圓周運動經(jīng)典例題

1、2021/3/91 圓周運動的應(yīng)用圓周運動的應(yīng)用2021/3/921、豎直平面內(nèi)的圓周運動、豎直平面內(nèi)的圓周運動（1）無支持物模型）無支持物模型臨界條件：小球恰能過最高點臨界條件：小球恰能過最高點grv 0rmvmg20A、能過最高點的條件：、能過最高點的條件：B 、不能過最高點的條件：、不能過最高點的條件：思考思考:小球在豎直平面的運動情況小球在豎直平面的運動情況?grv grv 實際是球還沒到最高點時就脫離了軌道實際是球還沒到最高點時就脫離了軌道2021/3/93（2）有支持物模型）有支持物模型a、當(dāng)、當(dāng)v=0時，時，N=mggrc、當(dāng)、當(dāng)v= 時，時，N=0b、當(dāng)、當(dāng)0v 時，支持力時，

2、支持力N, 0Nmggrmg N = rvm2grd、當(dāng)、當(dāng)v 時，拉力時，拉力TT + mg = rvm2臨界條件：臨界條件：小球恰能到最高點：小球恰能到最高點：v=0；輕桿無彈力時：輕桿無彈力時：grv 2021/3/94例例1、如圖所示，長為如圖所示，長為L的輕桿，一端固定著一個小球，的輕桿，一端固定著一個小球，另一端可繞光滑的水平軸轉(zhuǎn)使小球在豎直平面內(nèi)運動，另一端可繞光滑的水平軸轉(zhuǎn)使小球在豎直平面內(nèi)運動，設(shè)小球在最高點的速度為設(shè)小球在最高點的速度為v,則（則（ ）A.v的最小值為的最小值為B.v若增大，向心力也增大若增大，向心力也增大C.當(dāng)當(dāng)v由由 逐漸增大時，桿對球的彈力也增大逐漸增

3、大時，桿對球的彈力也增大D.當(dāng)當(dāng)v由由0逐漸增大時，桿對球的彈力先減小后增大逐漸增大時，桿對球的彈力先減小后增大gLgL2021/3/95 例例2、雜技演員表演雜技演員表演“水流星水流星”，使裝有水的瓶子在，使裝有水的瓶子在豎直平面內(nèi)做半徑為豎直平面內(nèi)做半徑為0.9 m的圓周運動，若瓶內(nèi)盛有的圓周運動，若瓶內(nèi)盛有100 g水，瓶的質(zhì)量為水，瓶的質(zhì)量為400 g，當(dāng)瓶運動到最高點時，瓶口向，當(dāng)瓶運動到最高點時，瓶口向下，要使水不流出來，瓶子的速度至少為下，要使水不流出來，瓶子的速度至少為 m/s, 若瓶子在最高點的速度為若瓶子在最高點的速度為6m/s則瓶子對水的壓力為則瓶子對水的壓力為 N，繩子

4、受到的，繩子受到的拉力為拉力為_N。v2021/3/96 解：解： 在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底對它的壓力和重力的合力為向心力。對它的壓力和重力的合力為向心力。rvmNmg2而壓力只能：而壓力只能：0Nsmgrv/3所以水不流出的條件是：所以水不流出的條件是：若瓶子在最高點的速度為若瓶子在最高點的速度為6m/s6m/s)(15)()(2NgMmRvMmT繩子受到的拉力為：繩子受到的拉力為：)(32NmgRvmN則瓶子對水的壓力為則瓶子對水的壓力為2021/3/97例例3、用鋼管做成半徑為用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環(huán)（管的光滑圓環(huán)（管徑遠小于

5、徑遠小于R）豎直放置，一小球（可看作質(zhì)點直）豎直放置，一小球（可看作質(zhì)點直徑略小于管徑）質(zhì)量為徑略小于管徑）質(zhì)量為m=0.2kg在環(huán)內(nèi)做圓周運在環(huán)內(nèi)做圓周運動，求動，求:小球通過最高點小球通過最高點A時，下列兩種情況下球時，下列兩種情況下球?qū)鼙诘淖饔昧Α鼙诘淖饔昧Α?取取g=10m/s2 ，求：求： (1) A的速率的速率為為1.0m/s (2) A的速率為的速率為4.0m/s。2021/3/98AOm解：解：先求出彈力為先求出彈力為0 0 時的速率時的速率v v0 0(1) v(1) v1 1=1m/s v=1m/s v=4m/s v0 0 球應(yīng)受到外壁向下的彈力力球應(yīng)受到外壁向下的彈

6、力力N N2 2AOmN2mg由牛頓第三定律，球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e為：由牛頓第三定律，球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e為：(1) (1) 對內(nèi)壁對內(nèi)壁1.6N1.6N向下的壓力向下的壓力 (2)(2)對外壁對外壁4.4N4.4N向上的壓力向上的壓力. .rvmmg2smrgv/25. 20rvmNmg211)( 6 . 11NN rvmNmg222)( 4 . 42NN 2021/3/99例例4、 如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸O在豎直面內(nèi)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，桿的兩端固定有質(zhì)量均為轉(zhuǎn)動，桿的兩端固定有質(zhì)量均為m=1kg的小球的小球A和和B，球心到軸球心到軸O的距離分別為的距離分別為O

7、=0.8m，BO=0.2m。已知。已知A球轉(zhuǎn)到最低點時速度為球轉(zhuǎn)到最低點時速度為vA=4m/s，問此時，問此時A、B球?qū)η驅(qū)U的作用力的大小和方向？桿的作用力的大小和方向？ABvAvB2021/3/910解解: 兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此可知：可知：vA=4m/s時時vB=1m/s對對A球：球：FA-mg=mvA2/OA解出：解出：FA=30N，于是，于是A球?qū)殫U的力大小為球?qū)殫U的力大小為30N，方，方向向下向向下對對B球：設(shè)桿對球的作用力向下，則球：設(shè)桿對球的作用力向下，則FB+mg=mvB2/OB解出：解出：FB=-5N，于是，

8、于是B球?qū)殫U的力大小為球?qū)殫U的力大小為5N，方向，方向向下向下ABvAvB2021/3/911例例5、如圖所示，在電動機上距水平軸如圖所示，在電動機上距水平軸O為為r處固定一個處固定一個質(zhì)量為質(zhì)量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩(wěn)定時，以角速度的鐵塊，電動機啟動后達到穩(wěn)定時，以角速度做勻速圓周運動，則在轉(zhuǎn)動過程中，電動機對地面的做勻速圓周運動，則在轉(zhuǎn)動過程中，電動機對地面的最大壓力和最小壓力的數(shù)值之差為多少？最大壓力和最小壓力的數(shù)值之差為多少？2021/3/912【思路點撥】【思路點撥】當(dāng)小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉(zhuǎn)動至最低點當(dāng)小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉(zhuǎn)動至最低點時受桿的拉力時受桿的

9、拉力F1及重力作用，如圖甲所示，此時及重力作用，如圖甲所示，此時F1mg。當(dāng)小鐵當(dāng)小鐵塊轉(zhuǎn)至最高點時，鐵塊受向下的重力及拉力塊轉(zhuǎn)至最高點時，鐵塊受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力（或向上的支持力F2），如圖所示），如圖所示：【解析】對鐵塊，由牛頓第二定律得：【解析】對鐵塊，由牛頓第二定律得：甲：甲：F1-mg=m2r 乙：乙：F2+mg=m2r(或或mg-F2=m2r) 由兩式得：由兩式得： F1F2=2m2r.由牛頓第三定律知，鐵塊對桿、桿對電動機兩個作用力的差即為由牛頓第三定律知，鐵塊對桿、桿對電動機兩個作用力的差即為：2m2r.鐵塊轉(zhuǎn)至最高點時，電動機對地面的壓力鐵塊轉(zhuǎn)至最高點時，電

10、動機對地面的壓力FN最小最小為：為：FN=MgF2，其中，其中M為電動機的質(zhì)量為電動機的質(zhì)量.電動機對地面的最大壓力為電動機對地面的最大壓力為：FN=Mg+F1故故：FN-FN=F1F2=2m2r2021/3/913 例例6、如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上放著如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上放著A、B、C三物，質(zhì)量三物，質(zhì)量分別為分別為2m、m、m，離轉(zhuǎn)軸距離分別為，離轉(zhuǎn)軸距離分別為R、R、2R，與，與轉(zhuǎn)臺動摩擦因數(shù)相同，轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時，下列說法正確的轉(zhuǎn)臺動摩擦因數(shù)相同，轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時，下列說法正確的是（是（ ） A若三物均未滑動，若三物均未滑動，C物向心加速度最大物向心加速度最大 B若三物均未滑動，若三物均未滑動，B物受

11、摩擦力最大物受摩擦力最大 C轉(zhuǎn)速增加，轉(zhuǎn)速增加，A物比物比B物先滑動物先滑動 D轉(zhuǎn)速增加，轉(zhuǎn)速增加，C物先滑動物先滑動2021/3/914例例7、細繩一端系著質(zhì)量細繩一端系著質(zhì)量M=0.6千克的物體，靜止在水千克的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3千克的物體千克的物體，M與圓孔距離為與圓孔距離為0.2米，并知米，并知M和水平面的最大靜摩擦和水平面的最大靜摩擦力為力為2牛，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度牛，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度 在在什么范圍什么范圍m會處于靜止狀態(tài)？會處于靜止狀態(tài)？(g取取10米米/秒秒2) mMOr2021

12、/3/915m mM MO Or r 解：解：當(dāng)當(dāng) 具有最小值時，具有最小值時，M M有向圓心運動有向圓心運動趨勢，故水平面對趨勢，故水平面對M M的摩擦力方向和指向圓心的摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力方向相反，且等于最大靜摩擦力2 2牛。牛。當(dāng)當(dāng) 具有最大值時，具有最大值時，M M有離開圓心趨勢，水平面對有離開圓心趨勢，水平面對M M摩擦力方向指向圓心，摩擦力方向指向圓心，大小也為大小也為2 2牛。牛。故故 范圍是：范圍是：2.92.9弧度弧度/ /秒秒 6.56.5弧度弧度/ /秒。秒。 隔離隔離M M有：有：rMfTm21)/(9 . 2srad解得：解得：隔離隔離M

13、M有：有：rMfTm22)/(5 . 6srad解得：解得：2021/3/916例例8、如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質(zhì)量如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質(zhì)量為為M的質(zhì)點的質(zhì)點P，與穿過中央小孔的輕繩一端連著。平板，與穿過中央小孔的輕繩一端連著。平板與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使質(zhì)點做半徑為與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使質(zhì)點做半徑為a、角速度為、角速度為的勻速圓周運動的勻速圓周運動.若繩子迅速放松至某一若繩子迅速放松至某一長度長度b而拉緊，質(zhì)點就能在以半徑為而拉緊，質(zhì)點就能在以半徑為b的圓周上做勻速圓的圓周上做勻速圓周運動周運動. 求：（求：（1）質(zhì)點由半徑）質(zhì)點由半

14、徑a到到b所需的時間，所需的時間， （2）質(zhì)點在半徑為）質(zhì)點在半徑為b的圓周上運動的角速度。的圓周上運動的角速度。PF2021/3/917baV22abS解：（解：（1 1）繩子迅速放松后質(zhì)點繩子迅速放松后質(zhì)點P P沿切線做勻沿切線做勻速直線運動。如圖所示，質(zhì)點做勻速直線運速直線運動。如圖所示，質(zhì)點做勻速直線運動的距離為：動的距離為：av做勻速直線運動速度大小為做勻速直線運動速度大小為aabvSt22所以質(zhì)點由半徑所以質(zhì)點由半徑a a到到b b所需的時間為所需的時間為（2 2）繩子繃直的瞬間，質(zhì)點的法向繩子繃直的瞬間，質(zhì)點的法向速度速度V V2 2變?yōu)樽優(yōu)? 0，此后質(zhì)點以切向速度，此后質(zhì)點以

15、切向速度V V1 1作半徑為作半徑為b b的勻速圓周運動。的勻速圓周運動。vvba1sinabvv1而：而：22ba所以：所以：2021/3/918例例9、如圖所示，一個人用長為如圖所示，一個人用長為l=1m，只能承受，只能承受Tm=46N拉力的繩子，拴著一質(zhì)量為拉力的繩子，拴著一質(zhì)量為m=1kg的小球，在豎直平面的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動。已知圓心內(nèi)做圓周運動。已知圓心O離地面高離地面高h=6m，轉(zhuǎn)動中小球，轉(zhuǎn)動中小球在最低點時繩子斷了。在最低點時繩子斷了。（1）繩子斷時小球運動的角速度多大？）繩子斷時小球運動的角速度多大？（2）繩子斷后，小球落點到拋出點的水平距離是多大？）繩子斷后，小

16、球落點到拋出點的水平距離是多大？hvR（1）6 rad/s （2）6 m 2021/3/919例例10、一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角豎直方向，母線與軸線之間的夾角=30。一條長為。一條長為L的繩（質(zhì)量不計），一端固定在圓錐體頂點的繩（質(zhì)量不計），一端固定在圓錐體頂點O處，另一處，另一端栓著一個質(zhì)量為端栓著一個質(zhì)量為m的小物體（可視為質(zhì)點）。小物體的小物體（可視為質(zhì)點）。小物體以速率以速率V 繞軸線做水平勻速圓周運動。繞軸線做水平勻速圓周運動。 求：求： 當(dāng)當(dāng) 時時,繩對物體的拉力。繩對物體的拉力。 當(dāng)當(dāng) 時，

17、求繩時，求繩對物體的拉力。對物體的拉力。2/3glv 6/glv 300O2021/3/920解：解：物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持力為力為0 0，設(shè)此時線速度為，設(shè)此時線速度為V V0 0。mgTY Y方向：方向：mgTcosX X方向：方向：sin/sin20lmvT解得：解得：6/30glv mgTY Y方向：方向：mgNTsincosX X方向：方向：sin/cossin2lmvNT解得：解得：mgT32（1 1）當(dāng)當(dāng) 時，時，錐面對物錐面對物體有支持力。體有支持力。6/36/glglvN2021/3/921Y Y方向：方向：mgTcosX X

18、方向：方向：sin/sin2lmvT解得：解得：mgT2（2 2）當(dāng)當(dāng) 時，錐面對物時，錐面對物體無支持力，物體已離開錐面高，設(shè)體無支持力，物體已離開錐面高，設(shè)表示繩表示繩與軸線之間的夾角與軸線之間的夾角。6/36/3glglv0232222gmTmgT兩式整理得：兩式整理得：2021/3/922例例11、如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，上的小球，上面繩長面繩長L2m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為30與與45，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為角速度為3 rad/s時，

19、上、下兩繩拉力分別為多大？時，上、下兩繩拉力分別為多大？3045ABC分析：當(dāng)角速度分析：當(dāng)角速度很小時，很小時，AC和和BC與軸的夾角都很小，與軸的夾角都很小，BC并不張并不張緊。當(dāng)緊。當(dāng)逐漸增大使逐漸增大使AC繩與軸成繩與軸成30時，時，BC才被拉直（這是一個才被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍繩中的張力仍然為零。然為零。2021/3/923解：解： 當(dāng)角速度當(dāng)角速度為最小值為最小值1時，時，TBC=0， 則有：則有： TACcos30mg TACsin30m Lsin3012 將已知條件代入上式解得將已知條件代入上式解得 12.4 rad/s 2021/3/924 當(dāng)角速度當(dāng)角速度為最大值為最大值2時，時，TAC0，則有：，則有： TBCcos45mg TBCsin45m Lsin3022 將已知條件代入上式解得將已知條件代入上式解得 23.16 rad/s 所以，當(dāng)所以，當(dāng)滿足滿足 2.4 rad/s3.16 rad/s時，時，AC、BC兩繩始終張緊。兩繩始終張緊。2021/3/925設(shè)設(shè)=3rad/s時兩繩拉力分別為時兩繩拉力分別為FAC和和FBC，則有：，則有： FACsin30FBCsin45m Lsin302 FACcos30FBCcos45mg將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得將數(shù)據(jù)