變式問題教學(xué)的粗淺思考01

1、變式問題教學(xué)的粗淺思考01三牧中學(xué)數(shù)學(xué)組林山杰（ 2016-10-7）“一題多解，解法優(yōu)化；一題多變，變中求同；多題一法，同模通法”是數(shù)學(xué)解題與習(xí)題教學(xué)中非常重要的教學(xué)方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的方法對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，進(jìn)行這三個(gè)維度的探究教學(xué)，非常有益于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)本文主要側(cè)重于思考與研究常見的幾何特征模型的一些變式問題的一些結(jié)論，并介紹一點(diǎn)對(duì)問題變式的改編方法的思考A主題 1：關(guān)于雙角平分線的模型圖 1-1問題 1-1：已知：如圖 1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分別平分 ABC 、OACB ，求證： BOC=90 +(1/2) BACBC這個(gè)問題需要兩個(gè)知識(shí)儲(chǔ)備， 一個(gè)是三角

2、形內(nèi)角和 180，另一個(gè)是角平分線的定義是非常常見的一個(gè)幾何問題這個(gè)問題可以有哪些變式呢？變式方法 1，往特殊的狀態(tài)以及簡單的方向變式，加強(qiáng)條件問題 1-2：已知：如圖1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分別平分 ABC ， ACB ，若 ABC=40 ， ACB=80 ，求： BOC 的度數(shù)問題 1-3：已知：如圖1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分別平分 ABC ， ACB ，若 BAC=60 ，求： BOC 的度數(shù)從這兩個(gè)特殊值入手，有助于學(xué)生過渡到一般情況，也就是問題1-1變式方法 2，往改變圖形的位置的方向變式，改變特征條件的位置A問題 1-4：已知：如圖 1-2，在 AB

3、C 中， AO、 BO分別平分 BAC 、 ABC ，求證： BOA (1/2) BCA 的值是定值圖 1-2問題 1-5：已知：如圖 1-2，在 ABC 中， AO、 CO 分別平分 BAC 、O ACB ，求： COA (1/2) ABC 的值BC這兩個(gè)問題還改變了問題設(shè)置的提問方式變式方法 3，往逆命題的方向變式，對(duì)調(diào)原題的條件與結(jié)論的位置問題 1-6：已知：如圖1-1，在 ABC 中， BO 平分 ABC ， BOC=90 +(1/2) BAC求證： CO 平分 ACB變式方法 4，運(yùn)用類比與對(duì)稱思維變式，改變內(nèi)角平分線的條件為外角平分線問題 1-7：已知：如圖1-3，在 ABC 中，

4、 BP 平分 ABC ， CP 平圖 1-3A分 ACE ，求： BPC： BAC 的值PBCEA問題 1-8：已知：如圖 1-4，在 ABC 中， BQ 平分 DBC ，CQ 平分圖 1-4BCF ，求： BQC 與 BAC 的數(shù)量關(guān)系B這兩個(gè)問題，最好需要增加一個(gè)知識(shí)儲(chǔ)備：三角形的外角等于不相鄰的C兩個(gè)內(nèi)角和使用這個(gè)定理證明的思路更快DFQ如果把這兩個(gè)變式問題的圖形和原來的圖形畫在一起，更容易發(fā)現(xiàn)這些問題的關(guān)聯(lián)A如圖 1-5， CO，CP 分別平分一對(duì)鄰補(bǔ)角 ACB ， ACE ，易證圖 1-5POCP=90同理 PBQ=90 CP， CQ 分別平分一對(duì)對(duì)頂角 ECB ， ACE ，易證

5、P、 C、Q 三O點(diǎn)共線BCEBOC 是 Rt OCP 的外角，所以 BOC=90 +BPCDBQC 是 Rt BQP 的內(nèi)角，所以 BQC=90 - BPCF因此這個(gè)題組的探究有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要關(guān)聯(lián),而不是Q孤立的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問題變式方法 5，往改變研究的著眼點(diǎn)入手，從研究角的數(shù)量問題，研究三角平分線共點(diǎn)A 問題 1-9：已知：如圖 1-2，在 ABC 中， BO、 CO 分別平分 ABC ，圖 1-6ACB ，求證： AO 平分 BAC BC問題 1-10 ：已知：如圖 1-6，在 ABC 中， BQ、 CQ 分別平分 DBC ，F(xiàn)CB ，求證： AQ 平分 BAC DFQ

6、問題 1-11：已知：如圖 1-7，在 ABC 中， BP、 CP 分別平分 ABC ，ACE ，求證： AP 平分 GAC 圖 1-7GA這三個(gè)問題需要新增知識(shí)儲(chǔ)備：角平分線的性質(zhì)定理（角的平分線上P的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）與判定定理（角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）BCE變式方法 5-2，還可以研究面積問題問題 1-12：已知：如圖 1-1，在 ABC 中， BO、CO 分別平分 ABC ，ACB ，若 ABC 的周長為20， O 到 BC 的距離為 4，求： ABC 的面積問題 1-13：已知：如圖1-6，在 ABC 中，在 ABC 中， BQ 、CQ 分別平分 DBC

7、， FCB ，若 ABC 的周長為20， ABC 的面積為 30，Q 到 BC 的距離為 4，求： BC 的長變式方法6，增加圖形條件，加入其它模型結(jié)構(gòu)，研究一些周長問題或者線段的數(shù)量關(guān)系。A問題 1-14：已知：如圖 1-8，在 ABC 中， BO、 CO 分別平分 ABC ，圖 1-8 ACB ，過 O 的直線 NM BC ， M ，N 分別在邊 AB ， AC 上，求證：M ABC 與 AMN 的周長之差 =BC NOBC問題 1-15：條件同問題1-14，求證： AMN 與 ABC 的周長之比 + BOC 與 ABC 的面積之比=1變式方法7，重復(fù)使用模型特征構(gòu)造新問題，甚至構(gòu)造一般化

8、的n 等分線模型A問題 1-15：已知：如圖 1-9，在 ABC 中， BK 、 BJ 三等分 ABC ， CK 、圖 1-9CJ 三等分 ACB ，若 BAC=80 ，求： BKC ， BKJ 的度數(shù)K問題 1-16：已知：如圖 1-10，在 ABC 中， BH 、BP、BT 四等分 ABC ，JCH 、CP、 CT 四等分 ACE ，若 BAC=80 ，求： BHC 、 BTC 的度BC數(shù)圖 1-10AH問題 1-17(莫萊定理 )：已知：如圖 1-11，A圖 1-11P在 ABC 中，BU 、BJ 三等分 ABC ，CV 、TCJ 三等分 ACB ，AU 、AV 三等分 BAC ，UVB

9、CE求證： UVJ 是等邊三角形 （這個(gè)問題屬于高聯(lián)難度的問題，只適合介紹給學(xué)生了解有關(guān)數(shù)學(xué)文化背景即可）變式方法 7，條件強(qiáng)化為特殊角，探究更豐富的內(nèi)涵JBCA圖 1-12EF問題 1-18：已知：如圖 1-12，在 ABC 中， BO 、 CO 分別平分 ABC ， ACB ，若 BAC=60 ，（1）求證： OE=OF ， BE+CF=BC （2）若 ABC=40 ，求證： BE=EC ， BO+OE=BC BO問題 1-19：去掉部分圖形【 隱形化變式，常為競(jìng)賽題所用 】，只余下CBEC ，條件為在 BEC 中， BE=EC ， BEC=100 ， BO 平分 EBC ，求證： BO+

10、OE=BC 【備注：這個(gè)特殊 40-60-80 的 ABC還有許多可以研究的問題， 如蘊(yùn)含的母子型相似，連接 AO還有新的結(jié)論等等，以后再研究。比如奧數(shù)教程八年級(jí)第六版 P118 例 3 例 4，P125例 3】1-20 ：（這是來自成都吳小平老師網(wǎng)名兩把刷子的分享）再舉個(gè)例子，問題當(dāng)然，這個(gè)雙角平分模型問題的變式不僅僅只有這些。這些難度不一的變式問題不是在一堂課中給學(xué)生學(xué)習(xí)，而是結(jié)合教學(xué)進(jìn)度的不同節(jié)點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生個(gè)體能力水平的不同發(fā)展，給學(xué)生課內(nèi)外適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)內(nèi)容。而教師對(duì)這系列問題的研究有助于教師理解數(shù)學(xué)問題之間的橫縱關(guān)聯(lián)，有助于教師對(duì)數(shù)學(xué)難題尋根溯源，有助于教師做到因材施教，找到合適的入手點(diǎn)

11、啟發(fā)點(diǎn)撥學(xué)生的學(xué)習(xí)?！疽韵率?016-10-9 補(bǔ)充，并對(duì)前面做了一些修改?！俊緩V州的蘇德杰老師對(duì)我的這個(gè)小文章做了這樣的指導(dǎo)，先附錄其中，到時(shí)有空再梳理修改這個(gè)文章。】“特殊化尋思路，一般化找規(guī)律，類比化覓相似。老蘇總結(jié)的教學(xué)深入淺出之道：簡化，透化，易化。從此角度看，其它之變，可舍矣！”（廣州蘇德杰語）我的感悟：變式要有方法可依，有脈絡(luò)可循，還需要做到合理有度和有教育教學(xué)價(jià)值取向。蘇老師在委婉批評(píng)我的一些變式的怪異提問方式。這實(shí)在是應(yīng)試所害，不得已提出些怪異的設(shè)問，讓學(xué)生從核心數(shù)學(xué)概念出發(fā)，理解好問題所求。這樣的題目設(shè)計(jì)也并非我的喜歡，玩文字游戲過多會(huì)削弱數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值。教學(xué)之道，我想

12、補(bǔ)充一點(diǎn)， “ 關(guān)聯(lián)化 ”。設(shè)計(jì)梳理這些難度不等的系列問題一個(gè)目的是為了梳理思考學(xué)習(xí)過的這些問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，總結(jié)變式的方法技巧與價(jià)值取向。另一個(gè)目的是總結(jié)該模型的一些解題經(jīng)驗(yàn)：1 一生二，二生三雙平分角導(dǎo)出第三平分，一些題目設(shè)計(jì)還會(huì)設(shè)計(jì)一些隱性的角平分條件，需要學(xué)生慧眼識(shí)別，從而應(yīng)用該模型。有關(guān)題目抽空再補(bǔ)充，比如此題，來自湖北武漢易懷老師的分享 其中 A，B，D 三點(diǎn)共線 2 導(dǎo)角利用有關(guān)特殊角的條件和有關(guān)模型，求出圖形中的所有特殊角，從中發(fā)現(xiàn)圖形之間的全等或相似關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化到更多的角的關(guān)系和線段的關(guān)系。例如奧數(shù)教程八年級(jí)第六版P130 的 13 題3 邊角轉(zhuǎn)化 利用角平分線的性質(zhì)或判定定理構(gòu)造角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂線段， 從這些垂線段相等出發(fā)，可以轉(zhuǎn)化出面積的有關(guān)問題。例如這題可以用等面積法另外的目的是為了給個(gè)體差異化非常突出的學(xué)生設(shè)計(jì)適合的學(xué)習(xí)內(nèi)容。另外蘇老師還指出用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看變式，我思悟：運(yùn)動(dòng)與函數(shù)思想相結(jié)合，運(yùn)動(dòng)