圓與二次函數(shù)知識點

1、圓和二次函數(shù)知識點圓、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓;2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的

2、一條直線。、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離dr無交點;2、直線與圓相切dr有一個交點;3、直線與圓相交dr有兩個交點;、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi)2、點在圓上點C在圓內(nèi);點B在圓上;3、點在圓外點A在圓外;BCAdOd五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬?）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：AB是直徑ABCDCEDE

3、弧BC弧BD弧AC外離（圖1）無交點外切（圖2）有一個交點相交（圖3）有兩個交點內(nèi)切（圖4）有一個交點dRr-dRr.RrdRrdRr-內(nèi)含（圖5）無交點dRr;四、圓與圓的位置關(guān)系七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：:AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角AOB2ACB2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等??；即：在。中，:C、D都是所對的圓周角推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所弧AD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。0中，=AB/C

4、D.MAC弧BD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：AOBDOEABDE；DOCOF；弧BA弧BD九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在。O中，:AB是直徑C90.AB是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：

5、在ABC中，OCOAOB.ABC是直角三角形或C90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在。中,.四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形CBAD180BD180DAEC即：:MNOA且MN過半徑OA外端.MN是。的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖)以上三個定理及推論也稱二推一定理:即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線

6、的夾角。即：:PA、PB是的兩條切線PAPBPO平分BPA(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，二弦AB、CD相交于點P,PAPBPCPD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在。O中，.直徑ABCD,2CEAEBE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在。中，:PA是切線，PB是割線PA2PCPB(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)即：在。中，:PB、PE是割線PCPBPDPE十二、兩圓

7、公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：01、。02相交于A、B兩點.Ol2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:22(1)公切線長：Rt0102c 中，ABC01(2)外公切線長：C02是半徑之差；內(nèi)公切線長：C02是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計算(1)正三角形在。0中ABC是正三角形，有關(guān)計算在RtB0D中進行:0D:BD:0B1:石:2.(2)正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt0AE中進行，0E:AE:0A1:1:亞：(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在Rt0AB中進行，AB:0B:0A1:.3:2.0i02

8、2C022.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：(1)弧長公式:nRl180S(2)扇形面積公式：n21IR3602An：圓心角R：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積2、圓柱:(1)圓柱側(cè)面展開圖S表S側(cè)2s底=22rh2r(2)圓柱的體積：Vr2h母線長底面圓周長C13、圓錐側(cè)面展開圖RrV(2)圓錐的體積：r2h二次函數(shù)知識點(一)、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(aw。，則稱y為x的二次函數(shù)。(二)、二次函數(shù)的三種表達式一般式：y=ax2+bx+c(aO頂點式：y=a(x-h)2+k(aw。，此時拋物線的頂點坐標為P(

9、h,k)交點式：y=a(x-x)(x-x2)(aO僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，xi、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A(xi,0)和B(x2,0),對稱軸所在的直線為乂=出兇2注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：,b.4ac-b2-b.b2-4ach=,k=；xi,x2=;2a4a2a(三)、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。二次函數(shù)圖像的畫法五點法：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸(2)求拋物線yax2bxc與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線

10、與y軸的交點C,再找到點C的對稱點Do將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點Do由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。(四)、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向1對稱軸頂點坐標2yax當a0時開口向上x0(y軸)(0,0)2yaxkx0(y軸)(0,k),2yaxh當a0時開口向卜xh(h,0),2,yaxhkxh(h,k)2yaxbxcbx2ab4acb2(c，)2a4a

11、圖象平移規(guī)律：左加右減，對X；上加下減，直接加減（五）、拋物線的性質(zhì)拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線X2，對稱軸與拋物線唯一的交點2a是拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.2 .拋物線有一個頂點P,坐標為P（-,4aC-b）。當x=2時，y最值二2a4a2a24ac-b4a當a0時，函數(shù)y有最小值；當a0時，拋物線開口向上；當a0）；當對稱軸在y軸右邊時，a與b異號（即ab0時，拋物線與x軸有2個交點，對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根；A=b4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。A=2-

12、4ac0時，拋物線與x軸沒有交點，對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。（六）、二次函數(shù)的對稱性關(guān)于X軸對稱22Vaxbxc關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是Vaxbxc；22yaxhk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是Vaxhk；關(guān)于Y軸對稱2,2,Vaxbxc關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；關(guān)于原點對稱22yaxbxc關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk關(guān)于頂點對稱yax2bxe上土yax2bxcyaxbxC關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是2a；22yaxh卜關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是