平面向量數(shù)量積運(yùn)算專題(附答案解析)

1、平面向量數(shù)量積運(yùn)算 題型一平面向量數(shù)量積的根本運(yùn)算 例 1(1)(2021天鴻知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 2,/BAD=120 ,點(diǎn)E,F分別在邊BC, DC上,BC=3BE,DC=入DFTAE-AF=1,貝U入的值為. (2)圓O的半徑為 1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),那么PA弗的最小值 為() A.-4+J2B.-3+/J2 C.-4+2J2D.-3+2 也 變式練習(xí) 1(2021湖我向量OAAB,|OA|=3,那么OA-Ofe=. 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 22_, 重席非零向量 a,b 滿足|a|=21b|,且(ab)(31+2b),那么 a 與 b 的夾 角為

2、( 兀 b的夾角等于3,|a=2,|b|=3,那么 2ab與 a+2b的夾角的余 弦值等于() A.B.-C.D.- 26261212 、一八 I 一八_、,一一,aT1Y 變式練習(xí) 2(2021課標(biāo)全國(guó)I)B,C為圓O上的二點(diǎn),假設(shè)AO=2(AB+AC),那么AB(2021 71 A.-4 71 B-2 3 兀C.一 4 D.兀 (2)假設(shè)平面向量a與平面向量 與此的夾角為 題型三利用數(shù)量積求向量的模 例 3(1)平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為 120 ,那么|2a+b|等于() A.2B.4 C.25D.6 (2)直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90,

3、AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn), 那么|PA+3Pfe|的最小值為 1 變式練習(xí) 3(2021浙汴61,是平面單位向量,且e1e2=a.假設(shè)平面向量b滿足 be1 =b=1,那么|b|=. 高考題型精練 1.(2021山犯知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 a,/ABC=60 B4a2 ,那么BD-CD等于() A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b| 3.2021湖肛知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1 上運(yùn)動(dòng),且ABBC.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,0,那么 3 C2 一一一一一一一一 1 一 5 .在平面上,ABA2,|附1|=1062|

4、=1,附=附什茹2.假設(shè)|OP|y, minx,y=*Vxy, 設(shè)a,b為平面向量,那么x,xy, |PA+PB+ PC|的最大值為 A.6 B.7 C.8 D.9 4.如圖,在等腰直角ABO中, OA=OB=1,C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn),過C作AB 的垂線l,P為垂線上任一點(diǎn),設(shè) OA=a,OB=b,OP=p,那么p(ba)等于() B.l,2 7D.(T 安微a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,X3,X4和y1,y2,治必均 由 2 個(gè)a和 2 個(gè)b排列而成.假設(shè)XIy1+X2y2+x3y3+X4y4所有可能取值中的最小值為 4|a|2, 那么a與b的夾角為() 2

5、 兀兀兀 A,萬 B.3C.gD.08.(2021江裝口圖,在平行四邊形ABCD中,AB=8,AD=5,CP=3150,AP-BP=2, 那么ABAD的值是 9.設(shè)非零向量a,b的夾角為0,記f(a,b)=acos0-bsin睹ei,e均為單位向量,且ei1 3 2,那么向量f(e1,e2)與f(電一 s)的夾角為 10 如圖,在ABC中,O為BC中點(diǎn),假設(shè)AB=1,AC=3,=60 11.向量 a=(sinx,-),b=(cosx,1).當(dāng) a/b時(shí),求 coS2x-sin2x的值;4A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2021 OA|= 12 在ABC中,AC=10,過頂點(diǎn)C作AB的垂線

6、,垂足為D,AD=5,且滿足俞=的. (1)1,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值. 平面向量數(shù)量積運(yùn)算 題型一平面向量數(shù)量積的根本運(yùn)算 例 1(1)(2021天鴻知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 2,/BAD=120.,點(diǎn) E,F分別在邊BC, DC上,BC=3BE,DC=入DFTAE-AF=1,貝 U 入的值為. (2)圓O的半徑為 1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),那么PA龜?shù)淖钚≈?為() A.-4+/B.-3+/ C.-4+22D.-3+2 也 答案(1)2(2)D 解析(1)如圖,1111 Al-AF=AB+BEA&+DF=AB+-BCA

7、D+-DC=AB-Ab+-ABDC+- 3入入3 BCA&+EBC-比 3 人 111 甘 2X243X2X23-x2X2Xcos120 又.Al-AF=1, 102 o=1,一屆2. 3 人 3 2方法一設(shè)|PA|=|PB|=x,/APB=e, cos0 x21x4x2 2 =x2+1=x2+1 =x2+1+號(hào)-322-3, 當(dāng)且僅當(dāng)必+1=山,即x2=也1 時(shí)取等號(hào),故PA麗的最小值為 2 偵3. 方法二設(shè)/APB=Q0依 那么|PA|=|PB|= tan2 =2X2Xcos120 442102 =2F_+=一33 入 3 入 3? 貝 Utan2= x 從而 cos 9= e 1

8、-tan22x2-1 0 x2+1 1+tan22 x2+2 -3x2+1+2 x2+1 一 PAPB=|PA|PB|cos0 1 =(e tan2 cos2- 2e e-(1-2sin22)sin2- 2 122e I-sin21-2sin2 2cos9 堂口 =x2-2+Xo-(1-x2) =2x2+巖一 3A2小-3. 故麗弗的最小值為 223. 點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角,二是利用坐標(biāo)運(yùn)算,具 體應(yīng)用哪種形式由條件的特征來選擇.注意兩向量a,b的數(shù)量積a-b與代數(shù)中a,b的乘 積寫法不同,不應(yīng)該漏掉其中的“. (2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問題：ab

9、=0 時(shí)得不到 a=0 或 b=0,根據(jù)平面向量數(shù)量積 的性質(zhì)有|a|2=a2,但|ab|w|a-Ib|. 變式練習(xí) 1(2021湖我向量 oAAB,|OA|=3,那么OA的=. 答案 9 解析由于OAAB,所以oA-AB=0.所以O(shè)A-OB=OA-(OA+AB)=QA2+OA-AB= |OA|2+0=32=9. 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 角為() 兀 A.一 4 3 兀 C.7 71 (2)假設(shè)平面向量a與平面向量b的夾角等于 3,|a=2,|b|=3,那么 2ab與 a+2b的夾角的余 弦值等于() A.-B.- 2626 C.1D.- 1212 例 2(1)(2021 重施非

10、零向量 a,b滿足|a|= 2/ 3|b| ,且(ab)J_(3i+2b),那么a與b的夾 71 B-2 D.兀 解析(1)由(ab),(3+2b)得(ab)(+2b)=0,即 3a2ab2b2=0.又|a|= 即 3|a|2-|a|-|b|-cos9-2|b|2=0, 822 31b12-31b2cos921b12=0. .V2 cos0=牛.又0W9Y 變式練習(xí) 2(2021課標(biāo)全國(guó) I)B,C為圓O上的二點(diǎn),假設(shè)AO=2(AB+AC),那么AB 與AC的夾角為 答案 90 無力上 L1 解析.AO= (AB+AC),坐 bI, 3 故 cos9= 2a-bI a+2b |2a-b|a+2

11、b| 1 26 .點(diǎn)O是ABC中邊BC的中點(diǎn), .BC 為直徑,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得AB與AC的夾角為 90. 題型三利用數(shù)量積求向量的模 例 3(1)平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為 120 ,那么|2a+b|等于( A.2B.4 C.25D.6 (2)直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn), 那么|PA+3Pfe|的最小值為答案(1)A(2)5 解析(1)由于平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為 120 , 所以|2a+b|=72a2+b2+2x|2a|x|b|cos120 =22xl2+22+2

12、X2X1X2X-2J=2. (2)方法一以D為原點(diǎn),分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo) 系,設(shè)DC=a,DP=x. D(0,0),A(2,0),C(0,B(1,P(0,x), PA=(2,x),PB=(1,a-x), PA+3PB=(5,3a-4x), |PA+3Pfe|2=25+(3a4x)225, IPA+3PB|的最小值為 5. 方法二設(shè)加=xDb(0 x25, .IPA+3PB|的最小值為 5. 點(diǎn)評(píng)(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模,如向量 a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a=/x2+y2即可求解.(2)向量不放在

13、坐標(biāo)系中研究, 求解此類問題的方法是利用向量的運(yùn)算法那么及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式,關(guān)鍵是會(huì)把向量 a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a=qa2. 1 變式練習(xí) 3(2021浙汴 e,0 是平面單位向量,且e1e2=2.假設(shè)平面向量b滿足 be1 1 由于|即=|e2|=1 且 e1=3.所以 s 與 2 的夾角為 60 .又由于 bs=b1=1,所 e一 be2=0,即b-(61-62)=0,所以b,(eieO所以b與e1的夾角為 30 ,所以be1 高考題型精練 山犯知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ZABC=60,那么BDCD等于() 3 A.-2a2答案 2,3 3 解析 =1b| -I611co

14、s30 1. 所以|b| 2,3 3 1.(2021 B.-3a2 4 答案 D A.min|a+b|,|ab|min|a|,|b| C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b| 答案 D 解析由于|a+b|,|ab|與|a|,|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān),故 A,B 錯(cuò).當(dāng)a,b夾角 為銳角時(shí),|a+b|a-b|,此時(shí),|a+b|2|a|2十|b|2；當(dāng)a,b夾角為鈍角時(shí),|a+b|a2+|b|2；當(dāng)ab時(shí),|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,應(yīng)選 D. 3.2021湖肛知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1 上運(yùn)動(dòng),且ABBC.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,0,那么 3 C.-S2

15、4 3 D.2a2 解析如下圖,由題意,得BC=a, CD=a,/BCD=120 BD2=BC2+CD22BC-CD-cos120 a2+a2-2aax BD=3a. - .二BDCD=|BD|CD|cos30 x, 2.(2021浙汕 maxx,y=5 xy, xy, minx,y=i設(shè) a,b為平面向量,那么 x,xy, |PA+PB+ PC|的最大值為 A.6 B.7 60 口 答案 B 解析.A,B,C在圓x2+y2=1 上,且ABXBC, 二.AC為圓直徑,故PA+PC=2 由=(4,0),設(shè)B(x,y),那么x2+y2=1 且 xC1,1,PB=(x -2,y), PA+PB+PC

16、=x-6,y.故|PA+PB+PC|=,12x+37,x=-1 時(shí)有最大值 J49=7,應(yīng)選 B. 4 .如圖,在等腰直角ABO中,OA=OB=1,C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn),過C作AB 的垂線l,P為垂線上任一點(diǎn),設(shè)OA=a,OB=b,OP=p,那么pba等于 3 C2 答案 A 解析以O(shè)A,OB所在直線分別作為x軸,y軸, O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, 31 那么A(1,0),B(0,1,eq,4), 13 直線 l 的方程為y4=x4, 1 即 x-y-2=0. 11 設(shè)P(x,x-2),那么 p=(x,x-2), 3D.- 2 而 b-a=(1,1), 11 所以 p-(b-a)

17、=-x+(x2)=-2. 一一一一一一一一 1 一 5 .在平面上,ABAB2,|OBI|=|OB=1,AP=AB1+AB2.假設(shè)|OP|一一.、,3.、,QO3 BM=3MA,所以BM=BA.所以CM-CB=(CB+BM)CB=CB2+BM-CB=CB2+-BA-CB44 7 .(2021安微a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x,x2,X3,X4和yn人生,必均 由 2 個(gè)a和 2 個(gè)b排列而成.假設(shè)XIy1+X2y2+x3y3+X4y4所有可能取值中的最小值為 4|a|2, 那么a與b的夾角為() 兀兀 叼%D.0 答案 B 4 解析設(shè)a與b的夾角為R由于xi,y(i=1,2,3

18、,4)t 勻由 2 個(gè)a和 2 個(gè)b排列而成,記S=(xV), i=1 那么S有以下三種情況： S=2a2+2b2；S=4ab；S=|a|2+2ab+1b|2. Ib|=2|a|,中S=10|a|2,中S=8|a|2cosQ中S=5|a|2+4|a|2cos0 1 兀 易知最小,即 81a12cos9=4|a|2,cos9=3,可求 9=3,應(yīng)選 B. 8 .(2021江裝口圖,在平行四邊形ABCD中,AB=8,AD=5,CP=3150,AP-EBP=2, 那么ABAD的值是 答案 22 解析由 CP=3 由得濟(jì)=4 比=;屆,扉=屆+弗=心+狗,通扉-西=m+；晶 =16+3x42X4cos

19、135 4. 一一 3 一一一一 i 一一 3 一一 i 一一 3 -AB=Ab-AB.由于AP-BP=2,所以(A&+-AB).而-岫)=2,即A&2_-A&-AB 4442i6 AB2=2.又由于AD2=25,AB2=64,所以ABAD=22. 9 .設(shè)非零向量a,b的夾角為 0,記f(a,b)=acos0-bsin睹 e,均為單位向量,且 e金 ,那么向量f(ei,e2)與f(e2,e)的夾角為 兀 ,e2,eP=兀一e2, 6 i3 答案 f i3 解析由于AB,AC=60,所以AB-AC=|AB|-|AC|cos60=ix /2,又AO= 答案 7t 2 解析

20、 由ei 3 2=亍,可得 coss,e ei-e3 |ei|&|=T 7t 7t f(ei,e?)=eicossin= 暮i占, f電-e)=e2cos,-(-ei)sin7 5 兀 1 2ei 3-L f(ei,e?),f(e?,-3)=(2e1一 2 包2) o, 所以f(e1,e).Lf(e2,一ei). 兀 故向量f(ei,e)與f(e2,e)的夾角為 2. iO 如圖,在ABC中,O為BC中點(diǎn),假設(shè)AB=i,AC=3,AB,Ab=60 ,那么|OA|= 所以sinA=- asinB-3X I 11 (AB+AC),所以AO2=4(AB+AC)2=AB2+2AB-AC+AC2),即AO2= 以|OA|=乎. 3 II .向量 a=(sinx,4),b=(cosx,-1). (1)當(dāng)a/b時(shí),求 coxsin2x的值; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=2(a+b)-b,在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,假設(shè)a=1,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=