圓的概念-公式及推導(dǎo)(完整版)

1、幾何說：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。軌跡說：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。集合說：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。K圓的相關(guān)量 R圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3.149323846，通常用冗表示，計(jì)算中常取3.1416為它的近似值。圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角

2、。內(nèi)心和外心：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。K圓和圓的相關(guān)量字母表示方法 R圓一O半徑一r弧一 c 直徑一d扇形弧長/圓錐母線一1周長一C面積一SK圓和其他圖形的位置關(guān)系 R圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在。O外，POr；P在。O上，PO=r；P在。O內(nèi)，POr；AB與。O相切，PO=r；AB與。O相交，POr,圓心距為P:外離PR+r；外切P

3、=R+r；相交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r;內(nèi)含PAPfUK：M相交弦定理從圓外一點(diǎn) P 引兩條割線與圓分別交于 A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD。證明：如圖直線 ABP 和 CDP 是自點(diǎn) P 引的。O 的兩條割線，則 PAPB=PCPD 證明：連接 AD、BCB二一文.一/A 和/C 都對(duì)弧 BD 由圓周角定理，得/A=/C又./APD=/CPB .ADPsCBP .AP:CP=DP:BP,也就是 AP-BP=CPDP101 圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合102 圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合103 圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合104 同圓或等

4、圓的半徑相等105 到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓106 和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線107 到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線108 到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109 定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。110 垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧111 推論 1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧112 推論 2 圓的兩

5、條平行弦所夾的弧相等113 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形114 定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等115 推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等116 定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半117 推論 1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等118 推論 2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑119 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形120 定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)

6、角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角121直線 L 和。O 相交 dvr直線 L 和。O 相切 d=r直線 L 和。O 相離 dr122 切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123 切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑124 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)125 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心126 切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角127 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等128 弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角129 推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等130 相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等131 推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)132 切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)133 推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相134 如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上135兩圓外離 dR+r兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-rdr)兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含 dvR-r(Rr)136 定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137 定理把圓