由（I）知，,故面.又面,所以.取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，則,.連結(jié)，由為等邊三角形可得.所以為二面角的平面角.連結(jié)，則.又，所以.設(shè)，則，故.在中，.所以.因此二面角的大小為.解法二：由（I）知，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則,.設(shè)平面的法向量為，則，可得取，得，故平面PCD的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為,則，,.取，得，故平面PAD的一個(gè)法向量為于是.由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小為.7. （2013·四川高考理科·19）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)

9、（1）在平面內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，說(shuō)明理由，并證明直線平面；（2）設(shè)（1）中的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求二面角的余弦值【解題指南】本題第(1)問(wèn)求解時(shí)要首先明確證明直線與平面垂直的定理需要滿足的條件,在第(2)問(wèn)的求解過(guò)程中需要建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量進(jìn)行求解.【解析】(1)在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作直線lBC,因?yàn)閘在平面A1BC外,BC在平面A1BC內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),所以,BCAD,則直線lAD.因?yàn)锳A1平面ABC,所以AA1直線l.又因?yàn)锳D,AA1在平面ADD1A1內(nèi),且AD與AA1相交,所以直線l平面AD

10、D1A1.(2)設(shè)AA1=1, 如圖,過(guò)A1作A1E平行于B1C1,以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則A1(0,0,0),A(0,0,1).因?yàn)镻為AD的中點(diǎn),所以M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),故,M(,1),N(,1),所以=(，,1),=(0,0,1),=( ,0,0).設(shè)平面AA1M的一個(gè)法向量為=(x1,y1,z1),則故有從而取x1=1,則y1=-3,所以n1=(1,- ,0).設(shè)平面A1MN的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則故有從而取y2=2,則z2=-1,所以n2=(0,2,-1).設(shè)二面角A􀆼A1M

11、049020;N的平面角為,又為銳角,則cos=.故二面角A􀆼A1M􀆼N的余弦值為.8.(2013·天津高考理科·T17)如圖,四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).(1)證明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).【解題指南】方法一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出的坐標(biāo),利用數(shù)量積證明. (2)求出平面B1CE與平面CEC1的法向量,由法

12、向量的夾角余弦值求二面角的正弦值. (3)直線AM的方向向量與平面ADD1A1的法向量表示直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦,確定向量的坐標(biāo),由向量的模求線段AM的長(zhǎng).方法二:(1)要證明線段垂直,先證明線面垂直,關(guān)鍵是找出與線B1C1垂直的平面CC1E,然后進(jìn)行證明. (2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值,關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角B1-CE-C1的平面角,然后在三角形中求解. (3)首先構(gòu)造三角形,設(shè)AM=x,在直角三角形AHM,C1D1E中用x表示出AH,EH的長(zhǎng)度,最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】(方法一)如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B

13、(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1) 易得，于是，所以.(2) 設(shè)平面B1CE的法向量則即消去x,得，不妨設(shè)，可得一個(gè)法向量為由(1)知，又CC1B1C1，可得，故平面的一個(gè)法向量.于是所以因此二面角B1CEC1的正弦值為(3) 設(shè),則.可取為平面一個(gè)法向量.設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，于是于是解得所以 (方法二)(1)因?yàn)閭?cè)棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1,經(jīng)計(jì)算可得B1E= ,B1C1=,EC1=,從而所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC

14、1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE. (2)過(guò)B1作B1GCE于點(diǎn)G,連接C1G,由(1)知,B1C1CE,B1C1,B1G平面B1C1G,B1C1B1G=B1,故CE平面B1C1G,又C1G平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在RtB1C1G中,B1G=,所以sinB1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值為.(3)連接D1E,過(guò)點(diǎn)M作MHED1于點(diǎn)H,可得MH平面ADD1A1,連接AH,AM,則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.設(shè)AM=

15、x,從而在RtAHM中,有MH=,AH=,在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=,在AEH中,AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以線段AM的長(zhǎng)為.9.（2013·上海高考理科·T19）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC到平面D1AC的距離.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C'

16、(0,2,0),D'(0,0,0).則=(1,0,1),=(0,2,1),設(shè)平面D'AC的法向量n=(u,v,w),由n,n,所以n·=0,n·=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D'AC的一個(gè)法向量n=(2,1,-2).因?yàn)?(-1,0,-1),所以n·=0,所以n.又BC不在平面DAC內(nèi),所以直線BC與平面DAC平行.由=(1,0,0),得點(diǎn)B到平面DAC的距離d=,所以直線BC'到平面D'AC的距離為.10. （2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·22）如圖, 在直三棱柱- ABC 中, ABA

17、C, AB = AC=2,A = 4, 點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求平面與平面 AB所成二面角的正弦值.【解題指南】建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系利用異面直線的夾角公式求出余弦值。本小題主要考查異面直線、二面角、空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算, 考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0),(0, 0, 4), (0, 2, 4), 所以 =(2, 0, -4), =(1, -1, -4).因?yàn)?所以異面直線與所

18、成角的余弦值成角的余弦值為 (2)設(shè)平面的法向量為 = (x, y, z), 因?yàn)?(1, 1, 0), =(0, 2, 4), 所以·=0, ·=0，即x+y=0 且y+2z =0, 取z =1, 得x =2,y=-2, 所以, =(2, -2, 1)是平面的一個(gè)法向量.取平面AB 的一個(gè)法向量為=(0, 1, 0), 設(shè)平面 與與平面 AB所成二面角的大小為.由|cos|=得 sin=，因此, 平面與平面 AB所成二面角的正弦值為11. （2013·湖南高考理科·19）如圖，在直棱柱（1）證明：.（2）求直線所成角的正弦值.【解題指南】(1)證明兩異

19、面直線垂直往往轉(zhuǎn)化成線面垂直而證之.（2）直線所成的角要轉(zhuǎn)化成直線AD與平面所成的角. 本題可用傳統(tǒng)方法也可用向量坐標(biāo)法. 【解析】方法一：（1）如圖1，因?yàn)?，所以，?而.（2） 如圖1，連接，因?yàn)槔庵侵崩庵?，所以，從而，又，所以四邊形是正方形，于是，故，于是，由?）知，所以，故.在直角梯形中，因?yàn)?，所以，從而，故，?連接，易知是直角三角形，且.在中，,即，從而.即直線與平面所成的角的正弦值為.方法二：由（1）易知，兩兩垂直， 如圖2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：.從而，因?yàn)樗?，解得?于是.因?yàn)?

20、所以，即.（2）由（1）知，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令x=1，則 .，則.即直線與平面所成的角的正弦值為.12.（2013·江西高考理科·19）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.【解題指南】（1）利用判斷定理證明線面垂直時(shí)，需證線線垂直，本題易證：，；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出.【解析】（1）在ABD中，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以EA=EB=ED=AB=1，故,因?yàn)镈

21、ABDCB，所以EABECB,從而有所以,故,又因?yàn)?所以.又PA平面ABCD,所以，又GFEF=F，故AD平面CFG.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)、B(1,0,0)、C()、D()、P（）.所以.設(shè)平面BCP的法向量，則，解得，即.同理，設(shè)平面DCP的法向量，則，解得，即.從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為13.(2013·福建高考理科·T19)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱AA1底面ABCD, ABDC, AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0)(1)求證:CD平面A

22、DD1A1.(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為,求k的值.(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCDA1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問(wèn)共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為f(k),寫出f(k)的解析式.(直接寫出答案,不必說(shuō)明理由)【解題指南】運(yùn)用幾何法,通過(guò)證明CD垂直平面ADD1A1的兩條相交直線獲證,建立空間直角坐標(biāo)系,按線面角公式列式求k,第三小題,要注意不同的疊法,不同的長(zhǎng)度度量就發(fā)生了改變,從而影響表面積.【解析】(1)取CD中點(diǎn)E,連接BE,因?yàn)锳BD

23、E,AB=DE=3k,所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BEAD且BE=AD=4k.在BCE中,因?yàn)锽E=4k,CE=3k,BC=5k,所以BE2+CE2=BC2,所以BEC=90°,即BECD,又因?yàn)锽EAD,所以CDAD.因?yàn)锳A1平面ABCD,CD平面ABCD,所以AA1CD,又AA1AD=A,所以CD平面ADD1A1.(2)以D為原點(diǎn), 的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),所以，,設(shè)平面AB1C的法向量n=(x,y,z),則由得取y=2,得n=(3,2,-6k).設(shè)

24、AA1與平面AB1C所成角為,則,解得k=1.故所求k的值為1.(3)共有4種不同的方案 14.（2013·廣東高考理科·18）如圖，在等腰直角三角形ABC中，A =90°，BC=6，D,E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD=BE=，O為BC的中點(diǎn).將ADE沿DE折起，得到如圖所示的四棱椎，其中.（1） 證明：平面；（2） 求二面角的平面角的余弦值【解題指南】本題以折疊問(wèn)題為背景，考查線面垂直的證明及空間二面角的求法，對(duì)于立體幾何中的折疊問(wèn)題要注意折疊前后變與不變，求空間角則要注意空間向量的應(yīng)用.【解析】（1）因?yàn)樵谥校珹 =90°，BC=6，CD=BE=，O

25、為BC的中點(diǎn)，故AD=AE=2（即）；連接，在中，根據(jù)余弦定理可得，則，,從而平面；（2）方法一：過(guò)O作DC的垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角.在中，由此得，即二面角的平面角的余弦值為.方法二：設(shè)F為DE的中點(diǎn)，則兩兩垂直，以分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可寫出平面中的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，由此得，是平面的一個(gè)法向量，即二面角的平面角的余弦值為.15. （2013·山東高考理科·18）如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于

26、點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH. （）求證：AB/GH； （）求二面角D-GH-E的余弦值 . 【解析】(1)因?yàn)镈,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),所以EFAB,DCAB.所以EF/DC.又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF平面PCD.又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH,又EFAB,所以ABGH.(2)方法一:在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90°,即ABBQ.因?yàn)镻B平面ABQ,所以ABPB,又BPBQ=B,所以AB平面PBQ,由(1)知ABGH,所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ,

27、所以GHFH.同理可得GHHC,所以FHC為二面角D-GH-E的平面角.設(shè)BA=BQ=BP=2,連接FC,在RtFBC中,由勾股定理得FC=在RtPBC中,由勾股定理得PC=又H為PBQ的重心,所以HC=PC=.同理FH=在FHC中,由余弦定理得cosFHC= 即二面角D-GH-E的余弦值為.方法二:由AQ=2BD,D為AQ的中點(diǎn)可得,ABQ為直角三角形,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),設(shè)A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),則E(1,0,1),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),所以=(0,1,-2),=(-1,0,0),=(1,0,0),=(1,-2,1).設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為=(x1,y1,z1),則 得設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為=(x2,y2,z2),則取=(0,1,2),可得 因?yàn)槎娼荄-GH-E為鈍角,所以二面角D-GH-E的余弦值為16. （2013·陜西高考理科