希爾伯特變換的定義和性質

1、1希爾伯特變換的定義1)卷積積分設實值函數(shù)”1),其中15血,代)，它的希爾伯特變換為憶，f(.)f=1二2(1)7算(tf)常記為f(t)=Hf(t)由于f'(t)是函數(shù)f(t)與工的卷積積分，故可寫成t二,1f(t)=f(t)*,t二2)可2相位設F'(f)=Ff(；),根據(jù)(3)式和傅里葉變換性質可知，F(xiàn)(f)是f'(t)的傅里葉變換F(f)和1/tn的傅里葉變換的乘積。由F1/nt=jsgn(f)=廠j，f>0,、j，f<0.得F(f)=-ijsgn(f)F(f).-jsgn(f)可表達為B(f)=-jsgn(f)=jejf>0j-e2,f&l

2、t;0.或者B(f)=eTsgn(f)e所以B(f)是一個;相移系統(tǒng)，即希爾伯特變換等效于土；的相移，對正頻率產生-2的相移，對負頻率產生;相移，或者說，在時域信號1一中每一頻率成分移位4波長。因此，希爾伯特變換又稱為90度移相器。3)解析信號的虛部為進一步理解希爾伯特變換的意義，引入解析函數(shù)Z(t):AZ(t)=f(t)jf(t)也可以寫成(6)Z(t)=A(t)e(t)其中，A(t)稱為希爾伯特變換的包絡；*(t)稱為瞬時響應信號希爾伯特變換包絡A(t)定義為2,2A(t)=,f(t)f(t)相位定義為(t)=arctan八1f(t),f(t)瞬時頻率定義為f01d(f)2dt(9)根據(jù)傅

3、里葉變換式Z(t)=FZ(f)=f(t)jf(t)(10)f(t)=ReZ(t)Af(t)=ImZ(t)為計算Z(f),由F(f)=-jsgn(f)F(f).Z(f)=1sgn(f)F(f)=BC)F(f)(11)其中2f>0B(f)=0,f<0因此，可以簡單地從F(f)得到Z(t),而Z(t)的虛部即，2.希爾伯特變換的性質1)線性性質若a,b為任意常數(shù)，且P1(t)=Hf1(t),f'2(t)=Hf2(t),則有Hafi(t)bf2(t)=afi(t)bf2(t)2)移位性質Hf(t-a)=f(t-a)3)希爾伯特變換的希爾伯特變換Hf(t)=-f(t)此性質表明，兩重

4、希爾伯特變換的結果僅使原函數(shù)加一負號，以進一步得到4)逆希爾伯特變換H2nf(t)=j2nf(t)一二f()f(t)=Hf(t)=.J-df(t)為；與的卷積，可表示為f(t)=Fjsgn(f)F(f)其中，F(xiàn)'(f)=Ff'(t)。(12)(13)(14)由此可(15)(16)(17)5)奇偶特性如果原函數(shù)年)是1的偶(奇)，則其希爾伯特變換f(t)就是t的奇(偶)函數(shù)，即卜(t)偶if(t)奇1:AJ(t)奇3f(t)偶(18)6）能量守恒根據(jù)帕塞瓦爾定理可知：2二2J2(t)dt二F(f)|2dfgAa.o.-f2(t)dt=F(f)|2df因而有二2二2f(t)dt二f

5、(t)dt(19)7）正交性質:f(t)f(t)dt=0(20)8）調制性質對任意函數(shù)f（t）,其傅里葉變換F（t）是帶限的，即F(t)=<F(t)|f|Mfm0,其他(21)(22)則有Hf(t)cos2可ot=f(t)sin2rf0t、Hf(t)sin2nf°t=f(t)cos2nf0t9）卷積性質Hfl(t)*f2(t)二f(t)*f2(t)另外，希爾伯特變換具有周期性和同域性，即希爾伯特變換不改變原函數(shù)的周期性，也不改變域表示，而不像傅里葉變換那樣，把時間函數(shù)（信號）從時域表示換成頻域表示。SSB信號波形當m（t）為單頻止弦信號時,、SsSB±(t)wwwwwa3川Weaver法形成SSB。'，）相移法形成SSB信號的困難在于寬帶相移網(wǎng)絡的制作，該網(wǎng)絡要對調制信號in的所有