高等數(shù)學(xué)微分方程總結(jié)

1、求解流程圖求解流程圖一階齊次可分離變量一階線性nyxQyxPy Bernoulli)()( )(0)()( xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齊次 0)(yxpy非齊次 )()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy )(),(dxxhdyyg)()(變易先求齊次通解，再常數(shù))()()(CdxexQey dxxPdxxP 或公式或公式ny zn1 ) 1 , 0(令1.折線積分折線積分2.湊全微分湊全微分3.定積分定積分轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為z的一階線性的一階線性關(guān)于關(guān)于u一階一階二階線性方程0)()()(210 yxayxayxa)()()(21xfyxayxay 二階變系數(shù)二階二階一階

2、)(),(xpy yxfy 令令)(),(xypy yyfy 令令二階常系數(shù)齊次 0 qyypy非齊次 )(xfqyypy 解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)0 2qprry特征方程：代數(shù)解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121 . 1)( . 221211xcceyrrxr)sincos( . 3212, 1xcxceyirx高階次連續(xù)積分nxfyn )()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx 令令 )(ppp1)1(11)(高階常系數(shù)線性微分方程01) 1(1)( ypypypynnnn0111 nnnnprprpr 代數(shù)特征方程代數(shù)特征方程P338P348 1. 一階一

3、階標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型辨別方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階一階非標(biāo)準(zhǔn)非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解 (1) 變量代換法變量代換法 代換代換自變量自變量代換代換因變量因變量代換代換某組合式某組合式(2) 積分因子法積分因子法 選積分因子選積分因子, 解全微分方程解全微分方程四個標(biāo)準(zhǔn)類型四個標(biāo)準(zhǔn)類型: 可分離變量方程可分離變量方程, 齊次方程齊次方程, 線性方程線性方程, 全微分方程全微分方程 ; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2y

4、xy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy3311、一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程兩邊同除以方程兩邊同除以 x 即為齊次方程即為齊次方程 , ,0時xyyxyx22)2(時，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y = u x ,化為分化為分離變量方程離變量方程.221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解用線性方程通解公式求解 .化為化為32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個齊次方程這是一個齊次方程 .方法方法 2 化為微分形式化為微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個全微分方程故這是一個全

5、微分方程 .xyu 令xQyxyP6)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 將方程改寫為將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程伯努利方程) 2 yz令(分離變量方程分離變量方程)原方程化為原方程化為二、非標(biāo)準(zhǔn)類型：令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齊次方程齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 ,

6、則則tyxttyxydddddddd可分離變量方程求解可分離變量方程求解化方程為化方程為0d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子兩邊乘積分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解用湊微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程 ; (2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式 .解解:

7、(1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf(2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee221. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(dd

8、pxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解逐次積分求解 )(xfqyypy , 0 qyypy 常系數(shù)情形常系數(shù)情形齊次齊次非齊次非齊次代數(shù)法代數(shù)法二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟: :(1) (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根; 02 qprr(3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21rr21rr ，特征方程的兩個根特

9、征方程的兩個根微分方程的通解微分方程的通解21rr，兩個不相等的實根兩個不相等的實根21rr 兩個相等的實根兩個相等的實根 ir 2, 1一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 求解二階常系數(shù)線性方程求解二階常系數(shù)線性方程*2211*yycycyYy )(xfqyypy 通解通解齊次通解齊次通解非齊特解非齊特解難點(diǎn)：難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法. 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k .i1,i0是單根是單根不是根不是根 k)(xfqyypy 可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),(

10、)()1(xPexfmx );(*xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk (3). (3). 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形. .P353 題題2 求以求以xxeCeCy221為通解的微分方程為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為因此微分方程為023 yyyP353 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(

11、2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2即xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齊次方程通解齊次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齊次方程特解為令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos*代入方程可得代入方程可得174171,BA思思 考考若若 (7) 中非齊次項改為中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解為原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解設(shè)法有何變化特解設(shè)法有何變化 ?02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?ddpaxp積分得積分得,11Cxap利用利用100 xxyp11C得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常數(shù).2C思考思考若問題改為求解若問題改為求解0321 yy,00 xy1