惠州市2020屆高三第二次調(diào)研考試(理數(shù))

1、惠州市2021屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(理科)全卷總分值150分,時間120分鐘.考前須知：1 .做題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號*學(xué)校,班級等考生信息填寫在做題卡上.2 .作答選擇題時,選出每個小題答案后,用2E鉛筆把做題卡上對應(yīng)題目的答案信息點涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,寫在本試卷上無效口3 ,非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答,答案必須寫在做題卡各題指定的位置上,寫在本試卷上無效,一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分,在每題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.L集合河一攝|lg#>0,'=父|d04,那么MnN=().A.(-2

2、,0)B,(1,2)C,(1,2D,(0,22 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足("二IT(其中i為虛數(shù)單位),那么二().A.-iB.iC.-2iD.2i3 .邑為數(shù)列%的前門項和,邑二1一%,那么a二().3131I31A*B.C,D,16232324 .白,加為互相垂直的單位向量,假設(shè)亡二皿一譏貝(Icosv萬,燈>=().a五口也舊n百A*B*CaD+22335,以下說法正確的選項是()從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣.某地氣象局預(yù)報：5月9日本地降水概率為90%,結(jié)果這天沒下雨,這說明天氣預(yù)報并不科學(xué).在回歸分析模型中

3、,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好在回歸直線方程5=0.1工+10中,當(dāng)解釋變量M每增加1個單位時,預(yù)報變量?增力口0個單位.A.B.C.D./3冗小6.假設(shè)cos*a=,且一1那么sin2.的值為.12322A一迪B一述U也D.巫9999yx-t7.設(shè)p:實數(shù)充,¥滿足/一+y一1了M2,g:實數(shù)其y滿足?y之1一次,那么p是g的條件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D,既不充分也不必要心我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜測是“錘個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和",如40=3+37,在不超過40的素數(shù)中,隨機選取2個不同的數(shù)

4、,其和等于40的概率是.1 111A*B.C*D,15172226【注:如果一個大于1的整數(shù)除了I和自身外無其他正因數(shù),那么稱這個整數(shù)為素數(shù)小9.函數(shù)/工:i的圖象大致是八xInx1A.B,C.D、10.我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對''相美曲線.月、鳥是一對相關(guān)曲線的焦點,尸是描圓和雙曲線在第一象限的交點,當(dāng)/月口工二60時,這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是A.蘇B.y/2D.21L矩形AB=1,BC=5將&沿時角線0C進行翻折,得到三棱錐O-XBC,那么在翻折的過程中,有以下結(jié)論：三棱錐D-ARC的體積最大值為1；3三棱錐Q-ABC的外接球體

5、積不變；三棱錐.的體積最大值時,面角£一片.B的大小是60:異面直線AB與CD所成角的最大值為90°.其中正確的選項是().A,B,C,D.12.設(shè)函數(shù)/(x)-V3sin,假設(shè)存在f(x)的極值點/滿足k；+(%)m那么ii+忸用附,m那么w的取值范圍是().A,(8,6)U(6,+s)B.(一雙4)U(4?+時C.(8,2)U(2»+oo)D.(8,1)U(1,+oo)二.填空題】此題共4小題,每題5分,共20分,其中第15題第一空3分,第二空2分.B.函數(shù)/(,)=./+1口工的圖象在點(1,/(1)處的切線斜率為2,那么口的值等于.14,某工廠為了解產(chǎn)品的

6、生產(chǎn)情況,隨機抽取了100個樣本口假設(shè)樣本數(shù)據(jù)再,天加的方差為8,那么數(shù)據(jù)2七一1,2/一1,.2再面一1的方差為y1215.16.T此時=設(shè)彳、為正數(shù),假設(shè)上+4=1,那么一+一的最小值是橢圓+?=1(叮60)的短軸長為2,上頂點為人左頂點為R,左、右焦點分別是F*且月的面積為三叵,點P為橢圓上的任意一點,的取值范圍是三.解做題：共70分,解容許寫出文字說明,證實過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個考生都必須作答*第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共6D分“17 .本小題蹣分12分)在A/1BC中,角4民C的對邊分別為d,8明口=2,卜=后、B=2A.求cosA：

7、(2)求c邊的值.18 .本小題總分值12分)8(1、N+在數(shù)列為中r0|=1,%=:,珥用=1+-其中汽CM*,為常3nJX數(shù).(1)求i的值：(2)設(shè).二%,求數(shù)列出的通項公式.n19.1本小題總分值12分)如圖,在底面為矩形的四棱錐尸一月BCD中,平面產(chǎn)/D_L平面口)證實：ABIPD：(2)茗PA=PD=AB"PD=9W*設(shè).為P中點.求直線?.與平面?5c所成角的余弦值.20 .本小題總分值12分拋物線C：y2=2x的焦點為廣,直線與C交于4B兩點,旦與五軸交于點尸肛0,3-3L假設(shè)直線/的斜率女=且忖戶|二一,求,可+8"|的值;2假設(shè)<2>0,工軸

8、上是否存在點總有假設(shè)存在,求出點坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由.21 .本小題總分值,分函數(shù)/住=.ln/+r"為常數(shù)在區(qū)間0,2內(nèi)有兩個極值點V3Hxfx2x<Xj.I求實數(shù)口的取值范闈；2求證：演+x,<2Ulna.二選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,那么按所做的第一題計分,做題時請寫清題號并將相應(yīng)信息點涂黑.x=coscx22 .本小題湍分10分選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xQy中.同C的參數(shù)方程為<n,1a為參數(shù),以原y=+$ino點.為極點,工軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.1求圓C的普通方程

9、及其極坐標(biāo)方程：2設(shè)直線,的極坐標(biāo)方程為psin.+至=2,射線.河：.=£與圓C的交點為尸36異于極點,與直線/的交點為0,求線段戶0的長.23 .(本小題總分值10分)1選修4-51不等式選講關(guān)于x的不等式|左一同+2工40的解集為工|工工一2,其中價>0.(1)求m的值；序22(2)假設(shè)正數(shù)口"b、c"滿足q+b+c=m,求證：1-+>2+abc數(shù)學(xué)(理科)參考答案、選擇題:題號123456789101112答案CBDABAACBACC1【解析】M=xx>l,N=x|-2<x<2,所以M門N=(1,2,應(yīng)選C.2 【解析】3 【

10、解析】(1+i)z=1i,z=3=(J)一=芻=,z的共軻復(fù)數(shù)為3=i,應(yīng)選B.1i(1i)(1-i)2一rrSn=1_an-1An1n22時,),兩式相減,整理得2an=an,*a=,=、S=1An12An2,Ir,112lJ31所以匕是首項為一,公比為一的等比數(shù)列,二S5=-=乙,應(yīng)選D.2213214.【解析】代數(shù)法：幾何法:cos<b,c>=-亞應(yīng)選A.25【解析】屬于系統(tǒng)抽樣,故錯誤；概率只說明事件發(fā)生的可能性,某次試驗中不一定發(fā)生,所以并不能說明天氣預(yù)報不科學(xué),故錯誤；正確.應(yīng)選B.丘力上一3九6.【解析】cos,口2.1=-sin-=一,sin-=一3冗JJ冗-<

11、;a<,7t,-cos、工-sin2-2sin：cos-2-122.4233,應(yīng)選A.7【解析】如圖:,由集合的包含關(guān)系可知選A.40=3+37=11+29=17+23,共3組數(shù),所以其和等于340的概率為：2C121一,應(yīng)選C.229.【解析】解法一：定義域為xw(0,1)U(1,),故排除A；1f(100)A0,排除C;f()>0,100排除D；應(yīng)選B.xW(1,8),g(x)>0,g(x)單調(diào)1解法一：設(shè)g(x)=xTnx1,g(1)=0,g(x)=1-一,當(dāng)x增,當(dāng)xe(0,1),g(x)<0,g(x)單調(diào)減,那么g(x)至g(1)=0.故f(x)=1的定義域為

12、xW(0,1)U(1,),且f(x)在xW(0,1)上單調(diào)增,xW(1,+無)xTnx-1上單調(diào)減,f(x)A0,應(yīng)選B.解法三：f(x)=定義域為xw(0,1)U(1,+w),故排除A；x-lnx-11當(dāng)xt0時,(xlnx1卜+oc,.>0,排除D；x-Inx-1,一1當(dāng)xt+s時,xlnx1>0,.a0,排除C；應(yīng)選B.x-Inx-1cc10 .【解析】設(shè)橢圓、雙曲線離心率分別為e=,%=,設(shè)PF1=x,PF2=y,a1a2xy=2alx=a1a2由橢圓、雙曲線定義得1,二i,在APFF2中,由余弦定理得x-y=2a2y=a1-a2222-22,20xy-2c12a1a2-4

13、ccos.F1PF2=cos60=,22-,.&=3a2.2xy22a1弋2pcc,2c22c二w.又ee2=1=1ra1a2=c,二3a2=c,二e2=43.應(yīng)選A.aa2a2.一,111 .【解析】Vd_abc=&S&bch,當(dāng)平面ADC_1_平面ABC時,二梭錐DABC的圖取大,此31131時體積取大值為VDqBC=Mm1mJ3m,X=,錯誤；設(shè)AC的中點為O,那么由3224RtAABC,RtAADC知,OA=OB=OC=OD,所以.為三棱錐DABC外接球的球心,其半徑為1AC=1,所以外接球體積為f冗,即三棱錐D-ABC的外接球體積不變,正確；23由的解析過程知

14、,三棱錐D-ABC的體積最大值時,平面ADC1平面ABC,所以二面角DACB的大小是90°,錯誤；當(dāng)MDC沿對角線AC進行翻折到使點D與點B的距離為J2,即BD=J2時,在ABCD中,BC2=BD2+CD2,所以CD_LBD,又CDJZD,翻折后此垂直關(guān)系沒有變,所以CD_L平面ABD,所以CD_LAB,即異面直線AB與CD所成角的最大值為900,正確.應(yīng)選C.x2k112 .【解析】當(dāng)=kn+(k=Z),即x=m時,f(x)取得極值±v3.m22存在x.使片十f(x0)子cm2成立,亦即存在k使(2k1X2k+3)m2+12<0成立,因此,只需(2k-1J(2k+3

15、)最小即可,即k=0或k=-1時不等式成立即可,所以Tm2+12<0,2-即m>4,所以m=(-°°,-2(2,+毛).應(yīng)選C.二.填空題：此題共4小題,每題5分,共20分,其中第15題第一空3分,第二空2分.13 .114.3215.4(3分),1(2分)16.1,4】【16題注】求出的范圍區(qū)間端點開閉錯誤不給分.11與成：1M十M4、九|1£九£4)(集合元素一般形式用題目以外的字母表示)不扣分.PF1PF2寫成以下四種形式不給分：x|1<x<4,y|1MyM4,a|1<a<4,b|1<b<4h.T21

16、113.【解析】*f(x)=3ax+,二f(1)=3a+1=2,a=一.x314 .【解析】樣本數(shù)據(jù)xi,x2,X100的方差為8,所以數(shù)據(jù)2x11,2x21,2xi00_1的方差為228=32.15 .【解析】1+2=口+21X+2)=2+且+12+2區(qū)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)上_=名即xyxy22xy1.2xy2xy1,一,y=2x,x=一時等號成立216.【解析】由得2b=2,故b=1RAB的面積為2一.321,2-v32a-cb2,.二a-c=2-出,又a2-c2,2.=(a-cXa+c)=b=1,1+1|PFj+|PF2|_2a4PFj|pf2|_'|PF11|PF2f-IPF11(

17、4-IPF11)-PF12+4PF1一LL211又2-V3WPF1<2+73,-1<-PF1+4PF1<4,-1<+<4.PF1PF21,41.r-11即的取值范圍為PF1PF2三.解做題：共70分,解容許寫出文字說明,證實過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.17.本小題總分值12分【解析】1由正弦定理a=b.1分【注】無寫出此步驟,本得分點不給分.sinAsinB得,分2sinAsin2A即_=垣分sinA2sinAcosA5.由于sinA=0,可解得cosA=.勢42解法一：由余弦定理a2=b2+

18、c2-2bccosA.5分【注】無寫出此步驟,本得分點不給分.得22=(V5)+c2-25c,4整理得2c2-5c2=0.6分1斛得c=2或c=例2當(dāng)c=2=a時,得A=C,又由于B=2A,故A=C=_,B=一,.紛_42所以b=J2a,與矛盾,所以c=2不滿足要求.10分-1當(dāng)c=一時,經(jīng)檢驗符合要求112一1綜上知：c=2【注】無檢驗過程最多只能得8分.解法二：由1知cosA=,且sin2A+cos2A=1,4分12又0<A<n所以sinA=4.5分【注】無寫出此步驟,本得分點不給分.分.6又B=2A,所以cosB=cos2A=cos2A-sin2A5113.吩由余弦定理b2=

19、a2c2-2accosB16168.9分【注】無寫出此步驟,本得分點不給分.OO33i.一得5=2,一nM&n.n2+c22M2cxi整理得2c2_3c_2=0即2c_1'jc+2=0,又由于c>01綜上知：c=.218 .本小題總分值12分.11分【注】無寫出此步驟,本得分點不給分.12一公,一：1、,n+1m2【解析】1將n=1代入an+=1+an,得a2=2a1+8由a1一1,a2,3,、,r,12由an+=1十一an<nJr1即bn1-bn=而.3n1陽an1an1十二n-,信=n3n1n3當(dāng)n=1時,b1=電1二1一,【nJ八九bn-hfbn-bn6-0二

20、1|>-.HI3n43T11+c2-133101311=n-43所以bn=32223由于b1=1也適合上式,所以bn3122父.19 .(本小題總分值12分)【解析】(1)依題意,面PAD1WABCD,AB_LAD2分【注】此步驟缺少ABaHABCD,面PAD面ABCD=AD,任意一個條件,本得分點不給分.AB_L面PAD3分又PDu面PAD4分二AB_LPD5分(2)解法一：向量法在PAD中,取AD中點O,；PA=PDPO_LAD二PO_L面ABCD6分以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A為x軸,過點O且平行于AB的直線為y軸,OP所在的直線為z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=2.：1APD

21、=90".AD=2.2二P0,0,蚯B五,2,0,C一五,2,0"72,0,0,q',1,I22J,前=應(yīng)2,點,前=2應(yīng),0,0,AQ,-1,-I22J設(shè)面PBC法向量為n=(x,y,z)設(shè)直線AQ與平面PBC所成角為q,那么sinq=cos(AQ,n10分nPB=*2x2y-2zI.TLnBC=-2,2x=0二0-,解得n=0,1j2一A.pi-由于q?01cosq=肝-sin2q=J1-311E,連結(jié)BE,EQ分【注】文字說0f1分,作圜1分.所以直線AQ與平面PBC所成角的余弦值為(2)解法二：幾何法過P作POLAD交于點O,那么.為AD中點,過A作PO的平

22、行線,過P作AD的平行線,交點為過A作AH,BE交于點H,連結(jié)QH,連結(jié)BO,取中點M,連結(jié)QM,AM四邊形AOPE為矩形,所以PE上面ABE,所以PEXAH,又BEAH,所以AH±WPBE,所以/AQH為線AQ與面PBC所成的角.8分令A(yù)O=a,那么AE=a,AB=近a,BE=73a,由同一個三角形面積相等可得AH=a,QAM為直角三角形,由勾股定理可得AQ=a,9分所以sin/AQH=®_=2/6,分10AQ3又由于/AQH為銳角,所以cos/AQH=當(dāng),分1所以直線AQ與平面PBC所成角的余弦值為叵儲320.本小題總分值12分【解析】1解法依題意,設(shè)1:v=32(x-

23、a)聯(lián)立C:y2=2x,整理得9x2(18a+8)x+9a2=01分,2分由D>0,得a>-P二LU1c又FP=&-,0拂2AF+BF=x1+x2+1=4453+1=解法二：依題意,設(shè)1:y=9i(x-a)29且'FP'=-3,a=2或a=-1(舍去)44所以式可化為9x-44x+36=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),貝Ux1+x2=5922聯(lián)立C:y=2x,整理得3y-4y-6a=02D=16+72a>0,即a>-391l"3分5-4-34-2+yyvy1yvi?i?又FP=|1-3,0且FP=-,a=2或a=-1(舍去)4

24、所以式可化為3y2/、2AF+BF=x1+x2+1="+"+1=("+,2)-y1y2+1=一6分229(2)當(dāng)直線l斜率不存在時,由對稱性知,存在點M滿足OMA?OMB7分假設(shè)直線l存在斜率,設(shè)為k(k#0)那么1:y=k(x-a),聯(lián)立C:y2=2x整理得ky2-2y-2ka=02一2y172=1-,D=4+8ka>0,k8分y1y2=-2aViV2設(shè)M(m,0)由OMA?0乂3易知女乂人二-卜乂8即+1-=09分x1-mx2-m22y1x2y2?xm(y+y2)=0即y1?江y2?-ym(y1+y2)10分22-4y+12y1?(Yiy2)=m(y+y

25、2)'；yi+y2=.,:m=yy2=y=a所以M(-a,0)11分綜上所述,當(dāng)a>0時,x軸上存在點M(-a,0),總有OMA?OMB.12分21.(本小題總分值12分)x_1x_1、【解析】(1)解法一：由f(x)=ahnx+21,可得f'(x)=(2二/二1分xxx由題意乂W(0,2)那么20,記h(x)=ex-ax(x>0),h(x)=ex-ax由題意,知為/2是丫=/*)在(0,2)上的兩個零點.當(dāng)aM0時,=h'(x)>0,那么h(x)在(0,2)上遞增,h(x)至多有一個零點,不合題意；2分當(dāng)a>0時,由=h(x)=0,得x=1+l

26、na3分e(i)假設(shè)1+lna<2且h(2)>0,即1<a<時,h(x)在0,1+lna讓遞減,1+lna,2遞增;2那么h(x)min=h(1+lna)=-alna<0,1八那么h(2)0,h(0)=0,e從而h(x)在(0,1+lna網(wǎng)(1+lna,2)上各有一個零點.e所以1<ac時,y=h(x)在(0,2)上存在兩個零點.4分2(ii)假設(shè)1+lna>2,即a>e時,h(x)在(0,2)上遞減,h(x)至多一個零點,舍去.5分(iii)假設(shè)1+lna<2且h(2)E0,即WEace時,此時h(x)在(0,1+lna)上有一個零點,2

27、而在(1+lna,2)上沒有零點,舍去.xAe一,2,可得f(X)=x_x_1(2-x)(e-ax)綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是h,jj.(1)解法二：由f(x)=a.lnx+-x由題意xW(0,2)那么>0,由題意知x1,x2是y=ex,-ax,xa0在(0,2)上的兩個零點.即:為4e一ax1x9-1e2-ax2x14Xo1eexx2又令g(x)=x4e那么g(x)=g(xz),從而只需直線y=a與函數(shù)g(x)=xe一的圖象在內(nèi)(Q2)有兩個交點.x由g(x)=(x-1)exX,得g(x)=-在區(qū)間內(nèi)x(0,1憚?wù){(diào)遞減,在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)mine=g(1)=1,

28、g(x)<g(2)=一,2且x10,exJe1=Lg(x)-：eLLA-一什E口ee)所以實數(shù)a的取值范圍是|1,-,l2J(2)解法一：令H(x)=h(x)_h(2+2lnax),0<x<1+lna2那么H(x)=h(x)h(22lna-x)=exJ-2a_2a-2a=0xe所以H(x)在(0,1+lna)遞增,從而H(x)<H(1+lna)=0,即h(x)-h(2+2lna-x)<0h(x)-h(2+2lna-x1)<0分1112而h(x1)=h(x2),且h(x)在(1+lna,2邂增；j.h(x2)<h(2+2lnax1)=x2<2+2l

29、nax1,x1+x2<2(1+lna),命題得證.ax=e,一Ilnalnx1二"1,斛法一：由(1)有彳1nW=2lna+lnx1x2=%+X2ax2=ex2lnalnx2=X2-11i那么求證式x1+x2<2(1+lna1nxix2<0u0<x1x2<1x2<一.x1下證式成立:由ax-ex二0xd得a=二xx1eX-12xx1人e一'令g(x)=,那么g(x)=g(x2),g(x六x10分Xi1勿知0cxi<1<x2,從而式X2<一U,、1一1g(“)<g-g(x)<g.x1)八一1又令G(x)=g(x)

30、g.-,0<x<1,x那么即證G(x)<0又0<x<1成立.對G(x成導(dǎo),得G(x)=xe-xex、幾XJ1,設(shè)h(x)=e-xex,那么h(x)=eJX1八x1._xe>0,11r,11即g(K)<g<xi2%"2-2x2124ax1力二e,ax2-*二e-e從而hx:h1=0,Gx);0.,.G(x)<G(1)=0.即0<x<1,從而式成立.:x1+x2<2(1+lna),命題得證.X1-4解法三：由(1)有產(chǎn).得ax?=eX2X24X11e2e1將a=代入a2X1X2=eX12中,X2-X12(x2-Xi)x-x1xee-2exx2N2exx22得x1x2=2-=x2_x2,2221)11x212ae-eexix22.2令t=x2X,為證實一L<1,那么只需證：當(dāng)t>0時,-一<1uet+e-t-2-t2>0.aee-2tt2設(shè)m(t)=e+e2t,9分tttt