大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料(免費)

1、f(x|wM，函數(shù)f(x)在x=x0的任一去心q(x)商式的極限運算px=a0xmma1xam、q(x)=b0xn+bixnbn(特別地，當(dāng)limU-xigx0(不定型)時，通常分lim三x口x-9x3x-3=lim，x©x3x-3x2-911-=limx32x6高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識)()鄰域(去心鄰域)()第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明()R題型1已知數(shù)列4,證明limxn=ax.R證明1名-N語言1.由Xn-a<6化簡得n>g(君)N-lig；2,即對vs>0,3N=g(8)1,當(dāng)naN時，始終有不等式xn-a|<

2、;君成立，limlxnJ=aXJ二二第三節(jié)函數(shù)的極限XTXo時函數(shù)極限的證明()R題型1已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=AJX0R證明1名一&語言1 .由f(x)A<名化簡得0<,-|<9(君)，=g；2,即對Vs>0,m6=g(3),當(dāng)0<|xx0<6時，始終有不等式f(xA<E成立，limfx=Ax的xT8時函數(shù)極限的證明()R題型1已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=Ax.R證明1wX語言1 .由f(x)A<注化簡得x>g(z),X=g；2 .即對Vea0,三X=g(君)，當(dāng)xX時，始終有不等式“乂)-人<6成立

3、，limfx)；=Ax，二第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小與無窮大的本質(zhì)()函數(shù)f(x)無窮小ulimf(x)=0函數(shù)f(x)無窮大仁limf(x)=°°無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論()(定理三)假設(shè)f(x)為有界函數(shù)，g(x)為無窮小，則lim|fxgx=0(定理四)在自變量的某個變化過程中，若f(x)為無窮大，則f,(x)為無窮?。环粗?，若f(x)為無窮小，且f(x)#0,則f,(x)為無窮大1計算：limf(x)g(x)"|(或xt)鄰域ua，8)內(nèi)是有界的;，函數(shù)f(x)在xwD上有界；)2 .limg(x)=0即函數(shù)g(x)是xtx0時的無窮??；x_.X0(

4、limg(x)=0即函數(shù)g(x)是xt8時的無窮??；)x_)二二3 .由定理可知也,f(x”g(x)j=0(吧f(*>g(x)=0)第五節(jié)極限運算法則極限的四則運算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關(guān)于多項式p(x卜n:mTq(x)b00子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解)因為xt3,從而可得x。3,所以原.一，,x-3其中x=3為函數(shù)f(x)=T3的可去間斷點x2-9倘若運用羅比達法則求解(詳見第三章第二節(jié))0x-30解：lim2=limx>3x29Lx3連續(xù)函數(shù)穿越定理(復(fù)合函數(shù)的極限求解)()（定理五）若函數(shù)f（x）是定義域上的

5、連續(xù)函數(shù)，那么,的f產(chǎn)x二f?。簒1求值：limx-3x2-9x-3limx2-3x3x2-9第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限夾迫準則（P53）（）第一個重要極限：limsne=1xQxJIVxW0,I,工27sinx/sinx<x<tanx.lim=1X#x擇數(shù)a,使得f（x）成為在R上的連續(xù)函數(shù)？R求解示例1f0-=e20-=e1=e1 f0+）=a+0+=af10=a2 .由連續(xù)函數(shù)定義limf（x）=limj（x）=f（0）=ex_0-x0-，a=e第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理（）R題型1證明：方程f（x）=g（x）+C至少有一個根介于a與b之間R證明1（特別地，呵

6、sin(x-%)=1)x-x01.（建立輔助函數(shù)）函數(shù)平（x戶f（x）-g（x）-C在閉區(qū)間la,b上連續(xù)；單調(diào)有界收斂準則（P57）（）第二個重要極限:（一般地，limx1=exf(x0喳)=limf(x)hmg(x)，其中l(wèi)imf(x)>0)2 .邛（a）邛（b）0（端點異號）3 .，由零點定理，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點-,使得以巴）=0,即f（巴）_g代）£=0（0d）4 .這等式說明方程f（x）=g（x）+C在開區(qū)間（a,b）limxB2x+1)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念R求解示例1第七節(jié)無窮小量的階（無窮小的比較）等價無窮?。ǎ︰sinUtanUarcsin

7、UarctanUln（1U）1Ue-11 22 U1-cosU2（乘除可替，加減不行）1求值：limx0ln1x廠xln1xx23xR求解示例1第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的定義（）間斷點的分類（P67）（）高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)()xx.ex+1x<0.R題型1已知函數(shù)f(x)=廣，在x=0ax+bx>0.處可導(dǎo)，求a,bR求解示例10f0-=e0，1=e01=21 “u0產(chǎn)e=1Lf.0=af0-bf0=e01=2f0；=f.0；=a=12,由函數(shù)可導(dǎo)定義士一一M二f0-f0：">f0)：=b=2a=1,b=2第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷

8、點（不等）可去間斷點（相等）第二類間斷點3R題型1求y=f（x而x=a處的切線與法線方程（或：過y=f（x）圖像上點一a,f（a）處的切線與法線方程）R求解示例1無窮間斷點（極限為（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應(yīng)公因式）1設(shè)函數(shù)f（x）=2xex:0,x0應(yīng)該怎樣選x-01 .y'=f'(x),y'|xN=f'(a)2 .切線方程：y-f(a)=f'(a'x-a)法線方程：y_fax-afa內(nèi)至少有一個根第二節(jié)函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1.線性組合（定理一）：（otu±0v）1r=au

9、9;+Pv特別地，當(dāng)a=P=1時，有（u±v），=u'±v'2 .函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）:(uv)=uvuv3 .函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）uuv-uvv一v2第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）R求解示例1由題可得f（x）為直接函數(shù)，其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且f'（x）#0；，f,（x，=復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）R題型1設(shè)y=ln(earc叫H+7777)，求y'R求解示例1第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)川卜）=4,心）1'（或答=|竿J（）-dx|dxR題型1求函數(shù)y=In（1+x）的n階導(dǎo)數(shù)R求解示例1y'=-=（1+

10、x廣，1xy,，-卜1x,=-11x',第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對x求導(dǎo)）（）R題型1試求：方程y=x+ey所給定的曲線C：y=y（x狂點（1-e,1）的切線方程與法線方程R求解示例1由y=x+ey兩邊對x求導(dǎo)即y'=x'+(ey)化簡得y'=1+ey-y1-y1-e，切線方程:法線方程:1-e1y1二x-1e1-eyT=-1-ex_1e參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)x=W求嗎）=飛）dx,dy、,，2R求解示例11.曳=）2口=宜紅dx:tdxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分基本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則

11、（）第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理引理（費馬引理）（）羅爾定理（）R題型1現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f（x）在10,n上連續(xù)，在（0團）上可導(dǎo)，試證明：0,二，使得f.）cost+格jsint=0成立R證明11 .（建立輔助函數(shù)）令中（x）=f（x）sinx顯然函數(shù)中（x/閉區(qū)間0尸上連續(xù)，在開區(qū)間（0,冗）上可導(dǎo)；2 .又.中（0）=f（0）sin0=0即0-：-03 .，由羅爾定理知30（0平），使得f（上）cos-+fJsin2=0成立拉格朗日中值定理（）R題型1證明不等式：當(dāng)x>1時，ex>exR證明11 .（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f（x）=ex,則對Vx>1,顯然函數(shù)f（x

12、）在閉區(qū)間1,x上連續(xù)，在開區(qū)間（1,x）上可導(dǎo)，并且f'（x）=ex；2 .由拉格朗日中值定理可得，三tWl1,xl使得等式x1,、e-e=（x-1）e成立，1x11又e>e,ee>（x1）e=exe,化簡得ex>ex,即證得：當(dāng)x>1時，ex>exR題型1證明不等式：當(dāng)x>0時，ln（1+x）<xR證明11.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f（x）=ln（1+x）,則對Vx>0,函數(shù)f（x）在閉區(qū)間b,x】上連續(xù)，在開區(qū)1間（0,五）上可導(dǎo)，并且f'（x）=;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，wb,x使得等式1一ln（1+xln（1+

13、0）=（x一0）成乂，1.,化簡得ln(1十x=x,又=30,x,1f=<1,ln(1十x)<1x=x,即證得：當(dāng)x>1時,第二節(jié)羅比達法則運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1 ,等價無窮小的替換（以簡化運算）2 .判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件A.屬于兩大基本不定型（一，二）且滿足條件,0二則進行運算：lim5=limx射gxigx（再進行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B.不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0二型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）"求值：四#lnxR求解示例1（一般地，l"xa<lnxf=0,其中a,

14、PwR）g妙型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）tanxR題型1求值：lim1-iX_；0xR求解示例1運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（）通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運算將指數(shù)提前）第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）R題型1試確定函數(shù)f（x）=2x39x2+12x3的單調(diào)區(qū)間R求解示例11 .函數(shù)f（x）在其定義域R上連續(xù)，且可導(dǎo)fx=6x2-18x122 .令f'x）二伏一1x）（2=0，解得：x1=1,x2=23 .（三行表）極大值極小值4 .函數(shù)

15、f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（口,1，2,+s）;1求值:limx0sinxxR求解示例100dimLx0x-sinxx201-cosx0二lim2xLx01-cosx2x=xim0sinx20°型（對數(shù)求極限法）求值：叫xx解：設(shè)丫=xx,兩邊取對數(shù)得：lny=lnx'lnx=xlnx=-對對數(shù)取x-0時的極限：limlny=lim1nx=lim-x0x01Lx0/-1xx一x單調(diào)遞減區(qū)間為1,2R題型1證明：當(dāng)x>0時，ex>x+1R證明11.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)cp(x)=ex-x-1,(x>0)2,*<x)=ex-1>0,(x>0)x廣；

16、0=03.既證：當(dāng)x>0時，ex>x+1R題型1證明：當(dāng)x>0時，ln(1+x)<xR證明11 .(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)邛(x)=ln(1+x)-x,(x>0).1一2 .*(x)=-1<0,(xa0)1 x:x)”0=01=lim-xx012_x產(chǎn)型-Timx=0,從而有l(wèi)imy=limenyx0x0，x0（對數(shù)求極限法）11求值：lim(cosx+sinxBx0R求解示例1型（對數(shù)求極限法）limlny=eT=e=13,既證：當(dāng)x>0時，ln（1+x）<x連續(xù)函數(shù)凹凸性（）R題型1試討論函數(shù)y=1+3x2-x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點R證明1

17、y=-3x26x=-3xx-21jy-6x6-6x-1y-Wxx-2=02y=-6x-1=0Xi=0,Xo=2解得：x1，2x=1一.一2一fx=-3x32.令f'(x)=3(x1；(x+1)=0,3.(四行表)/解得：x1-1,Xo=13 .(三行表)極小值極大值我們則稱函數(shù)f(x)在點X，f(Xm只處有極大Tdx=a1a4 .函數(shù)y=1+3x2-x3單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-二,0),(2,：);23函數(shù)y=1+3x-x的極小值在x=0時取到，為f(0)=1,極大值在x=2時取到，為f(2)=5;函數(shù)y=1+3x2x3在區(qū)間(,0),(0,1)上凹，在區(qū)

18、間(1,2),(2,七)上凸；23.函數(shù)y=1+3x-x的拐點坐標為(1,3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值函數(shù)的極值與最值的關(guān)系()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果三xM的某個鄰域U(xm產(chǎn)D,使得對VxeU(Xm),都適合不等式f(x)<f(Xm),值f(Xm)；令XM'*XM1,xM2,XM3,XMn則函數(shù)f(x而閉區(qū)間Ia,b上的最大值M滿足:M=maxf(a'1,Xm2,Xm3,。,f(b)；設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果3xm的某個鄰域U(xmD,使得對Vx=U(Xm),都適合不等式f(x)>f(Xm),我們則稱函數(shù)f(x成點m,f(xm)1處有極小值

19、f(Xm)；令xm,xm1,xm2,Xm3，,Xmn則函數(shù)f(x昨閉區(qū)間la,b】上的最小值m滿足:m=minf(a)Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn,f(b»；R題型1求函數(shù)f(x)=3x-x3在-1,3上的最值R求解示例11.函數(shù)f(x而其定義域-1,3上連續(xù)，且可導(dǎo)4.又.f1)=2,f(1)=2,f(3)=18f(XMax=f(1)=2,f(X)min=f(3)=-18第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪(不作要求)第七節(jié)曲率(不作要求)第八節(jié)方程的近似解(不作要求)第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念()原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)

20、為F(x),即當(dāng)自變量xwI時，有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x>dx成立,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：()如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F'(x)=f(x),也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))不定積分的概念()在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為：fxdx=FxC(J稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達式，x則稱為積分變量)基本積分表()不定積分的線性性質(zhì)(分項積分公式)()第二節(jié)換元積分法第一類換元法

21、(湊微分)()(dy=f1X)*dx的逆向應(yīng)用)1-2d!x=arctanxC)aaa1a1R題型1求_dx,2x1R求解示例1第二類換元法（去根式）（）（dy=f'（x）dx的正向應(yīng)用）對于一次根式（a=0,b.R）：Jax+b:令t=Jax+b,于是x=,a則原式可化為t對于根號下平方和的形式（a>0）：22Va+x:令x=atant（一<t<一）,22x于是t=arctan,則原式可化為asect；a對于根號下平方差的形式（a>0）：工a. 7a-x:ax=asint（<t<一）,22x于是t=arcsin一,則原式可化為acost;ab. V

22、x2-a2:令x=asect（0<t<二），2a于是t=arccos一,則原式可化為atant；x1，一R題型1求-dx（一次根式）.2x1R求解示例1解：fdx1tdt=f出=t+C=J2x+1+C2x1x建弓tdx4dtR題型1求-a2-x2dx（三角換元）R求解示例1第三節(jié)分部積分法分部積分法（）設(shè)函數(shù)u=f（x）,v=g（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其b.若fv，u'dx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)CR題型1求Jexx2dxR求解示例1R題型1求Jexsin

23、xdxR求解示例1x1x-esinxdx=-esinx-cosx廠C第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)（）mm-J、Pxpx=a°xxam.設(shè)：7-=內(nèi)Qxqx=b0xbx：bn對于有理函數(shù)）,當(dāng)P（x）的次數(shù)小于Q（x）的Qx次數(shù)時，有理函數(shù)以兇是真分式；當(dāng)P（x）的次數(shù)Qx大于Q（x）的次數(shù)時,有理函數(shù)以有是假分式Qx有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數(shù)Px，的分母Q（x）分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示k為一次因式（x-a）；而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式（x2+px+q）,（p24q<0）；即：Qx=QxQ2xna=一一m一般地

24、：mx+n=m1x+I,則參數(shù)mN1N2Ni由待定系分部積分公式可表示為：udv=uv-vdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、哥、三、指”運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；就近湊微分：（v'dx=dv）使用分部積分公式：udv=uv-vdu展開尾項vdu=vu'dx,判斷a.若Jvudx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；則設(shè)有理函數(shù)一3的分拆和式為:Qx其中數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解2R題型1求fdx（構(gòu)造法）x1第五節(jié)積分表的使用(不作要求)第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義()(f(x和為被積函數(shù)，f(xjdx稱為被積表達式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，la,b1稱為積分區(qū)間)定積分