遺傳算法求解一階常微分方程的數(shù)值解

1、遺傳算法求解一階常微分方程的數(shù)值解0引言常微分方程數(shù)值1-2解出現(xiàn)在科學(xué)與工程計算的許多領(lǐng)域如生物繁殖、自動控制、衛(wèi)星軌道等。目前已有許多數(shù)值解法:Eule:法、梯形法、數(shù)值積分方法、Runge-Kutta法、多步法等。在這些解法中,單從每一步看,步長越小,截斷誤差就越小,但隨著步長的縮小,在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加不但引起計算量的增大,而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。因此,微分方程的數(shù)值解法也有個選擇步長的問題。模擬自然界遺傳機(jī)制和生物進(jìn)化論形成的過程搜索最優(yōu)解的遺傳算法3-5(GeneticAlgorithms,簡稱GA),僅需要目標(biāo)函數(shù)的信息,不受搜索空間是否連續(xù)

2、或可微的限制,就可找到最優(yōu)解。本文中，利用GA算法自動控制步長選擇，然后由步長求出被積函數(shù)積分6,根據(jù)積分的值決定求解方程的精確度。最后數(shù)值實驗了該方法,結(jié)果較好。1 問題描述本文討論的是一階常微分方程初值問題,如下:如果用數(shù)值積分方法，在a,b上分為N份，每個小區(qū)間為,在之上對積分得。(2)對于積分項,分別利用數(shù)值積分的左、右矩形公式:若要使得數(shù)值解的公式階數(shù)提高,就必須使上式右端積分的數(shù)值求積分公式精度提高,即必然要求增加求積節(jié)點(diǎn)。隨著求積節(jié)點(diǎn)的增加,用傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法,在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加引起了計算量的增大,就會導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。遺傳算法是一種智能算

3、法,它的特點(diǎn)決定了解決一些復(fù)雜問題時,可以較容易地求出具體數(shù)值。在本文中,通過在利用遺傳算法的自適應(yīng)的特點(diǎn),在計算中自動調(diào)整每一步步長,最終達(dá)到精度要求,這是傳統(tǒng)方法難以完成的。因此,要使得計算精確,就必須讓積分的值達(dá)到精度,為此接著討論如何解決積分的問題。2 遺傳算法對積分問題的求解在求函數(shù)的積分時,不知道被積函數(shù)的形式,無法使用梯形公式,Newton-cotes,或Simpson等公式,因此對該函數(shù)一個點(diǎn)接著下一個點(diǎn)地求。本文使用左矩形方法計算隨機(jī)生成子區(qū)間內(nèi)的矩形面積。在求每個小區(qū)間內(nèi)積分的值時,由于無法知道函數(shù)的值,因此我們通過左矩形公式(3)近似地求出該函數(shù)的積分,再由式(2)求出的

4、值,然后接著求下一個子區(qū)間的積分。在對區(qū)間a,b求積分時,首先要知道被積函數(shù)單調(diào)區(qū)間。假設(shè)其中一個子區(qū)間a1,b1為單調(diào)遞增區(qū)間。求的值時,用左矩形面積公式計算a1,b1中劃分的子區(qū)間的每一個小面積sn,再把所有的sn累加得S。求該函數(shù)的積分,即是求S的最大值,max(S)。反之,當(dāng)為單調(diào)遞減區(qū)間時,用左矩形公式則求S的最小值,min(S)具體算法:1） 隨機(jī)生成N個種群,每個種群都對被積區(qū)間進(jìn)行隨機(jī)劃分。2）計算每個的值作為區(qū)間的長度。用左矩形公式即計算每個矩形的面積,于是。條件判斷是否0,即判斷被積函數(shù)的單調(diào)性。如果這些點(diǎn)單調(diào)性相同,則將其種群區(qū)間面積相加為S1o如果到某一點(diǎn)之后單調(diào)性相反

5、時,從那一點(diǎn)開始計算之后相同單調(diào)區(qū)間的矩形面積記為S2。直到計算出被積區(qū)間的所有小矩形的面積S3-Sm記為，（）o3）計算各個種群的適應(yīng)度。適應(yīng)度函數(shù)定義為,單調(diào)遞增區(qū)間部分的函數(shù)的適應(yīng)度,為單調(diào)遞減部分的函數(shù)的適應(yīng)度。4）根據(jù)適應(yīng)度選擇種群,用比例選擇或者退火選擇。5）進(jìn)行洗牌交叉,單點(diǎn)變異,重組算子的操作。6）判斷是否達(dá)到精度要求,或者滿足迭代次數(shù),是則結(jié)束程序,否則執(zhí)行2）。3 數(shù)值實驗用本文提出的遺傳算法對以下幾個實例（均來自文獻(xiàn)1）進(jìn)行數(shù)值實驗。種群大小20,采用比例選擇算子,交叉概率為0.8,變異概率為0.05。分別與Euler算法，經(jīng)典R-K算法,Milne算法比較,具體結(jié)果見表1,2,3。例1Euler算法取步長h=0.1。經(jīng)典R-K算法中取步長h=1o從以上表可以看出，無論是Eule,四階經(jīng)典的R-K算法，精度都不是很高。而Milne算法精度還可以,但是會出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩。而本文算法比前兩種經(jīng)典算法精度高,也比Milne算法穩(wěn)定,都能在:之間。4 結(jié)論我們把遺傳算法求積分的方法用于求解常微分方程,根據(jù)被積函數(shù)的單調(diào)性選擇合適的適應(yīng)度